Cálculo

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Este livro tem o objetivo de ajudar estudantes a entender e a usar o cálculo, trazendo todo o conteúdo de cursos de cálculo básico e intermediário.  Sua abordagem é direta e concisa, seguida de exemplos, problemas cuidadosamente resolvidos e exercícios complementares.

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Capítulo 1 - Sistemas de Coordenadas Lineares. Valor Absoluto. Desigualdades

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Capítulo 1

Sistemas de Coordenadas Lineares.

Valor Absoluto. Desigualdades

SISTEMA DE COORDENADAS LINEARES

Um sistema de coordenadas lineares é uma representação gráfica dos números reais como os pontos de uma reta.

Cada número corresponde a um, e apenas um, ponto; e cada ponto corresponde a um, e apenas um, número.

Para definir um sistema de coordenadas lineares em uma dada reta: (1) selecione qualquer ponto da reta como a origem e faça esse ponto corresponder ao número 0; (2) escolha uma direção positiva na reta e indique essa direção com uma seta; (3) escolha uma distância fixada como unidade de medida. Se x é um número positivo, encontre o ponto correspondente a x movendo uma distância de x unidades da origem na direção positiva. Se x é negativo, encontre o ponto correspondente a x movendo uma distância de −x unidades da origem na direção negativa. (Por exemplo, se x = −2, então −x = 2 e o ponto correspondente está a 2 unidades da origem na direção negativa.) Ver

 

Capítulo 2 - Sistemas de Coordenadas Retangulares

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Capítulo 2

Sistemas de Coordenadas

Retangulares

EIXOS COORDENADOS

Escolha um par de retas perpendiculares em um plano qualquer ᏼ. Sendo uma das retas horizontal, a outra deve ser vertical. A reta horizontal é chamada de eixo x, e a vertical de eixo y. (Ver Fig. 2-1.)

Figura 2-1

Agora escolha sistemas de coordenadas lineares nos eixos x e y satisfazendo as condições a seguir: A origem para cada sistema de coordenadas é o ponto O, onde os eixos se encontram. O eixo x é direcionado da esquerda para a direita, e o y, de baixo para cima. A parte de x com coordenadas positivas é chamada de semieixo x positivo, e de y é chamada de semieixo y positivo.

Estabelecemos uma correspondência entre os pontos do plano ᏼ e pares de números reais.

COORDENADAS

Considere qualquer ponto P no plano (Fig. 2-1). A reta vertical que corta P intercepta o eixo x em um ponto único; seja a a coordenada desse ponto no eixo x. O número a é chamado de coordenada x de P (ou de abscissa de P). A reta horizontal que corta P intercepta o eixo y em um ponto único; seja b a coordenada desse ponto no eixo y. O número b é chamado de coordenada y de P (ou de ordenada de P). Nesse sentido, todo ponto P possui um par

 

Capítulo 3 - Retas

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Capítulo 3

Retas

A INCLINAÇÃO DE UMA RETA

A inclinação de uma reta é medida por um número chamado coeficiente angular. Seja ᏸ uma reta qualquer, e sejam

P1(x1, y1) e P2(x2, y2) dois pontos de ᏸ. O coeficiente angular de ᏸ é definido como o número

. O coeficiente é a razão entre uma mudança na coordenada y e a mudança correspondente na coordenada x. (Ver Fig. 3-1.)

Figura 3-1

Para a definição de coeficiente angular fazer sentido, é necessário verificar se o número m é independente da escolha dos pontos P1 e P2. Se escolhermos outro par P3(x3, y3) e P4(x4, y4), o mesmo valor de m deve ser o resultado. Na Fig. 3-2, o triângulo P3P4T é semelhante ao triângulo P1P2Q. Logo,

Portanto, P1 e P2 determinam o mesmo coeficiente dado por P3 e P4.

