Álgebra Linear com Aplicações, 9ª edição

Autor(es): LEON, Steven J.
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Álgebra Linear com Aplicações, de Steven J. Leon, chega à nona edição com mudanças significativas para acompanhar a revolução tecnológica e científica em curso e aprimorar o estudo dessa disciplina e sua aplicação em diversas áreas, como a Física, a Estatística, a Computação. _x000D_
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Como novidade, esta edição traz muitos exemplos resolvidos e novas subseções. No final de cada capítulo, há inúmeros exercícios computacionais, todos baseados no software MATLAB. O livro aborda ainda temas fundamentais, como matrizes e sistemas de equações, determinantes, espaços vetoriais, transformações lineares, ortogonalidade, autovalores e álgebra linear numérica ─ tópicos recomendados pelo Linear Algebra Curriculum Study Group (LACSG), da National Science Foundation (NSF) dos Estados Unidos. _x000D_
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Álgebra Linear com Aplicações é indicado para todos os cursos de graduação em Engenharia e Matemática. Para melhor aproveitamento do conteúdo, é importante que o estudante esteja familiarizado com o cálculo diferencial e integral básicos. _x000D_
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Além do livro-texto, estão disponíveis no GEN-IO, ambiente virtual de aprendizagem do GEN | Grupo Editorial Nacional, mediante cadastro, diversos materiais suplementares para estudantes e docentes, entre os quais estão capítulos extras, apêndice com um tutorial sobre o uso do MATLAB, aplicações extras, projetos e questões, bem como videoaulas exclusivas.

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1 - Matrizes e Sistemas de Equações

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1

CAPÍTULO

Matrizes e Sistemas de Equações

Provavelmente o problema mais importante na matemática é a resolução de um sistema de equações lineares. Mais de 75 % de todos os problemas matemáticos encontrados em aplicações científicas e industriais envolvem a resolução de um sistema linear em algum estágio. Usando métodos modernos da matemática, é frequentemente possível reduzir um problema sofisticado a um simples sistema de equações lineares. Os sistemas lineares aparecem em aplicações em áreas como negócios, economia, sociologia, ecologia, demografia, genética, eletrônica, engenharia e física. Portanto, parece apropriado iniciar este livro com uma seção sobre sistemas lineares.

1.1   Sistemas de Equações Lineares

Uma equação linear a n incógnitas é uma equação da forma

em que a1, a2, …, an e b são números reais e x1, x2, …, xn são variáveis. Um sistema linear de m equações em n incógnitas é portanto um sistema da forma

(1)

no qual os aij e bi são todos números reais. Sistemas da forma (1) são chamados de sistemas lineares m 3 n. Seguem-se exemplos de sistemas lineares:

 

2 - Determinantes

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CAPÍTULO

Determinantes

A cada matriz quadrada é possível associar um número real chamado de determinante da matriz. O valor deste número dirá se a matriz é singular.

Na Seção 2.1, é dada a definição de determinante de uma matriz. Na Seção

2.2, estudamos propriedades de determinantes e derivamos um método de eliminação para avaliar determinantes. O método de eliminação é geralmente o mais simples para a avaliação do determinante de uma matriz n 3 n quando n  . 3. Na Seção 2.3, vemos como determinantes podem ser aplicados na resolução de sistemas lineares n 3 n e como podem ser utilizados para calcular a inversa de uma matriz. Aplicações de determinantes à criptografia e à mecânica newtoniana são também apresentadas na Seção 2.3. Outras aplicações de determinantes são apresentadas nos Capítulos 3 e 6.

2.1  O Determinante de uma Matriz

A cada matriz n 3 n, A, é possível associar um escalar, det(A), cujo valor dirá se a matriz é não singular. Antes de proceder à definição geral, consideremos os seguintes casos:

 

3 - Espaços Vetoriais

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3

CAPÍTULO

Espaços Vetoriais

As operações de adição e multiplicação por escalar são usadas em vários contextos em matemática. Independentemente do contexto, entretanto, estas operações em geral obedecem ao mesmo conjunto de regras algébricas. Portanto, uma teoria geral de sistemas matemáticos envolvendo adição e multiplicação por escalar será aplicável a várias áreas da matemática. Sistemas matemáticos desse tipo são chamados de espaços vetoriais ou espaços lineares. Neste capítulo, a definição de espaço vetorial e de algo da teoria geral de espaços vetoriais

é desenvolvida.

