Raciocínio lógico para concursos, 2ª edição

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Esta obra oferece aos leitores uma introdução abrangente e acessível aos fundamentos do pensamento lógico, além de uma cobertura clara e detalhada da teoria da lógica para concursos, com ênfase na aplicação dos princípios da lógica em situações práticas.
A solução de um problema apresentado em provas de raciocínio lógico-quantitativo, dispondo ou não de dicas ou pontos de partida, é uma conquista a alcançar; muitas vezes não sabemos como atingir essa meta, o que se torna um desafio para o examinando. É essencial que comecemos por analisar as possibilidades, levantar hipóteses, voltar atrás em um caminho e tentar outro, buscar ideias que se conformem à natureza do problema, rejeitar aquelas que não se ajustam a sua estrutura. Problemas que surgem em provas de concursos têm se caracterizado, em sua maioria, por não apresentarem modelos padronizados de resolução.
Nesse cenário, o autor propõe muitas questões atualizadas, diferentes modelos de resolução, priorizando o raciocínio individual por meio de um conjunto essencial de regras.
Em todos os capítulos são disponibilizados exemplos que possibilitam ao aluno ter o domínio do material e desenvolver a capacidade de aprendizagem pela recapitulação do conteúdo.

44 capítulos

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CONCEITOS BÁSICOS

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1

Lógica proposicional, tabelas­‑verdade, compreensão de estruturas lógicas, diagramas lógicos

�� INTRODUÇÃO

O que é lógica?

Qualquer resposta que se dê a essa pergunta corre o risco de deixar de fora algum aspecto importante da lógica, pois, normalmente, associa­‑se lógica apenas à Matemática, esquecendo­‑se de que ela se aplica a todos os ramos do conhecimento humano.

Objetivos da lógica

�� a criação de uma linguagem formal, que evite as ambiguidades existentes na linguagem natural;

�� a criação de instrumentos de cálculos lógicos que se contrapõem a uma argumentação intuitiva e informal;

�� a formalização, dedução e análise da validade de argumentos.

A lógica começa com Aristóteles (século IV a.C.) com seus estudos sobre silogismos, na busca de um instrumento para a compreensão de um mundo real e verdadeiro (lógica concreta) e é aprimorada por Leibniz (século XVI), que teve as primeiras visões do que seria uma lógica simbólica formal (lógica abstrata). Já no século XX, destacam­‑se, principalmente, Frege, Peano, Whitehead, Russell e Morgan.

 

PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS

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14  Raciocínio Lógico para Concursos

Não são proposições: a) 3 + 5 (não tem predicado) b) Para que serve esse aplicativo? (é uma frase interrogativa)

Uma proposição simples é a que não contém nenhuma outra proposição como parte integrante de si mesma. Indicaremos tais proposições por letras minúsculas de nosso alfabeto.

Exemplos: p: O programa antivírus protege a máquina. q: O índice da bolsa de valores subiu.

Uma proposição composta é formada por duas ou mais proposições relacionadas por conectivos lógicos e são representadas por letras maiúsculas do alfabeto.

Exemplos:

P: 1 + 2 = 3 e 2 ≠ 1

Q: Se o produto é bom, então a empresa dá lucro.

Conectivos lógicos

Conectivos ou operadores lógicos são palavras que se usam para formar novas proposições a partir de outras proposições. Os conectivos lógicos e seus símbolos são:

��

��

��

��

��

não (~) e (∧) ou (∨) se..., então... (→)

... se, e somente se... (↔)

 

EQUIVALÊNCIAS LÓGICAS

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Lógica proposicional, tabelas­‑verdade, compreensão de estruturas lógicas, diagramas lógicos  19

Obs.: Dizemos que “p implica q” (p → q), se, e somente se, na tabela de p e q não ocorre V F, ou seja, quando a proposição p → q for sempre verdadeira. Esse conceito será abordado mais adiante.