Exemplo 3.1 O coeficiente angular da reta juntando os pontos (1, 2) e (4, 6) na Fig. 3-3 é

Logo, à medida que um ponto na reta move 3 unidades para a direita, o mesmo ponto move 4 unidades para cima. Além disso, o coeficiente angular não é afetado pela ordem em que os pontos são dados:

 

Capítulo 4 - Círculos

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Capítulo 4

Círculos

EQUAÇÕES DE CÍRCULOS

Para um ponto P(x, y) estar em um círculo com centro C(a, b) e raio r, a distância

4-1). Pela fórmula de distância (2.1),

deve ser igual a r (ver Fig.

Logo, P está no círculo se, e somente se,

(4.1)

A equação (4.1) é chamada de equação padrão do círculo com centro em (a, b) e raio r.

Figura 4-1

Exemplo 4.1

(a) O círculo com centro (3, 1) e raio 2 tem a equação (x − 3) + (y − 1) = 4.

2

2

(b) O círculo com centro (2, −1) e raio 3 tem a equação (x − 2) + (y + 1) = 9.

2

2

(c) Qual é o conjunto de pontos que satisfaz a equação (x − 4) + (y − 5) = 25?

2

2

Segundo (4.1), essa é a equação do círculo com centro em (4, 5) e raio 5. Esse círculo é tido como o gráfico da equação dada, isto é, o conjunto de pontos que satisfazem a equação.

2

2

(d) O gráfico da equação (x + 3) + y = 2 é o círculo com centro em (−3, 0) e raio

 

Capítulo 5 - Equações e Seus Gráficos

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Capítulo 5

Equações e Seus Gráficos

O GRÁFICO DE UMA EQUAÇÃO

O gráfico de uma equação envolvendo x e y como suas únicas variáveis, consiste em todos os pontos (x, y) satisfazendo a equação.

(a) O que é o gráfico da equação 2x − y = 3?

Essa equação é equivalente a y = 2x − 3, o que conhecemos como sendo a equação angular-intercepto da reta com coeficiente angular 2 e intercepto y igual a −3.

(b) O que é o gráfico da equação x2 + y2 − 2x + 4y − 4 = 0?

Completar o quadrado da equação nos mostra que ela é equivalente a (x − 1)2 + (y + 2)2 = 9. Logo, seu gráfico

é o círculo com centro em (1, −2) e raio 3.

Exemplo 5.1

PARÁBOLAS

Considere a equação y = x2. Se substituirmos alguns valores em x e calcularmos os valores associados a y, obtemos os resultados tabelados na Fig. 5-1. Podemos, também, esboçar os pontos correspondentes, como mostrado na figura. Esses pontos sugerem uma curva pesada, que pertence a uma família de curvas chamadas de parábolas. Em particular, os gráficos de equações da forma y = cx2, onde c é uma constante não nula, são parábolas, assim como muitas outras curvas obtidas a partir delas e por translações e rotações.

 

Capítulo 6 - Funções

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Capítulo 6

Funções

Dizemos que uma quantidade y é uma função de alguma outra quantidade x se o valor de y é determinado pelo valor de x. Se f denota a função, indicamos a dependência de y de x por meio da fórmula y = f (x). As letras x e y são chamadas de variáveis independente e dependente, respectivamente. A variável independente é também chamada de argumento da função, enquanto a outra é chamada de valor da função.

Por exemplo, a área A de um quadrado é uma função do comprimento s do lado, e essa função pode ser expressa pela fórmula A = s2. Aqui, s é a variável independente e A é a dependente.

O domínio de uma função é o conjunto de números sobre os quais a função pode ser aplicada, isto é, o conjunto de números que são associados à variável independente. A imagem de uma função é o conjunto de múmeros que a função associa com os números do domínio.†

A fórmula f (x) = x2 determina uma função f que associa a cada número real x o seu quadrado. O domínio consiste em todos os números reais. A imagem pode ser considerada como o conjunto de todos os números reais não negativos. (Na verdade, cada valor x2 é não negativo. Reciprocamente, se r é qualquer número real não negativo, então r aparece como um valor quando a função é aplicada a , uma vez que

 

Capítulo 7 - Limites

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Capítulo 7

Limites

LIMITE DE UMA FUNÇÃO

Se f é uma função, dizemos que:

A é o limite de f(x) quando x tende a a se o valor de f(x) se torna arbitrariamente próximo a A quando x tende a a. Isso é escrito em notação matemática como:

Por exemplo,

, uma vez que x2 se aproxima arbitrariamente de 9 quando x chega o mais próximo possível de 3. A definição de foi dada em linguagem coloquial. A mesma definição pode ser estabelecida em uma linguagem matemática mais precisa como se segue: se, e somente se, para qualquer número positivo ε, por menor que seja, existe um número positivo δ tal que, quando 0 < ⱍx − aⱍ < δ, então ⱍf(x) − Aⱍ < ε.

A ideia da definição é ilustrada na Fig. 7-1. Depois de ε ser escolhido [isto é, depois do intervalo (ii) ter sido determinado], então δ pode ser encontrado [isto é, o intervalo (i) pode ser determinado] de modo que, quando x ≠ a está no intervalo (i), digamos, em x0, então f(x) está no intervalo (ii), em f(x0). Note o importante fato de que ser verdadeiro independe do valor de f(x) quando x = a. Na verdade, f(x) não precisa nem mesmo ser definida quando x = a.

 

Capítulo 8 - Continuidade

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Capítulo 8

Continuidade

FUNÇÃO CONTÍNUA

Uma função f é definida como contínua em x0 se as três condições a seguir forem cumpridas:

(i)

é definida;

(ii)

existe;

(iii)

Por exemplo, f(x) = x2 + 1 é contínua em 2, uma vez que

. A condição (i) implica que a função pode ser contínua apenas em pontos de seu domínio. Logo, não é contínua em 3, pois f(3) não é definida.

Seja f uma função definida em um intervalo aberto (a, x0) à esquerda de x0 e/ou em um intervalo (x0, b), à direita de x0. Dizemos que f é descontínua em x0 se f não for contínua em x0, isto é, se uma ou mais das condições (i)-(iii) não forem cumpridas.

Exemplo 8.1

(a)

é descontínua em 2 porque f(2) não é definida e também porque

). Ver Fig. 8-1.

não existe (uma vez que

Figura 8-1

(b)

é descontínua em 2, pois f(2) não é definida. Contudo,

, de forma que a condição (ii) é satisfeita.

A descontinuidade em 2, no Exemplo 8-1(b), é dita removível, pois, se estendermos a função f, definindo seu valor em x = 2 como sendo 4, então a função estendida g será contínua em 2. Note que g(x) = x + 2 para todo x. Os

 

Capítulo 9 - A Derivada

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Capítulo 9

A Derivada

NOTAÇÃO EM DELTA

Seja f uma função. Como usual, deixemos x representar qualquer argumento de f, sendo y o valor correspondente de f. Logo, y = f(x). Considere qualquer número x0 no domínio de f. Seja Δx (leia-se “delta x”) a notação para uma pequena variação no valor de x, de x0 a x0 + Δx, e seja Δy (leia-se “delta y”) a notação correspondente à variação no valor de y. Então, Δy = f(x0 + Δx) − f(x0). Logo, a razão variação em y variação em x

é chamada de taxa de variação média da função f no intervalo entre x0 e x0 + Δx.

Seja y = f(x) = x + 2x. Começando em x0 = 1, mude x para 1,5. Então Δx = 0,5. A variação correspondente em y é Δy = f(1,5) − f(1) = 5,25 − 3 = 2,25. Logo, a taxa de variação média de y no intervalo entre x = 1 e x = 1,5 é

Exemplo 9.1

2

A DERIVADA

Se y = f(x) e x0 está no domínio de f, então, por taxa de variação instantânea de f em x0 queremos dizer o limite da taxa de variação média entre x0 e x0 + Δx à medida em que Δx tende a 0:

 

Capítulo 10 - Regras para Diferenciação de Funções

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Capítulo 10

Regras para Diferenciação de Funções

DIFERENCIAÇÃO

Lembre-se de que uma função f é dita diferenciável em x0 se a derivada f ′(x0) existe. Uma função é dita diferenciável em um conjunto se ela é diferenciável em todos os pontos do conjunto. Se dissermos que uma função é diferenciável, isso significa que ela é diferenciável em cada número real.† O processo de encontrar a derivada de uma função se chama diferenciação.††

Nas fórmulas a seguir, é considerado que u, v e w são funções diferenciáveis em x; c e m são assumidas como constantes.

