Álgebra Linear

Autor(es): W. Keith Nicholson
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Apresenta uma breve introdução à adição de matrizes, multiplicação por escalar e transposição, para em seguida abordar, de forma bastante didática, o algoritmo de Gauss para a resolução de sistemas de equações lineares, multiplicação de matrizes, determinantes, geometria vetorial, espaço vetorial Rn e espaços vetoriais gerais, entre outros.

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1.1 Matrizes

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CAPÍTULO

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1

Equações Lineares e Matrizes

1.1

MATRIZES

Em matemática e suas aplicações, freqüentemente os números aparecem, de forma natural, em seqüências retangulares ordenadas. A seguir são apresentados alguns exemplos.

Exemplo 1

As coordenadas de um ponto no plano são geralmente escritas como um par ordenado

(x, y). Aqui, a palavra ordenado indica que a ordem das coordenadas x e y é importante.

Por exemplo, (2, 3) e (3, 2) representam pontos distintos. Analogamente, as coordenadas de um ponto no espaço são escritas como uma tripla ordenada (x, y, z).

Exemplo 2

O sistema de equações lineares

3x − 5y = 2

4x + 7y = 1

é completamente descrito pela tabela 2 × 3 de números

3

−5

2

4

7

1

.

De fato, é dessa forma que o sistema de equações é representado em um computador.

 

1.2 Equações lineares

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CAPÍTULO 1

1.2

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Equações Lineares e Matrizes

EQUAÇÕES LINEARES

Uma das motivações históricas para o desenvolvimento da matemática tem sido a busca por um modo de analisar e resolver problemas práticos. Com exceção do Cálculo Diferencial e

Integral, o método mais comum tem sido reduzir um problema à resolução de um conjunto de equações lineares. Esse método mostrou-se eficiente em ciências, engenharia e ciências sociais. Aqui temos um exemplo simples.

1.2.1

Equações Lineares

Exemplo 1

Uma instituição de caridade deseja doar um fundo que proporcionará $ 50.000 por ano à pesquisa sobre o câncer. Tal instituição possui $ 480.000 e, para reduzir riscos, planeja investir em dois bancos, que pagam 10% e 11% a.a., respectivamente. Quanto deve ser investido em cada banco?

SOLUÇÃO

Se x dólares são investidos a 10% e y dólares são investidos a 11%, então x + y = 480.000, e o

 

1.3 Sistemas homogêneos

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1.3 Sistemas Homogêneos

1.3

21

SISTEMAS HOMOGÊNEOS

Nesta seção, vamos nos concentrar em uma classe particular de sistemas de equações lineares, a saber, os sistemas em que o termo constante de cada equação é igual a 0.

1.3.1

Sistemas Homogêneos

Um sistema de equações lineares é denominado homogêneo se todos os termos constantes forem nulos. Assim, uma equação linear homogênea típica, em n indeterminadas x1, x2, · · · , xn tem a forma a1x1 + a2x2 + · · · + anxn = 0.

Como os termos constantes são todos nulos, qualquer sistema homogêneo admite sempre a solução trivial x1 = 0, x2 = 0, · · · , xn = 0 em que toda variável é igual a zero. Muitos problemas práticos se resumem em descobrir se um sistema homogêneo tem alguma solução não-trivial, ou seja, uma solução em que pelo menos uma das variáveis é diferente de zero. O teorema a seguir apresenta uma situação importante em que isso certamente ocorre.

 

1.5 Matrizes inversas

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CAPÍTULO 1

1.5

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Equações Lineares e Matrizes

MATRIZES INVERSAS

Freqüentemente é importante “reverter” o efeito da multiplicação por uma matriz. Eis aqui um exemplo.

Exemplo 1

� � x

Um avião espião voa sobre território inimigo e transmite sua posição X =

y

para o

quartel-general (aqui x e y denotam a longitude e a latitude, respectivamente).

Essas transmissões provavelmente serão interceptadas, por isso elas devem ser codificadas para que a posição exata seja mantida em sigilo. O método escolhido é a multiplicação das coordenadas da posição pela matriz A =

x′ y′

3

−4

2

7

� � x

=A

y

obtendo assim coordenadas codificadas

=

3x − 4y

2x + 7y

que são enviadas para o quartel-general. Deduza um método para que o quartel-general possa decodificar essas coordenadas.

 

1.6 Matrizes elementares

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CAPÍTULO 1

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Equações Lineares e Matrizes

e) Sabendo agora que A pode ser levada a I por operações

a) Se B e C são inversíveis, mostre que A é inversível e que

elementares com as linhas, o que você diz sobre a resolução de um sistema AX = B? Use esse fato para encontrar uma matriz C tal que AC = I encontrando sucessivamente cada coluna de C. f) Agora que AC = I, verifique que CA = I também vale.