Operação bicondicional (↔)

“Execute a rotina B se, e somente se, o conjunto de comandos A for executado”.5

Duas proposições p e q podem ser combinadas pelo conectivo lógico “... se, e somente se...” para formar uma nova proposição denominada bicondicional.

Notação: p ↔ q (lê­‑se: p se, e somente se, q)

Exemplo: a) Dadas as proposições: p: A princesa beija o sapo. q: O sapo se transforma em príncipe.

A bicondicional é: p ↔ q: A princesa beija o sapo se, e somente se, o sapo se transforma em príncipe.

A tabela­‑verdade da operação bicondicional é: p

V

V

F

F

q

V

F

V

F

p↔q

V

F

F

 

PROPRIEDADES DAS EQUIVALÊNCIAS LÓGICAS

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Lógica proposicional, tabelas­‑verdade, compreensão de estruturas lógicas, diagramas lógicos  21

�� PROPRIEDADES DAS EQUIVALÊNCIAS LÓGICAS

Negação das operações lógicas a) Negação da negação

Para não dizer que não falei das flores...

Não é por não falar...

A CIA não acreditou que o Iraque não possuía armas de destruição em massa.

Não dá para não ler.

Dadas as proposições p e ~(~p), vamos construir suas tabelas­‑verdade: p

V

F

~p

F

V

~ (~ p)

V

F

Conclusão: A negação da negação (dupla negação) de uma proposição p é logicamente equivalente à proposição p.

Obs.: Na língua portuguesa, a dupla negação é usada como recurso para reforço de uma negação. Do ponto de vista puramente lógico, uma dupla negação equivale a uma afirmação.

Exemplos:

I. A proposição: “Não é verdade que Mário não é estudioso” é logicamente equivalente a “Mário é estudioso”.

II. A proposição: “Não dá para não ler” é logicamente equivalente a: “Dá para ler”. b) Negação da conjunção

 

EXERCÍCIOS

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22  Raciocínio Lógico para Concursos

Sua negação é: “Não é verdade que 2 é um número par ou 3 é um número ímpar.”

Que é logicamente equivalente a: “2 não é um número par e 3 não é um número ímpar.” d) Negação da condicional

Dadas as proposições ~ (p → q) e p ∧ ~q, vamos construir suas tabelas­‑verdade: p

V

V

F

F

q

V

F

V

F

p→q

V

F

V

V

~ (p → q)

F

V

F

F

~q

F

V

F

V

p ∧ ~q

F

V

F

F

Conclusão: A negação do condicional é logicamente equivalente a uma conjunção.

Exemplos:

Seja a proposição: “Se a máquina é antiga, então o programa trava.”

Sua negação é: “A máquina é antiga e o programa não trava.”

e) Negação da bicondicional

Considere a equivalência já conhecida: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)

Para negar o primeiro membro, basta negarmos o segundo. Como esse segundo membro é um e, usamos a regra já estudada de negação desse conectivo e, então, temos:

 

GABARITO

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Lógica proposicional, tabelas­‑verdade, compreensão de estruturas lógicas, diagramas lógicos  45

116. (TRE — 2011) Considerando que os símbolos ∨, ~, →, ↔ e ∧ representem as operações lógicas “ou”,

“não”, “condicional”, “bicondicional” e “e”, respectivamente, julgue os itens a seguir, acerca da proposição composta P: (p ∨ ~q) ↔ (~p ∧ r), em que p, q e r são proposições distintas. Julgue os itens a seguir.

—— Se a proposição p for verdadeira, então P será falsa.

—— O número de linhas da tabela-verdade de P é igual a 16.

—— A proposição ~P é uma tautologia, isto é, o seu valor lógico é verdadeiro independentemente dos valores lógicos das proposições p, q e r.

117. (PERITO CRIMINAL — 2010) Um suspeito de assassinato de um garçom, ao ser interrogado, afirmou:

“Se ele morreu baleado, então eu não sou o assassino”.