Teorema 10.1 (fórmulas de diferenciação)

(1)

(A derivada de uma função constante é zero.)

(2)

(A derivada da função identidade é 1.)

(3)

(4)

(Regra da soma)

(5)

(Regra da diferença)

(6)

(Regra do produto)

(7)

desde que

(8)

desde que

(9)

(Regra da potência)

(Regra do quociente)

Note que a fórmula (8) é um caso especial da fórmula (9) quando m = −1. Para demonstrações, ver Problemas 1-4.

 

Capítulo 11 - Diferenciação Implícita

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Capítulo 11

Diferenciação Implícita

FUNÇÕES IMPLÍCITAS

Uma equação f(x, y) = 0 define y implicitamente como uma função de x. O domínio dessa função implicitamente definida consiste nos valores x para os quais existe um y único tal que f(x, y) = 0.

Exemplo 11.1

(a) A equação xy + x − 2y − 1 = 0 pode ser resolvida para y, implicando em

. Essa função é definida para x ≠ 2.

(b) A equação 4x2 + 9y2 − 36 = 0 não determina uma única função y. Resolvendo-a para y, obtemos

Devemos considerar a equação como definindo duas funções, e

Cada uma delas

é definida para ⱍxⱍ ≤ 3. A elipse determinada pela equação original é a união dos gráficos das duas funções.†

Se y é uma função implicitamente definida por uma equação f(x, y) = 0, a derivada y′ pode ser encontrada por dois métodos diferentes:

1. Resolvendo a equação para y e calculando y′ diretamente. Excetuando equações muito simples, esse método

é geralmente impossível ou não prático.

 

Capítulo 12 - Retas Tangentes e Normais

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Capítulo 12

Retas Tangentes e Normais

Um exemplo de um gráfico de uma função contínua f é mostrado na Fig. 12-1(a). Se P é um ponto do gráfico com abscissa x, então as coordenadas de P são (x, f(x)). Seja Q um ponto próximo que tem abscissa x + Δx. Então, as coordenadas de Q são (x + Δx, f(x + Δx)). A reta PQ tem coeficiente angular

À medida que Q se aproxima de P ao longo do gráfico, as retas PQ se aproximam da reta ᐀ tangente ao gráfico em P. (Ver Fig. 121(b).) Logo, o coeficiente angular de PQ se aproxima do coeficiente angular da reta tangente. Portanto, o coeficiente angular da reta tangente é

, que é a derivada f ′(x).

Figura 12-1

Se o coeficiente angular m da reta tangente à curva y = f (x) em um ponto é zero, então a curva tem uma reta tangente horizontal naquele ponto, assim como nos pontos A, C e E da Fig. 12-2. Em geral, se a derivada de f é m em um ponto (x0, y0), então a equação ponto-angular da reta tangente é y − y0 = m(x − x0). Se f é contínua em x0, mas

 

Capítulo 13 - Lei da Média. Funções Crescentes e Decrescentes

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Capítulo 13

Lei da Média. Funções

Crescentes e Decrescentes

MÁXIMO E MÍNIMO RELATIVO

Uma função f é dita ter um máximo relativo em x0 se f(x0) ≥ f(x) para todo x em algum intervalo aberto contendo x0

(e, para o qual, f(x) é definida). Em outras palavras, o valor de f em x0 é maior ou igual a todos os valores de f em pontos próximos. Analogamente, f é dita ter um mínimo relativo em x0 se f(x0) ≤ f(x) para todo x em algum intervalo aberto contendo x0 (e, para o qual, f(x) é definida). Em outras palavras, o valor de f em x0 é menor ou igual a todos os valores de f em pontos próximos. Por extremo relativo de f, queremos dizer um máximo relativo ou um mínimo relativo de f.