Isso irá acontecer sempre? g) O que acontece ⎤com todas essas condições no caso

A=

1

⎢ −2

−1

1

−3

1

A−1 =

que AB = BA.

26. Suponha que A e B sejam matrizes quadradas não nulas tais

que AB = 0. Mostre que nem A nem B têm inversa.

27. O que está errado com a seguinte solução do Exemplo 12?

Justifique sua resposta.

“Solução”: Como AB é inversível, temos (AB)−1 = B −1A−1 pelo Teorema 3. Logo, B −1 = (AB)−1A.

 

1.7 Fatoração LU

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CAPÍTULO 1

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Equações Lineares e Matrizes

16. Se B = UA e U é inversível, mostre que A → B por

11. Seja E uma matriz elementar. Mostre que ET é também uma

operações com as linhas.

matriz elementar, do mesmo tipo que E.

17. a) Mostre que toda matriz A de tamanho m × n pode ser

12. Em cada caso, ou mostre que a afirmação é verdadeira

fatorada como A = UR onde U é inversível e R está na forma escalonada reduzida. b) Mostre que a matriz R na fatoração em a) é única, isto é, se A = U1R1 como em a), então R1 = R. c) Mostre que a fatoração em a) pode não ser única em geral.

ou dê um exemplo mostrando que ela é falsa. a) Se B = EA onde E é elementar, então A = FB para alguma matriz elementar F. b) O produto de duas matrizes elementares é também elementar. c) A transposta de uma matriz elementar é também elementar. d) Se A → R e B → R onde R é uma matriz escalonada reduzida, então A = B.

 

1.8 Aplicação a cadeias de Markov

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1.8 Aplicação a Cadeias de Markov

8. Mostre que qualquer troca de linhas pode ser conseguida por

meio de operações com as linhas de outro tipo.

9. Mostre que qualquer múltiplo de uma linha pode ser

somado a outra linha acima dela por operações com as linhas de outros tipos.

10. a) Mostre que toda matriz de permutações é inversível. b) Mostre que a inversa de uma matriz de permutações

é também uma matriz de permutações.

11. Mostre que a fatoração LDLT no Teorema 2 é única.

1.8

12. Uma matriz triangular é dita triangular unitária se for

quadrada e todo elemento na diagonal principal for 1. a) Se A admite uma fatoração LU, mostre que A = LU em que L é unitária triangular inferior e U é triangular superior. b) Mostre que a fatoração em a) será única se A for inversível.

13. Se A =

a

b

b

c

com a ≠ 0 e ac ≠ b2, mostre que A admite

 

1.9 Corpos finitos e criptografia

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1.9 Corpos Finitos e Criptografia

a) Se os elementos de uma matriz P de tamanho n × n são

c) Encontre o vetor de estados estacionários calculando Sn

não-negativos, mostre que P é estocástica se e somente se EP = E. b) Mostre que o produto de duas matrizes estocásticas

é estocástico. c) Se P é estocástica, mostre que existe um vetor-coluna

S ≠ 0 tal que PS = S. [Na verdade, S pode ser escolhido de modo que seja um vetor de probabilidades.]

para valores grandes de n e argumente sobre se, como um proprietário de cassino, você iria lucrar com tal jogo em rodadas longas contra seus clientes.

12. Em cada caso, ou mostre que a afirmação é verdadeira

ou dê um exemplo mostrando que ela é falsa. Abaixo, P representa uma matriz de probabilidade de transição. a) Se todas as linhas de P, exceto a última, são conhecidas, então a última linha também é conhecida. b) Se P tem um 1 na diagonal principal, então P é regular. c) Se P é regular, então é inversível. d) Se P é inversível, então é regular.

 

2.1 Expansões autovalores

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CAPÍTULO

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2

Determinantes e

Autovalores

2.1

EXPANSÕES AUTOVALORES

Na Seção 1.5 definimos o determinante de uma matriz 2 × 2 A = detA = det

a

b

c

d

a

b

c

d

como:

= ad − bc

Mostramos então (no Exemplo 5 da Seção 1.5) que A tem uma inversa se detA ≠ 0, e demos uma fórmula para a inversa nesse caso. Um dos objetivos deste capítulo é fazer o mesmo para qualquer matriz quadrada A.

Não há dificuldade se A for uma matriz 1 × 1, digamos A = [a]. Nesse caso, definimos det[a] = a

[a]

Observamos que

é inversível se

(e somente se) a ≠ 0, e que a fórmula para a inversa

� �

é [a]−1 = 1a .

O que fazemos quando A é uma matriz n × n com n ≥ 3? A fórmula para o determinante de uma matriz 3 × 3 é:

a

⎢ det ⎢

⎣d g

b

 

2.2 Determinantes e inversas

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2.2 Determinantes e Inversas b) O que está errado no argumento a seguir?