Um investigador concluiu que a verdade é exatamente a negação da proposição contrária a esta. Com base nisso, é correto concluir logicamente que: a) o garçom não morreu baleado, e o suspeito não é o assassino. b) o garçom morreu baleado ou o suspeito não é o assassino. c) o garçom morreu baleado, mas o suspeito não é o assassino. d) o garçom não morreu baleado ou o suspeito é o assassino. e) se o suspeito é o assassino, então o garçom morreu baleado.

 

O QUANTIFICADOR EXISTENCIAL

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2

Quantificadores e diagrama de Venn

A lógica sentencial, estudada nos itens anteriores, explica como funcionam palavras como “e”,

“mas”, “ou”, “não”, “se... então”, “se e somente se”, e “nem­‑ou”. Frege (Friedrich Ludwig Gottlob

Frege — 1848/1925) expandiu a lógica para incluir palavras como “todos”, “alguns”, e “nenhum”.

Ele mostrou como podemos introduzir variáveis e quantificadores para reorganizar sentenças.

Os quantificadores desempenham papel importante na verdade ou falsidade das proposições.

É possível, através deles, indicar se estão em causa todos, pelo menos um, ou nenhum dos elementos da classe dos argumentos, e avaliar a forma como este fato influi no cálculo lógico.

Existem três espécies principais de quantificadores: existencial, universal e existencial estrito.

�� O QUANTIFICADOR EXISTENCIAL

Consideremos as afirmações:

(1) Alguns animais são mamíferos.

(2) Alguém já foi ao planeta Urano.

(3) Existem pessoas que são analfabetas.

 

O QUANTIFICADOR UNIVERSAL

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48  Raciocínio Lógico para Concursos

A proposição é considerada verdadeira se algum elemento x satisfizer às condições explícitas no predicado. Se nenhum elemento x satisfizer às condições do predicado, a proposição é falsa.

Assim, o quantificador existencial transforma uma condição possível numa proposição verdadeira e uma condição impossível numa proposição falsa.

A primeira e a terceira proposições são verdadeiras pois existem animais mamíferos e humanos analfabetos. Já a segunda proposição é falsa, uma vez que ninguém ainda foi ao planeta Urano.

�� O QUANTIFICADOR UNIVERSAL

Usa­‑se o quantificador universal quando a condição ou propriedade é estendida a todos os elementos do conjunto. Simboliza­‑se por ∀ e que se lê “qualquer que seja” ou “para todo”.

Aplicado às proposições anteriores teremos:

(1) ∀x, P(x) que se traduz em: “todo animal é mamífero”;

(2) ∀x, Q(x) que se traduz em: “todo homem já foi ao planeta Urano”;

(3) ∀x, R(x) que se traduz em: “todo humano é analfabeto”.

 

O QUANTIFICADOR EXISTENCIAL ESTRITO

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48  Raciocínio Lógico para Concursos

A proposição é considerada verdadeira se algum elemento x satisfizer às condições explícitas no predicado. Se nenhum elemento x satisfizer às condições do predicado, a proposição é falsa.

Assim, o quantificador existencial transforma uma condição possível numa proposição verdadeira e uma condição impossível numa proposição falsa.

A primeira e a terceira proposições são verdadeiras pois existem animais mamíferos e humanos analfabetos. Já a segunda proposição é falsa, uma vez que ninguém ainda foi ao planeta Urano.

�� O QUANTIFICADOR UNIVERSAL

Usa­‑se o quantificador universal quando a condição ou propriedade é estendida a todos os elementos do conjunto. Simboliza­‑se por ∀ e que se lê “qualquer que seja” ou “para todo”.

Aplicado às proposições anteriores teremos:

(1) ∀x, P(x) que se traduz em: “todo animal é mamífero”;

(2) ∀x, Q(x) que se traduz em: “todo homem já foi ao planeta Urano”;

(3) ∀x, R(x) que se traduz em: “todo humano é analfabeto”.

