Manual de Fórmulas e Tabelas Matemáticas - 3.ed. - Coleção Schaum

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87 capítulos

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1: Alfabeto Grego eConstantes Especiais

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Seção I: Constantes, Produtos e Fórmulas Elementares

1

Alfabeto Grego e

Constantes Especiais

Alfabeto grego

Nome

Grego

Letras Gregas

Minúsculas

Maiúsculas

Alfa

Α

Beta

Gama

1.2

1.3

1.4

Letras Gregas

Minúsculas

Maiúsculas

Ni

Ν

Β

Xi

Ξ

Γ

Ômicron

Ο

Delta

Δ

Pi

Π

Epsílon

Ε

Ρ

Zeta

Ζ

Sigma

Σ

Eta

Η

Tau

Τ

Teta

Θ

Ipsílon

Iota

Ι

Fi

Φ

Capa

Κ

Qui

Χ

Lambda

Λ

Psi

Ψ

Mi

Μ

Ômega

Ω

Constantes especiais

1.1

Nome

Grego

 

2: Produtos e FatoresEspeciais

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Produtos e Fatores

Especiais

2

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

2.6

2.7

2.8

2.9

2.10

Os resultados de 2.1 a 2.10 são casos especiais da fórmula binomial [ver 3.3].

2.11

2.12

2.13

2.14

2.15

2.16

2.17

2.18

2.19

Algumas generalizações das fórmulas acima são dadas pelos seguintes resultados, onde n é um inteiro positivo.

2.20

16

MANUAL DE FÓRMULAS E TABELAS MATEMÁTICAS

2.21

2.22

2.23

 

3: Fórmula Binomial eCoeficientes Binomiais

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Fórmula Binomial e

Coeficientes Binomiais

3

Fatorial de n

Para n ⫽ 1, 2, 3, ..., o fatorial de n é denotado e definido por

3.1

Zero fatorial é definido por

3.2

Alternativamente, podemos definir fatorial de n recursivamente por

Exemplo

Fórmula binomial para n inteiro positivo

Para n ⫽ 1, 2, 3, ...,

3.3

Esta é a fórmula binomial. Ela pode ser estendida a outros valores de n e, também, a uma série infinita [ver 22.4].

Exemplo

(a)

Aqui, x ⫽ a e y ⫽ ⫺2b.

(b) Ver Fig. 3-1(a).

Coeficientes binomiais

A Fórmula 3.3 pode ser reescrita na forma

3.4 onde os coeficientes, denominados coeficientes binomiais, são dados por

3.5

18

MANUAL DE FÓRMULAS E TABELAS MATEMÁTICAS

Exemplo

Observe que

tem exatamente r fatores tanto no numerador quanto no denominador.

Os coeficientes binomiais podem ser arranjados numa disposição triangular de números chamada triângulo de Pascal, como mostrado na Fig. 3-1(b). O triângulo possui as duas seguintes propriedades.

 

4: Números Complexos

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4

Números Complexos

Definições envolvendo números complexos

Um número complexo z é, geralmente, escrito na forma

onde a e b são números reais e i, chamada unidade imaginária, tem a propriedade i ⫽ ⫺1. Os números reais a e b são chamados partes real e imaginária de z ⫽ a ⫹ bi, respectivamente.

O conjugado complexo de z é denotado por e é definido por

2

Assim, a ⫹ bi e a ⫺ bi são conjugados um do outro.

Igualdade de números complexos

4.1 a ⫹ bi ⫽ c ⫹ di

se, e somente se,

a⫽ceb⫽d

Aritmética de números complexos

Fórmulas para adição, subtração, multiplicação e divisão de números complexos são as seguintes:

4.2

4.3

4.4

4.5

Observe que as operações dadas são obtidas usando as regras normais da Álgebra e substituindo i2 por ⫺1, onde quer que isso ocorra.