21. a) Mostre que

det(A + BT ) = detA + detBT = detAT + detB

= det(AT + B)

0

⎢1

19. Mostre que det ⎢

20. Mostre que

x

⎢0 det ⎢

⎢0

⎣ a

⎢1

1

1

⎢ det ⎢

⎣1

1

1

0 x x x y z

1

1

⎥ x⎥

0 x⎥

⎦ x 0

⎤ x2

⎥ y2 ⎥

⎦ =

2 z x

= −3x2 .

0

x

−1

0

x

b

c

0

0⎥

−1 ⎥

⎦ x+d

= a + bx + cx2 + dx3 + x4 .

[Esta matriz é chamada matriz companheira do polinômio a + bx + cx2 + dx3 + x 4 ]. b) Escreva agora a matriz companheira de tamanho

(y − x)(z − x)(z − y). [Esse é o

5 × 5 de a + bx + cx2 + dx3 + ex4 + x 5 (a última linha

 

2.3 Diagonalização e autovalores

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CAPÍTULO 2

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Determinantes e Autovalores

18. Se A é n × n, utilize o Teorema 1 para mostrar que

20. Se A é n × n e inversível, mostre que

det(adjA) = (detA)n − 1 .

det(kA) = kn detA para todos os escalares k (isso é o

Teorema 3 da Seção 2.1). [Sugestão: Mostre, primeiro, que kA = (kI)A.]

19. a) Se A =

0

1

−1

0

21. Se A é 3 × 3 e detA = 2, calcule det[−A2(adjA)−1].

22. Se A é n × n e detA = 2, calcule det[A−1 + adjA].

, mostre que A2 = −I.

23. a) Se A = UB onde detU = 1, mostre que detA = detB. b) Se A e B são inversíveis e detA = detB, mostre

b) Mostre que não existe uma matriz A 3 × 3 tal

que A2 = −I.

que A = UB para alguma matriz inversível U tal que detU = 1.

2.3

DIAGONALIZAÇÃO E AUTOVALORES

Um problema central em aplicações da álgebra linear é descrever sistemas que se alteram com o tempo. O Exemplo 1 a seguir mostrará que isso, freqüentemente, passa a ser encontrar uma forma de se calcular eficientemente as potências A, A2, A3, · · · de uma matriz quadrada

 

2.4 Sistemas dinâmicos lineares

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CAPÍTULO 2

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Determinantes e Autovalores

19. Suponha que A tem autovalores λ1 e λ2 com autovetores

associados X1 e X2 .

� �

2

a) Encontre A se λ1 = 2, λ2 = 5, X1 =

b) Encontre A se λ1 = −1, λ2 = 0, X1 =

20. Se A =

a

b

c

d

1

[] .

,eand

X =X[ = ].

3

X2 =X2 = .

,eand

1

� �

1

b) Os autovalores de�A são

2

–1

2

2

2

λ=

� �

3

2

−1

1

2

(a + d) ±

(a − d)2 + 4bc .

21. a) Se D é diagonal com autovalores distintos e se CD = DC,

2

, mostre que:

a) cA(x) = x2 − (trA)x + detA onde trA = a + d é chamado

.

mostre que C também é diagonal. [Sugestão: Compare o elemento (i, j) em CD = DC.] b) Se A é diagonalizável com autovalores distintos e se

 

2.5 Autovalores complexos

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2.5 Autovalores Complexos c) Encontre os autovalores e autovetores associados de A,

utilize-os para diagonalizar a matriz A e escreva a fórmula geral para calcular Vk . d) Calcule a população prevista para cada ano dos próximos

30 anos e, utilizando autovalores, mostre se um equilíbrio vai ser alcançado. e) Em 5 anos, biólogos tentaram melhorar a população de falcões introduzindo 1.000 ratos na área de caça dos falcões. Preveja e compare a nova população de falcões para daqui a 10 anos.

2.5

f) A partir de tal ponto, a taxa de sobrevivência dos falcões

cai para 0,50. Os biólogos estão preocupados que isso possa eliminar a população de falcões. Teste para ver o que o modelo está prevendo e explique o que está acontecendo.

6. Descreva as trajetórias do sistema dinâmico com matriz

A=

0

1

−1

0

.

AUTOVALORES COMPLEXOS

 

2.6 Recorrências lineares

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2.6 Recorrências Lineares

2.6

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RECORRÊNCIAS LINEARES

Uma seqüência x0, x1, · · · de números é dada recursivamente se cada número na seqüência

é completamente determinado por aqueles que vêm antes dele. Tais seqüências surgem freqüentemente na matemática e na ciência da computação e em várias partes das ciências naturais e sociais. Aqui está um exemplo.

2.6.1

Exemplo 1

Um planejador urbano quer determinar o número xk de modos que uma coluna com k vagas de estacionamento podem ser preenchidas por carros e caminhões se caminhões ocupam duas vagas cada um. Encontre x12.