3.1  Definição e Exemplos

Nesta seção, apresentamos uma definição formal de espaço vetorial. Antes de fazer isto, no entanto, é instrutivo observar alguns exemplos. Começamos com os espaços vetoriais euclidianos Rn.

Espaços Vetoriais Euclidianos

Talvez os mais elementares espaços vetoriais são os espaços vetoriais euclidianos Rn, n 5 1, 2, …. Por simplicidade, consideremos inicialmente R2. Vetores não nulos em R2 podem ser representados geometricamente por segmentos de reta orientados. Esta representação geométrica nos ajudará a visualizar como as operações de adição e multiplicação por escalar funcionam no R2. Dado um vetor não nulo

 

4 - Transformações Lineares

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4

CAPÍTULO

Transformações Lineares

Representações lineares de um espaço vetorial para outro têm um importante papel em matemática. Este capítulo fornece uma introdução à teoria de tais representações. Na Seção 4.1 é dada a definição de uma transformação linear e são apresentados vários exemplos. Na Seção 4.2 é mostrado que cada transformação linear L representando um espaço vetorial n-dimensional, V, em um espaço vetorial m-dimensional, W, pode ser representada pela matriz m 3 n,

A. Portanto, podemos trabalhar com a matriz A no lugar da representação L.

No caso em que a transformação linear L representa V nele mesmo, a matriz representando L dependerá da base ordenada escolhida para V. Portanto, L pode ser representada por uma matriz A em relação a uma base ordenada e por uma matriz B em relação a outra base ordenada. Na Seção 4.3, consideramos a relação entre diferentes matrizes que representam a mesma transformação linear.

Em muitas aplicações, é desejável escolher uma base para V tal que a matriz representando a transformação linear seja diagonal ou em alguma outra forma simples.

 

5 - Ortogonalidade

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CAPÍTULO

Ortogonalidade

Podemos ampliar a estrutura de um espaço vetorial definindo um produto escalar ou interno. Tal produto não é uma verdadeira multiplicação vetorial, já que a cada par de vetores associa um escalar em vez de um terceiro vetor. Por exemplo, em R2, podemos definir o produto escalar de dois vetores x e y como xT y.

Podemos pensar em vetores em R2 como segmentos de reta orientados a partir da origem. Não é difícil mostrar que o ângulo entre dois segmentos de reta será reto se e somente se o produto escalar dos vetores correspondentes é nulo. Em geral, se V é um espaço vetorial com um produto escalar, então dois vetores em

V são ditos ortogonais se seu produto escalar é nulo.

Podemos pensar em ortogonalidade como uma generalização do conceito de perpendicularidade a qualquer espaço vetorial com um produto interno. Para ver o significado disto, considere o seguinte problema: Seja l uma reta passando pela origem e seja Q um ponto fora de l. Encontre o ponto P de l que está mais próximo de Q. A solução P deste problema é caracterizada pela condição de QP ser perpendicular a OP (veja a Figura 5.0.1). Se pensarmos na linha l como correspondendo a um subespaço de R2 e v 5 OQ como um vetor em R2, então o problema é encontrar um vetor no subespaço que está “mais próximo” de v. A solução p será então caracterizada pela propriedade de que p é ortogonal a v 2 p

 

6 - Autovalores

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6

CAPÍTULO

Autovalores

Na Seção 6.1, vamos tratar da equação Ax 5 lx. Esta equação ocorre em muitas aplicações da álgebra linear. Se a equação tem uma solução não nula x, então l

é dito um autovalor de A, e x é dito um autovetor associado a l.

Autovalores são uma parte comum em nossa vida, quer notemos isto ou não.

Onde houver vibrações haverá autovalores, as frequências naturais das vibrações. Se você já afinou um violão, você resolveu um problema de autovalores.

Quando engenheiros projetam estruturas, eles se preocupam com as frequências de vibração da estrutura. Esta preocupação é particularmente importante em regiões sujeitas a terremotos, como a Califórnia. Os autovalores de um problema com condições de fronteira podem ser usados para determinar os estados energéticos de um átomo ou cargas críticas que causam flexão em uma viga.