Exemplo

Suponha que z ⫽ 2 ⫹ 3i e w ⫽ 5 ⫺2i. Então

CAPÍTULO 4 • NÚMEROS COMPLEXOS

21

Plano complexo

 

5: Soluções deEquações Algébricas

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Soluções de

Equações Algébricas

Equação quadrática: ax2 ⴙ bx ⴙ c ⴝ 0

5.1 Soluções

Se a, b e c são números reais e se D ⫽ b ⫺ 4ac é o discriminante, então as raízes são

2

(i) reais e desiguais se D > 0

(ii) reais e iguais se D ⫽ 0

(iii) conjugadas complexas se D < 0

5.2 Se x1, x2 são as raízes, então, x1 ⫹ x2 ⫽ ⫺b/a e x1x2 ⫽ c/a.

Equação cúbica: x ⴙ a1x ⴙ a2x ⴙ a3 ⴝ 0

3

2

Sejam

onde ST ⫽ ⫺Q.

5.3 Soluções

Se a1, a2 e a3 são reais e se D ⫽ Q3 ⫹ R2 é o discriminante, então

(i) uma raiz é real e duas são complexas conjugadas se D > 0;

(ii) todas as raízes são reais e, no mínimo, duas são iguais se D ⫽ 0 e

(iii) todas as raízes são reais e desiguais se D < 0.

Se D < 0, o cálculo é simplificado usando-se trigonometria.

5.4 Soluções

se

onde

5

24

MANUAL DE FÓRMULAS E TABELAS MATEMÁTICAS

5.5 onde x1, x2 e x3 são as três raízes.

Equação quártica: x ⴙ a1x ⴙ a2x ⴙ a3x ⴙ a4 = 0

 

6: Fatores de Conversão

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6

Fatores de Conversão

Comprimento

1 quilômetro (km) = 1.000 metros = 0,6214 milhas

1 metro (m) = 100 centímetros = 1,094 jardas

–2

1 centímetro (cm) = 10 m = 0,3937 polegadas

1 polegada (in) = 2,540 cm

1 pé (ft) = 12 in = 30,48 cm

1 jarda (yd) = 3 ft = 91,44 cm

1 milha (mi) = 1.760 yd = 1,609 km

1 milímetro (mm) = 10–3 m

–6

1 micrômetro (μm) = 10 m

–10

1 angström (Å) = 10 m

Área

1 quilômetro quadrado (km ) = 100 hectares = 247,104 acres

2

2

1 metro quadrado (m ) = 10,76 ft

2

1 centímetro quadrado (cm ) = 0,155 in2

1 hectare (ha) = 100 ares = 104 m2 = 2,471 acres

2

2

1 are (a) = 100 m = 119,6 yd

2

1 acre = 0,4047 ha = 43.560 ft

2

2

1 polegada quadrada (in ) = 6,45 cm

2

2

1 pé quadrado (ft ) = 929 cm

1 milha quadrada (mi2) = 640 acres = 2,590 km2

Volume

1 litro (l) = 1.000 cm = 61,02 in = 0,03532 ft

 

7: Fórmulas Geométricas

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Seção II: Geometria

7

Fórmulas Geométricas

Retângulo de comprimento b e largura a

7.1 Área � ab

7.2 Perímetro � 2a � 2b

Fig. 7-1

Paralelogramo de altura h e base b

7.3 Área � bh � ab sen �

7.4 Perímetro � 2a � 2b

Fig. 7-2

Triângulo de altura h e base b

7.5 Área

onde

semiperímetro

7.6 Perímetro � a � b � c

Fig. 7-3

Trapezoide de altura h e lados paralelos a e b

7.7 Área

7.8 Perímetro

Fig. 7-4

28

MANUAL DE FÓRMULAS E TABELAS MATEMÁTICAS

Polígono regular de n lados de comprimento b

7.9 Área

7.10 Perímetro � nb

Fig. 7-5

Círculo de raio r

7.11 Área � �r

2

7.12 Perímetro � 2�r

Fig. 7-6

Setor do círculo de raio r

7.13 Área

7.14 Comprimento do arco s � r�

[com � em radianos]

Fig. 7-7

Raio de um círculo inscrito em um triângulo de lados a, b, c

7.15 onde

semiperímetro.