 

NEGAÇÃO DE QUANTIFICADORES

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48  Raciocínio Lógico para Concursos

A proposição é considerada verdadeira se algum elemento x satisfizer às condições explícitas no predicado. Se nenhum elemento x satisfizer às condições do predicado, a proposição é falsa.

Assim, o quantificador existencial transforma uma condição possível numa proposição verdadeira e uma condição impossível numa proposição falsa.

A primeira e a terceira proposições são verdadeiras pois existem animais mamíferos e humanos analfabetos. Já a segunda proposição é falsa, uma vez que ninguém ainda foi ao planeta Urano.

�� O QUANTIFICADOR UNIVERSAL

Usa­‑se o quantificador universal quando a condição ou propriedade é estendida a todos os elementos do conjunto. Simboliza­‑se por ∀ e que se lê “qualquer que seja” ou “para todo”.

Aplicado às proposições anteriores teremos:

(1) ∀x, P(x) que se traduz em: “todo animal é mamífero”;

(2) ∀x, Q(x) que se traduz em: “todo homem já foi ao planeta Urano”;

(3) ∀x, R(x) que se traduz em: “todo humano é analfabeto”.

 

QUANTIFICADORES E DIAGRAMAS

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Quantificadores e diagrama de Venn  49

Matematicamente

[~∀x: P(x)] ≡ [∃x: ~P(x)]

[~∃x: P(x)] ≡ [∀x: ~P(x)]

�� QUANTIFICADORES E DIAGRAMAS

Chamamos de proposições categóricas àquelas que usam termos como todo, algum ou nenhum, como, por exemplo:

— todo mineiro é cruzeirense.

— algum mineiro é atleticano.

— nenhum mineiro é vascaíno.

O julgamento, bem como a negação de uma proposição categórica, pode ser facilitado através da construção de diagramas.

Consideremos que P(x) e Q(x) sejam os predicados da proposição categórica. Nestas condições, pode­‑se sintetizar os diagramas como se seguem:

A:

E:

I:

O:

Todos os X são Y.

Nenhum X é Y.

Algum X é Y.

Algum X não é Y.

Y

Y

X

X

A

E

Y

Y

X

I

X

O

Pelos diagramas podemos verificar as equivalências e negações:

(1) Nenhum Q(x) é P(x) equivale a nenhum P(x) é Q(x).

 

EXERCÍCIOS

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50  Raciocínio Lógico para Concursos

�� EXERCÍCIOS

1. (MPETO/CESPE — 2006) Julgue o item a seguir.

A proposição (∀x) ((x > 0) → (x + 2) é par) é V se x é um número inteiro.

2. (PROFESSOR — 2012) Com relação à sentença aberta x + 2 = 5, considerando N = {0,1,2,3,4,...} , pode-se dizer que: a) (∃x, x ∈ N) (x + 2 = 5) b) (∀x, x ∈ N) (x + 2 = 5)

c) (∀x, x ∈ N) (x + 2 > 5) d) (∀x, x ∈ N) (x + 2 ≠ 5)

3. (PROFESSOR — 2012) sendo Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}, pode-se afirmar que: a) (∀x, x ∈ Z) (x – 5 = 7) b) (∀x, x ∈ Z) (x – x = 0)

c) (∀x, x ∈ Z) (x – 5 > 0) d) (∀x, x ∈ Z) (x – 5 < 0)

4. (BANCO DO BRASIL — 2010) A proposição funcional “Para todo e qualquer valor de n, tem-se “6n < n²

+ 8” será verdadeira, se n for um número real: a) menor que 8. d) maior que 2. b) menor que 4. e) maior que 3. c) menor que 2.