Esta última aplicação é apresentada na Seção 6.1.

Na Seção 6.2, aprenderemos mais sobre como usar autovalores e autovetores para resolver sistemas de equações diferenciais lineares. Consideraremos várias aplicações, incluindo problemas de misturas, o movimento harmônico de um sistema de molas e as vibrações de um prédio. O movimento de um prédio pode ser modelado por um sistema de equações diferenciais de segunda ordem na forma

 

7 - Álgebra Linear Numérica

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7

CAPÍTULO

Álgebra Linear Numérica

Neste capítulo, consideramos métodos computacionais para resolver problemas de álgebra linear. Para entender esses métodos, você deve estar familiarizado com o tipo de sistema de numeração utilizado pelo computador. Quando os dados são lidos no computador, eles são traduzidos em seu sistema de números finitos. Esta tradução normalmente envolve algum erro de arredondamento. Erros de arredondamento adicionais ocorrerão quando as operações algébricas do algoritmo forem executadas. Por causa de erros de arredondamento, não podemos esperar obter a solução exata para o problema original.

O melhor que podemos esperar é uma boa aproximação para um problema ligeiramente perturbado. Suponha, por exemplo, que queríamos resolver

Ax 5 b. Quando os elementos de A e b são lidos no computador, erros de arredondamento geralmente ocorrem. Assim, o programa vai realmente tentar calcular uma boa aproximação para a solução de um sistema perturbado, da forma

 

Apêndice: MATLAB

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APÊNDICE

MATLAB

MATLAB é um programa interativo para cálculos matriciais. A versão original do MATLAB, abreviação de laboratório de matrizes, foi desenvolvida por

Cleve Moler, das bibliotecas de software Linpack e Eispack. Ao longo dos anos,

MATLAB sofreu uma série de expansões e revisões. Hoje é o software líder para computação científica. O software MATLAB é distribuído pela MathWorks,

Inc., de Natick, Massachusetts.

Além de ampla utilização em ambientes de indústria e engenharia, MATLAB tornou-se uma ferramenta padrão de ensino de graduação em cursos de álgebra linear. Uma Edição de Estudante do MATLAB está disponível a um preço acessível aos estudantes.

Outro recurso altamente recomendado para o ensino de álgebra linear com

MATLAB é o manual ATLAST Computer Exercises for Linear Algebra, 2a ed.

(veja [12]). Esse manual contém exercícios baseados em MATLAB e projetos de álgebra linear e uma coleção de utilitários MATLAB (M-files), que ajudam os estudantes a visualizar conceitos de álgebra linear. Os arquivos-M estão disponíveis para download na página da Web ATLAST: www.umassd.edu/SpecialPrograms/ATLAST/

 

Respostas a Problemas Selecionados

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Respostas a Problemas Selecionados

Capítulo 1

1.1 1. (a) (11, 3)  (b)  (4, 1, 3) 

(d) (22, 3, 0, 3, 1)

(c)  (22, 0, 3, 1)

(d) {(5 2 2a 2 b, a, 4 2 3b, b) | a, b reais}

(e) {(3 – 5a 1 2b, a, b, 6) | a, b reais}

(f) {(a, 2, 21) | a real}

4. (a) x1, x2, x3 são variáveis principais.

(c) x1, x3 são variáveis principais e x2 é uma variável livre.

(e) x1, x4 são variáveis principais e x2, x3 são variáveis livres.

5. (a) (5, 1)  (b) inconsistente  (c) (0, 0)

3. (a) Uma solução. As duas retas se interceptam no ponto (3, 1).

(b) Nenhuma solução. As retas são paralelas.

(c) Número infinito de soluções. Ambas as equações representam a mesma reta.

(d) Nenhuma solução. Cada par de linhas se intercepta em um ponto; entretanto, não há ponto comum às três linhas.

(d)

(e) {(8 2 2a, a 2 5, a)}

(f) inconsistente

(g) inconsistente  (h) inconsistente

(j) {(2 2 6a, 4 1 a, 3 2 a, a)}

 

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