 

8: Fórmulas da GeometriaAnalítica Plana

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8

Fórmulas da Geometria

Analítica Plana

Distância d entre dois pontos P1(x1, y1) e P2(x2, y2)

8.1

Fig. 8-1

Declividade m da reta ligando dois pontos P1(x1, y1) e P2(x2, y2)

8.2

Equação da reta ligando dois pontos P1(x1, y1) e P2(x2, y2)

8.3

8.4 onde

é o coeficiente linear da reta, isto é, a ordenada do ponto de in-

terseção com o eixo y.

Forma segmentária da equação da reta

8.5 onde a � 0 é a medida algébrica do segmento determinado pela reta no eixo x e b � 0 é a medida algébrica do segmento determinado pela reta no eixo y.

Fig. 8-2

34

MANUAL DE FÓRMULAS E TABELAS MATEMÁTICAS

Forma normal da equação da reta

8.6 x cos � � y sen � � p onde p � distância perpendicular da origem O à reta e

� � ângulo de inclinação da perpendicular com o eixo x positivo.

Fig. 8-3

Equação geral da reta

8.7 Ax � By � C � 0

Distância do ponto (x1, y1) à reta Ax + By + C = 0

 

9: Curvas Planas Especiais

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9

Curvas Planas Especiais

Lemniscata

9.1 Equação em coordenadas polares

9.2 Equação em coordenadas retangulares

(x2� y2)2 � a2(x2– y2)

9.3 Ângulo entre AB′ ou A′B e eixo x � 45º

9.4 Área de um laço � a2

Fig. 9-1

Cicloide

9.5 Equação na forma paramétrica

9.6 Área sob um arco � 3�a2

9.7 Comprimento de um arco � 8a

Fig. 9-2

Esta é a curva descrita por um ponto P de um círculo de raio a que rola ao longo do eixo x.

Hipocicloide de quatro cúspides

9.8 Equação em coordenadas retangulares x2/3� y2/3 � a2/3

9.9 Equação na forma paramétrica

9.10 Área limitada pela curva �

9.11 Comprimento total da curva � 6a

Esta é a curva descrita por um ponto P de um círculo de raio a/4 que rola pela parte interna de um círculo fixo de raio a.

Fig. 9-3

40

MANUAL DE FÓRMULAS E TABELAS MATEMÁTICAS

Cardioide

9.12 Equação r � 2a(1 � cos �)

9.13 Área limitada pela curva � 6�a

 

10: Fórmulas da GeometriaAnalítica Espacial

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Fórmulas da Geometria

Analítica Espacial

10

Distância d entre dois pontos P1(x1, y1, z1) e P2(x2, y2, z2)

10.1

Fig. 10-1

Cossenos diretores de uma reta ligando os pontos P1(x1, y1, z1) e P2(x2, y2, z2)

10.2 onde �, �, � são os ângulos que a linha P1 P2 faz com os eixos x, y e z, respectivamente, e d é dado por 10.1 [ver Fig. 10-1].

Relação entre os cossenos diretores

10.3

Números diretores

Os números L, M e N, os quais são proporcionais aos cossenos diretores l, m e n, são chamados de números diretores. A relação entre eles é dada por

10.4

46

MANUAL DE FÓRMULAS E TABELAS MATEMÁTICAS

Equações da reta ligando P1(x1, y1, z1) e P2(x2, y2, z2) na forma padrão

10.5

Estas também são válidas se l, m e n forem substituídos por L, M e N, respectivamente.

Equações da reta ligando P1(x1, y1, z1) e P2(x2, y2, z2) na forma paramétrica

10.6 x � x1 � lt, y � y1 � mt, z � z1 � nt

Estas também são válidas se l, m e n forem substituídos por L, M e N, respectivamente.

 

11: Momentos deInércia Especiais

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11

Momentos de

Inércia Especiais

A tabela abaixo mostra os momentos de inércia de vários corpos rígidos de massa M. Em todos os casos, supõe-se que o corpo tem densidade uniforme, isto é, constante.