5. (BANCO DO BRASIL — CESPE — 2007) Na lógica de primeira ordem, uma proposição é funcional quando é expressa por um predicado que contém um número finito de variáveis e é interpretada como verdadeira (V) ou falsa (F) quando são atribuídos valores às variáveis e um significado ao predicado. Por exemplo, a proposição “Para qualquer x, tem-se que x – 2 > 0” possui interpretação V quando x é um número real maior do que 2 e possui interpretação F quando x pertence, por exemplo, ao conjunto {–4, –3, –2, –1,

 

GABARITO

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Quantificadores e diagrama de Venn  55

passar de uma sentença aberta a uma proposição é pela quantificação da variável. São dois os quantificadores: “qualquer que seja” ou “para todo”, indicado por “∀”, e “existe”, indicado por “∃”.

Por exemplo, a proposição “(∀x)(x ∈ ℜ) (x + 3 = 7)” é valorada como F, enquanto a proposição “(∃x)(x ∈ ℜ)

(x + 3 = 7)” é valorada como V.

Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem, a respeito de lógica sentencial e de primeira ordem.

1. Se Q é o conjunto dos números racionais, então a proposição (∃x)(x ∈ Q)(x² + x – 1 = 0) é julgada como V.

2. Se N é o conjunto dos números inteiros, então a proposição (∀x)(x ∈ N)[(x – 1)x(x + 1) é divisível por 3]

é julgada como V.

3. Se Q é o conjunto dos números racionais, então a proposição (∀x)(x ∈ Q e x > 0)(x2 > x) é valorada como F.

4. Se Q é o conjunto dos números racionais, então a proposição (∃x)(x ∈ Q)(x2 = 2) é valorada como V.

34. (CESPE/Unb) Considere as sentenças enumeradas a seguir.

 

ARGUMENTOS CONDICIONAIS E CATEGÓRICOS

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3

Argumentação

�� ARGUMENTOS CONDICIONAIS E CATEGÓRICOS

Nosso estudo de formas específicas de argumentos terá início com o exame de quatro argumentos simples e fundamentais. Dois deles são válidos; os outros dois, não válidos. Em cada caso há duas premissas, sendo a primeira delas um enunciado condicional.

A primeira forma de argumento válido é chamada “afirmação do antecedente” (às vezes, “mo‑ dus ponens”). Considere­‑se este exemplo: a) Se João for reprovado em português, será desclassificado.

João é reprovado em português.

→ João será desclassificado.

O argumento é válido; sua forma pode ser descrita por este esquema: b) Se p, então q. p.

→ q.

Aí está mais um exemplo da passagem que se faz ao considerar não ao argumento, mas a sua forma ou estrutura; b não é um argumento, mas o esquema de um argumento. As letras “p” e “q” não são enunciados — são apenas letras. Um argumento é obtido quando essas letras são substituídas por enunciados particulares. É claro que o mesmo enunciado deve ocorrer nos locais em que ocorre “p”, e o mesmo enunciado deve substituir “q” em todos os locais em que a letra figura.

 

REGRAS DE INFERÊNCIA USADAS PARA DEMONSTRAR A VALIDADE DOS ARGUMENTOS

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Argumentação  63

�� REGRAS DE INFERÊNCIA USADAS PARA DEMONSTRAR A VALIDADE DOS ARGUMENTOS

Regra de adição (AD): i) p p∨q

Regra de simplificação

(SIMP): i) p ∧ q p

ii)  q q∨p

Regra da conjunção

(CONJ):

Regra da absorção

(ABS):

Regra modus ponens (MP):

i) p q p∧q

p→q p → (p ∧ q)

p→q p q

ii) p ∧ q q

ii)  p q q∧p

Regra modus tollens

(MT):

Regra do silogismo disjuntivo (SD):

Regra do silogismo hipotético (SH):

Regra do dilema construtivo (DC):

Regra do dilema destrutivo (DD):

p→q

~q

~p

i) p ∨ q

~p q

p→q q→r p→r

p→q r→s p∨r q∨s

p→q r→s

~q ∨ ~s

~p ∨ ~r

ii) p ∨ q

~q p

Exemplo:

(BANCO DO BRASIL — 2007) É correto o raciocínio lógico dado pela sequência de proposições seguintes:

— Se Antônio for bonito ou Maria for alta, então José será aprovado no concurso.

