Matemática Básica para Cursos Superiores, 2ª edição

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Esta obra tem como principal objetivo oferecer uma revisão dos conhecimentos de matemática para os alunos ingressantes no Ensino Superior, apresentando as ferramentas necessárias para o desenvolvimento de seu raciocínio lógico. Nesta 2a edição, foram realizadas correções e atualizações nas partes grá_ cas e nos exercícios para uma abordagem mais atual e usual, de maneira que estimule o estudante. Também foram inseridos novos exercícios e incentivos para o uso de recursos eletrônicos, como calculadoras programáveis e tabelas em Excel. Livro-texto para a disciplina Matemática do ciclo básico de cursos nas áreas de Ciências Humanas e Ciências Sociais Aplicadas. 

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6 capítulos

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0 - Revisão: o Conjunto dos Números Reais – um Resumo Operacional

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Revisão: o Conjunto dos Números Reais – um Resumo

Operacional

0

O objetivo deste capítulo é apresentar o conjunto dos números reais de forma clara e descomplicada e revisar os principais conceitos da álgebra elementar de interesse para os capítulos seguintes.

Os números podem ser separados em grupos de acordo com uma característica comum. Basicamente, os números são racionais ou irracionais. Saber operar os números, conhecendo suas várias representações, é fundamental em qualquer estudo que envolva métodos quantitativos.

1  O CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS

Observe os números escritos em sua forma decimal:

34,2

– 12,456

1,0454545...

O valor 1,0454545... é um número decimal que apresenta a partir da segunda casa decimal a repetição sistemática dos algarismos 4 e 5. Isso o classifica como uma dízima periódica.

Os exemplos anteriores, assim como os números inteiros relativos, também podem ser escritos na forma de uma dízima periódica.

 

1 - Funções

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1

FUNÇÕES

Suponha que você tenha um arame de 65 cm de comprimento e quer, com ele, construir um retângulo. Se você escolhe um lado de 5 cm, o lado oposto também terá 5 cm, restando do arame

55 cm para os outros dois lados que terão, cada um, metade dos 55 cm, ou seja, 27,5 cm cada um. Da mesma forma, se você escolhe um lado de 10 cm, resta 45 cm para os outros dois lados que terão, então, 22,5 cm cada um. Cada retângulo construído tem área calculada pelo produto dos dois lados diferentes. A tabela mostra, a partir de um valor escolhido para um lado, o valor do outro lado e a área correspondente do retângulo.

5 cm

Valor escolhido

Outro lado

Área do retângulo

5

27,5

5 x 27,5 = 137,5

10

22,5

10 x 22,5 = 225

13

19,5

13 x 19,5 = 253,5

20

12,5

20 x 12,5 = 250

24

8,5

24 x 8,5 = 204

Fica claro que a área do retângulo que você constrói a partir do arame de 65 cm, depende do tamanho que você escolhe para um dos lados. Para cada tamanho escolhido, teremos uma

 

2 Noção Intuitiva de Limite

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2

Noção Intuitiva de

Limite

O estudo das funções como passa a ser visto a partir deste ponto é conhecido como Cálculo.

O Cálculo aborda o estudo das funções apoiado na teoria dos limites. Essa teoria será tratada aqui de maneira intuitiva, pois sua abordagem não é simples. É sempre bom começar este assunto com um exemplo bem-humorado.

Um ponto está a 64 cm de uma reta e se desloca para ela percorrendo metade da distância que a separa da reta a cada segundo. Depois de quantos anos o ponto atinge a reta?

P0s

P1s

P2s

P3s

.....

64

32

16

8

.....

Depois de muita discussão, todos concordam que o ponto nunca atingirá a reta. A reta apenas limita o deslocamento do ponto. É o seu limite.

1  LIMITE DE FUNÇÃO EM UM PONTO

1.1  Limites finitos

Estamos interessados agora em verificar qual o comportamento dos valores y da função y = f(x) , quando x está próximo de um ponto p.

 

3 Derivada de uma função

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3

Derivada de uma

Função

Um fato conhecido pela maioria das pessoas é que o consumo de combustível de um automóvel depende de alguns fatores, inclusive da calibragem dos pneus. Vamos medir o consumo de um automóvel em um trecho de 1.000 m com várias calibragens nos pneus.

Calibragem: libra/pol2

Consumo: km/litro

20

9

25

10,5

1.5

30

11,3

0,8

35

10,7

–0,6

40

9,5

–1,2

Variação do consumo

Consumo (km/l)

12

10

8

6

4

2

0

20

25

30

35

40

Calibragem (lb/pol2)

A parte superior do gráfico parece reproduzir um trecho de parábola.

1_prova_Medeiros_Matematica_basica_para_cursos_superiores.indb 107

04/06/2018 14:47:01

108  Capítulo 3

Simplificando os fatos, vamos construir um gráfico, atribuindo cada variação do consumo ao ponto médio do intervalo de calibragem em que ela ocorre.

 

4 Estudo da Variação de Funções

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Estudo da Variação de

Funções

4

Neste capítulo, o objetivo é construir um suporte teórico para que possamos entender como abordar problemas práticos que ocorrem em muitas atividades econômicas, de pesquisa etc., visando atingir metas que contribuem para o sucesso destas atividades. Os exemplos a seguir estão simplificados para manter o foco nos conhecimentos que estamos estudando.

1. Uma indústria de papel e celulose planta eucaliptos para suprir sua necessidade de matéria-prima. O volume de madeira é medido em campo a cada ano. O volume cresce devagar nos primeiros anos, depois acelera nos anos seguintes para posteriormente voltar a crescer mais devagar.

A meta é saber em que época devemos cortar os eucaliptos e substituí-los por novas mudas para que o volume de madeira obtido seja o maior possível no decorrer do tempo.

2. Em uma granja (de frangos, de porcos etc.) existe preocupação semelhante. Quando substituir os animais por novos filhotes para que o volume de carne obtido seja o maior possível ao longo do tempo. Os animais, como as plantas do exemplo anterior, apresentam ganho de peso mais lento no início, acelerando posteriormente para voltar a diminuir em seguida.

 

5 Integral de Riemann

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Integral de Riemann

5

O Cálculo Integral que passamos a estudar é motivado, em princípio, pelo problema de calcular a área de uma figura com pelo menos um lado curvo.

Área = ?

Entretanto, um resultado importante, o Teorema Fundamental do Cálculo Integral acaba ligando o problema do cálculo dessa área à derivada que estudamos anteriormente. Basicamente, o que vamos procurar aqui é uma antiderivada, isto é, uma função que tem como derivada a função que estamos estudando.

Função que temos (a derivada): F(x) = 2x

Função que procuramos (a antiderivada): G(x) = x2

Como já mencionamos anteriormente, ao procurar um modelo algébrico que se comporte como um sistema que queremos estudar, o que podemos observar e medir desse sistema é geralmente a sua variação. Desta forma, podemos obter não o modelo do sistema, mas a sua derivada

(a medida da sua variação). A partir dessa derivada é que encontramos o modelo que procuramos.

1_prova_Medeiros_Matematica_basica_para_cursos_superiores.indb 155

 

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