Tipo de corpo rígido

11.1

Vara delgada de comprimento a

(a)

em torno do eixo perpendicular à vara, através do centro da massa

(b)

em torno do eixo perpendicular à vara, através de uma extremidade

11.2

Paralelepípedo retangular de lados a, b e c

(a)

em torno do eixo paralelo a c e através do centro da face ab

(b)

em torno do eixo através do centro da face bc e paralelo a c

11.3

Placa retangular delgada de lados a, b

(a)

em torno do eixo perpendicular à placa, através do centro

(b)

em torno do eixo paralelo ao lado b, através do centro

11.4

Cilindro circular de raio a e altura h

(a)

em torno do eixo do cilindro

(b)

em torno do eixo através do centro da massa e perpendicular ao eixo cilíndrico

 

12: Funções Trigonométricas

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Seção III: Funções Transcendentes Elementares

12

Funções Trigonométricas

Definição das funções trigonométricas para um triângulo retângulo

O triângulo ABC tem um ângulo reto (90º) em C e lados de comprimento a, b e c. As funções trigonométricas do ângulo A são definidas como segue:

12.1 seno de A ⫽ sen

12.2 cosseno de A ⫽ cos

12.3 tangente de A ⫽ tg

12.4 cotangente de A ⫽ cotg

12.5 secante de A ⫽ sec

12.6 cossecante de A ⫽ cosec

Fig. 12-1

Extensões a ângulos que podem ser maiores do que 90o

Considere um sistema de coordenadas xy [ver Figuras 12-2 e 12-3]. O ponto P no plano xy tem coordenadas (x, y), onde x é considerado como positivo ao longo de OX e negativo ao longo de OX´, enquanto y é considerado positivo ao longo de OY e negativo ao longo de OY´. A distância da origem O ao ponto P é

. O ângulo A descrito no sentido anti-horário a partir de OX é consipositiva e denotada por derado positivo. Se for descrito no sentido horário a partir de OX é considerado negativo. Denominamos

 

13: Funções Exponenciaise Logarítmicas

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13

Funções Exponenciais e Logarítmicas

Leis dos expoentes

Abaixo, p e q são números reais, a e b são números positivos, m e n são inteiros positivos.

13.1

13.2

13.3

13.4

13.5

13.6

13.7

13.8

13.9

Em a , p é chamado de expoente, a é a base e a é a potência p-ésima de a. A função y ⫽ a é uma função exponencial. p

p

x

Logaritmos e antilogaritmos

Se ap ⫽ N, onde a ⫽ 0 ou 1, então p ⫽ logaN é chamado de logaritmo de N na base a. O número N ⫽ ap é o antilogaritmo de p na base a, escrito como antiloga p.

Exemplo

Como 32 ⫽ 9, temos log3 9 ⫽ 2, antilog3 2 ⫽ 9.

A função y ⫽ logax é uma função logarítmica.

Leis dos logaritmos

13.10

13.11

13.12

Logaritmos e antilogaritmos comuns

Os logaritmos e antilogaritmos comuns (também chamados decimais ou de Briggs) são aqueles em que a base a ⫽ 10. O logaritmo comum de N é denotado por log10N ou, simplesmente, log N. Para valores numéricos de logaritmos comuns, ver Tabela 1.

 

14: Funções Hiperbólicas

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Funções Hiperbólicas

14

Definição das funções hiperbólicas

14.1 Seno hiperbólico de x

⫽ senh

14.2 Cosseno hiperbólico de x

⫽ cosh

14.3 Tangente hiperbólica de x

⫽ tgh

14.4 Cotangente hiperbólica de x

⫽ cotgh

14.5 Secante hiperbólica de x

⫽ sech

14.6 Cossecante hiperbólica de x

⫽ cosech

Relações entre as funções hiperbólicas

14.7

14.8

14.9

14.10

14.11

14.12

14.13

Funções de argumentos negativos

14.14 senh (–x) ⫽ –senh x

14.15 cosh (–x) ⫽ cosh x

14.16 tgh (–x) ⫽ –tgh x

14.17 cosech (–x) ⫽ –cosech x

14.18 sech (–x) ⫽ sech x

14.19 cotgh (–x) ⫽ –cotgh x

68

MANUAL DE FÓRMULAS E TABELAS MATEMÁTICAS

Fórmulas de adição

14.20

14.21

14.22

14.23

Fórmulas de ângulo duplo

14.24

14.25

14.26

Fórmulas de ângulo metade

14.27

14.28

14.29

Fórmulas de ângulo múltiplo

 

15: Derivadas

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Seção IV: Cálculo

Derivadas

15

Definição de uma derivada

Considere y � f(x). A derivada de y ou f(x) é definida por

15.1 onde h � Δx. A derivada também é denotada por y′, df/dx ou f ′(x). O processo de obtenção de uma derivada é chamado de derivação.