— Maria é alta. Portanto José será aprovado no concurso. p: Se Antônio for bonito ou Maria for alta. q: José será aprovado no concurso.

 

DEFINIÇÕES IMPORTANTES

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Argumentação  63

�� REGRAS DE INFERÊNCIA USADAS PARA DEMONSTRAR A VALIDADE DOS ARGUMENTOS

Regra de adição (AD): i) p p∨q

Regra de simplificação

(SIMP): i) p ∧ q p

ii)  q q∨p

Regra da conjunção

(CONJ):

Regra da absorção

(ABS):

Regra modus ponens (MP):

i) p q p∧q

p→q p → (p ∧ q)

p→q p q

ii) p ∧ q q

ii)  p q q∧p

Regra modus tollens

(MT):

Regra do silogismo disjuntivo (SD):

Regra do silogismo hipotético (SH):

Regra do dilema construtivo (DC):

Regra do dilema destrutivo (DD):

p→q

~q

~p

i) p ∨ q

~p q

p→q q→r p→r

p→q r→s p∨r q∨s

p→q r→s

~q ∨ ~s

~p ∨ ~r

ii) p ∨ q

~q p

Exemplo:

(BANCO DO BRASIL — 2007) É correto o raciocínio lógico dado pela sequência de proposições seguintes:

— Se Antônio for bonito ou Maria for alta, então José será aprovado no concurso.

— Maria é alta. Portanto José será aprovado no concurso. p: Se Antônio for bonito ou Maria for alta. q: José será aprovado no concurso.

 

ESTRUTURA BÁSICA DE UM ARGUMENTO

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64  Raciocínio Lógico para Concursos

�� Um argumento é válido se, e somente se, a conclusão for verdadeira, sempre que as pre-

missas forem simultaneamente verdadeiras.

�� Um argumento não válido (inválido) chama­‑se sofisma ou falácia.

�� Silogismo é um argumento formado por duas premissas e uma conclusão.

�� ESTRUTURA BÁSICA DE UM ARGUMENTO:

Premissa

Premissa

Conclusão

O objetivo do pensador lógico é obter princípios generalizadores, estruturas que não são obtidas diretamente pelas informações que captamos pelos nossos sentidos, mas, sim, através do que conseguimos perceber estudando e pensando sobre o que temos em nossa memória. A lógica seria, assim, uma atitude de reflexão sobre a verdade ou falsidade de ideias e proposições que crescem espontaneamente em nossa mente. A generalização que a lógica procura obter tem como foco principal a forma e a estrutura das frases e pensamentos, até que se chegue a um ponto em que os pensamentos originais sejam desnecessários, só restando suas formas genéricas. Como exemplo, é intuitivo que a sequência de frases abaixo seja verdadeira:

 

EXERCÍCIOS

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Argumentação  67

2. Todo asiático é brasileiro. (P1)

Chico Buarque é asiático. (P2)

Logo, Chico Buarque é brasileiro. (C)

P1:

asiáticos

brasileiros

P2:

Chico

asiáticos

brasileiros

A conclusão é verificada pelas premissas; logo, temos a seguinte análise: argumento válido com conclusão verdadeira.

Importante:

�� Para analisar a validade de um argumento, não questionamos a veracidade das premissas. O que nos interessa é observar se a conclusão verifica todas as premissas.

�� Para analisar a conclusão do argumento, o fazemos independentemente da análise do próprio argumento. O que nos interessa é observar se a proposição dada como conclusão corresponde ou não à realidade, indepen‑ dentemente da validade do argumento ou das premissas.

�� Nem sempre é necessário analisar a conclusão. Na maioria das vezes, basta analisar o argumento. Em muitos casos não é possível atribuir valor lógico à conclusão de um argumento.

 

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