SOLUÇÃO

Claramente, x0 = 1 e x1 = 1, enquanto x2 = 2 porque podem parar dois carros ou um caminhão. Temos x3 = 3 (as três configurações são ccc, cT e Tc), e x4 = 5 (cccc, ccT, cTc,

Tcc e TT). Contudo, enumerar as possibilidades desse modo se torna difícil se o número k de vagas for grande. Algum outro método é necessário. Nesse caso (e em muitos outros), temos que os números xk são dados recursivamente e isso resolve o problema. De fato, afirmamos que xk + 2 = xk + xk + 1 para todo k ≥ 0.

 

2.7 Interpolação polinomial

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2.7 Interpolação Polinomial

16. Considere a recorrência linear

xk + 2 = axk + 1 + bxk + c(k) onde c(k) é uma função de k. Também considere a recorrência relacionada xk + 2 = axk + 1 + bxk .

2.7

(∗)

(∗∗)

Suponha que xk = pk é uma solução particular de (∗). a) Se qk é uma solução qualquer de (∗∗), mostre que qk + pk

é uma solução de (∗). b) Mostre que toda solução de (∗) surge como em a) como a soma de uma solução de (∗∗) com uma particular solução pk de (∗).

INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL

Em uma experiência científica, freqüentemente, é necessário o uso de dados conhecidos para estimar alguma quantidade. Existem muitos métodos para se fazer isso. Nesta seção, apresentamos o método da interpolação polinomial.

2.7.1

Interpolação Polinomial

Exemplo 1

Desvio

Um engenheiro quer estimar o desvio de uma barra de madeira sob uma carga de 2.200 kg.

 

2.8 Sistemas de equações diferenciais

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CAPÍTULO 2

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Determinantes e Autovalores

b) Se você sabe um pouco de cálculo, desenhe a rampa

de modo que o ângulo de partida forme 0˚ com a horizontal. c) Especifique, agora, que a rampa forma uma linha reta descendente para os primeiros 25 m horizontais e 20 m verticais. Desenhe a rampa de modo que o segmento e reta e a curva restante tenham a mesma primeira derivada

(tangente) no ponto de interseção. d) Refaça c), mas exija que as segundas derivadas também coincidam no ponto de interseção.

4. Seja A a matriz de Vandermonde correspondente aos

números x1, x2, · · · , xn . Na demonstração do Teorema 1, foi mostrado que A é inversível se os xi são distintos.

Mostre que, reciprocamente, se A é inversível, então os xi devem ser distintos.

5.† Splines Cúbicas. Em algumas aplicações, uma escolha melhor

de uma curva que passa por vários pontos é obtida unindo-se dois polinômios cúbicos (isto é, de grau 3) que passam por pontos consecutivos e que tenham primeiras e segundas derivadas coincidentes nos pontos dados.

 

3.1 Vetores

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CAPÍTULO

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3

Geometria Vetorial

3.1

VETORES

A palavra geometria em grego significa medida da terra e seus usos práticos remontam

à Antigüidade. Na Grécia antiga, toda a matemática era vista como geometria, mas neste capítulo estaremos interessados especialmente em retas e planos do espaço. Nossa abordagem será olhar pontos como matrizes-coluna (chamados vetores neste contexto) e então usar a álgebra das matrizes para simplificar os cálculos.

Sistemas de Coordenadas

3.1.1

Y

P(x, y)

y

1

O

1

x

X

Figura 3.1

Z z

P(x, y, z)

O x

X

Figura 3.2

3.1.2

y

Y

Os gregos praticavam geometria sintética, ou seja, lidavam com figuras geométricas sem o uso de um sistema de coordenadas. O uso de coordenadas foi iniciado por René Descartes1 em 1637, e possibilitou o uso de equações algébricas para descrever figuras geométricas.

 

3.2 Produto escalar e projeções

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CAPÍTULO 3

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Geometria Vetorial

21. Seja P = P(x, y) um ponto arbitrário do plano com vetor

22. Seja P = P(x, y, z) um ponto arbitrário do espaço com vetor

posição �p = [x y]T . Denote por C a circunferência de centro na origem e raio r > 0 . a) Se P está sobre a circunferência

� � C , explique

��p� = r. geometricamente por que

� �

� b) Se �p = r, explique geometricamente por que P está sobre a circunferência C . c) Use a) e b) para mostrar que a equação da circunferência C

é x2 + y 2 = r 2 .

3.2

posição �p = [x y z]T . Denote por S a esfera de centro na origem e raio r > 0 . a) Se P�está

� sobre a esfera S, explique geometricamente por

�p� = r. que� �� b) Se ��p� = r, explique geometricamente por que P está sobre a esfera S. c) Use a) e b) para mostrar que a equação da esfera S é x2 + y 2 + z 2 = r 2 .

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