Regras gerais de derivação

No que segue, u, v e w são funções de x; a, b, c e n são constantes (com restrições quando indicado); e �

2,71828... é a base natural dos logaritmos; ln u é o logaritmo natural de u (isto é, o logaritmo de base e) onde supomos u > 0 e todos os ângulos são em radianos.

15.2

15.3

15.4

15.5

15.6

15.7

15.8

15.9

[número finito de parcelas]

74

MANUAL DE FÓRMULAS E TABELAS MATEMÁTICAS

15.10

15.11

[Regra da Cadeia]

15.12

15.13

Derivadas das funções trigonométricas e trigonométricas inversas

15.14

15.15

15.16

15.17

15.18

15.19

15.20

 

16: Integrais Indefinidas

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16

Integrais Indefinidas

Definição de uma integral indefinida

Se

, então y é a função cuja derivada é f(x) e é chamada de antiderivada de f(x) ou integral inde-

Como a derivada

Analogamente, se então finida de f(x), denotada por de uma constante é zero, todas as integrais indefinidas diferem por uma constante arbitrária.

Para a definição de uma integral definida, ver 18.1. O processo de determinação de uma integral é chamado integração.

Regras gerais de integração

No que segue, u, ␷ e w são funções de x; a, b, p e q são quaisquer constantes, com restrições quando indicado; e � 2,71828... é a base natural dos logaritmos; ln u denota o logaritmo natural de u, onde supomos u > 0 [em geral, para estender fórmulas aos casos em que também u < 0, substitua ln u por ln |u|]; todos os

ângulos são em radianos; todas as constantes de integração estão omitidas mas ficam subentendidas.

16.1

16.2

16.3

[finitas parcelas]

 

17: Tabelas de IntegraisIndefinidas Especiais

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17

Tabelas de Integrais

Indefinidas Especiais

Aqui fornecemos tabelas de integrais indefinidas especiais. Como enunciamos nas observações acima da regra 16.1, também nestas tabelas a, b, p, q e n são constantes, com restrições quando indicado; e �

2,71828... é a base natural dos logaritmos; ln u denota o logaritmo natural de u, onde supomos u > 0 [em geral, para estender fórmulas aos casos em que também u < 0, substitua ln u por ln |u|]; todos os ângulos são em radianos; todas as constantes de integração estão omitidas mas ficam subentendidas. Supomos em todos os casos que a divisão por zero está excluída.

Nossas integrais estão divididas em tipos que envolvem as seguintes funções e expressões algébricas:

Algumas integrais contêm os números de Bernouilli, Bn, e os números de Euler, En, definidos no Capítulo 23.

1 Integrais envolvendo ax + b

17.1.1

17.1.2

17.1.3

17.1.4

17.1.5

CAPÍTULO 17 • TABELAS DE INTEGRAIS INDEFINIDAS ESPECIAIS

 

18: Integrais Definidas

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18

Integrais Definidas

Definição de uma integral definida

Seja f(x) definida em um intervalo

Divida o intervalo em n partes iguais de comprimento

Δx � (b – a)/n. Então a integral definida de f(x) entre x � a e x � b é definida por

18.1

O limite sempre existe se f(x) é contínua por pares.

Se

então, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a integral definida acima pode ser

calculada usando o resultado

18.2

Se o intervalo é infinito ou se f(x) apresenta alguma singularidade em algum ponto no intervalo, a integral definida é chamada de integral imprópria e pode ser definida usando-se processos de limites apropriados. Por exemplo,

18.3

18.4

18.5

18.6

Fórmulas gerais envolvendo integrais definidas

18.7

18.8

18.9

18.10

18.11

[finitas parcelas]

117

CAPÍTULO 18 • INTEGRAIS DEFINIDAS

18.12

Isto é o teorema do valor médio para integrais definidas, válido se f(x) for contínua em

 

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