Se f tem um extremo relativo em um ponto x0 no qual f ′(x0) é definida, então f ′(x0) = 0.

Logo, se f é diferenciável em um ponto no qual ela tem um extremo relativo, então o gráfico de f tem uma reta tangente horizontal naquele ponto. Na Fig. 13-1, existem retas tangentes horizontais nos pontos A e B em que f adquire um valor máximo relativo e um mínimo relativo, respectivamente. Ver o Problema 5 para uma demonstração do Teorema 13.1.

 

Capítulo 14 - Valores Máximo e Mínimo

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Capítulo 14

Valores Máximo e Mínimo

PONTOS CRÍTICOS

Um número x0 no domínio de f tal que f ′(x0) = 0 ou f ′(x0) não é definida é chamado de ponto crítico de f.

Lembrando (Teorema 13.1) que, se f tem um extremo relativo em x0 e f ′(x0) é definida, então f ′(x0) = 0 e, portanto, x0 é um ponto crítico de f. Observe, no entanto, que a condição de que f ′(x0) = 0 não garante que f tenha um extremo relativo em x0. Por exemplo, se f(x) = x3, então f ′(x) = 3x2 e, portanto, 0 é um ponto crítico de f; mas f não tem nem um máximo relativo e nem um mínimo relativo em 0. (Ver Fig. 5-5).

Exemplo 14.1

(a) Seja f(x) = 7x2 − 3x + 5. Então f′(x) = 14x − 3. Faça f ′(x) = 0 e resolva. O único ponto crítico de f é

(b) Seja f(x) = x3 − 2x2 + x + 1. Então f′(x) = 3x2 − 4x + 1. Resolvendo f′(x) = 0, descobrimos que os pontos críticos são 1 e

(c) Seja f(x) = x2/3 Então

Como f ′(0) não é definida, 0 é o único ponto crítico de f.

Encontraremos algumas condições sob as quais podemos concluir que uma função f possui um máximo ou mínimo relativo em um dado ponto crítico.

 

Capítulo 15 - Esboço de Curva. Concavidade. Simetria

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Capítulo 15

Esboço de Curva.

Concavidade. Simetria

CONCAVIDADE

De um ponto de vista intuitivo, um arco de uma curva é dito côncavo para cima se tem o formato de uma xícara

(ver Fig. 15-1(a)) e côncavo para baixo se possui a forma de um boné (ver Fig. 15-1(b)). Note que uma definição mais precisa está disponível. Um arco é côncavo para cima se, para cada x0, o arco está acima da reta tangente em x0 em algum intervalo aberto em torno de x0. Analogamente, um arco é côncavo para baixo se, para cada x0, ele está abaixo da reta tangente em x0 em algum intervalo aberto em torno de x0. A maioria das curvas são combinações de côncavo para cima com côncavo para baixo. Por exemplo, na Fig. 15-1(c), a curva é côncava para baixo de A a B, e de C a D, mas côncava para cima de B a C.

Côncava para cima

Côncava para baixo

Figura 15-1

O teste da derivada segunda de f nos diz sobre a concavidade do gráfico de f.

Teorema 15.1

(a) Se f ″(x) > 0 para x em (a, b), então o gráfico de f é côncavo para cima para a < x < b.

 

Capítulo 16 - Revisão de Trigonometria

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Capítulo 16

Revisão de Trigonometria

MEDIDA DE ÂNGULO

A unidade tradicional para se medir ângulos é o grau. 360 graus compõem uma rotação completa. Contudo, existe uma outra unidade de medida, o radiano, que é mais útil no cálculo. Considere um círculo de raio 1 e com o centro no ponto C. (Ver Fig 16-1.) Sejam CA e CB dois raios para os quais o arco do círculo tem comprimento 1. Então um radiano é usado para medir o ângulo central ACB.

Figura 16-1

Se u é o número de graus no ângulo ACB, então a razão entre u e 360° é igual à razão entre cia 2π. Como

, u/360 = 1/2π e, portanto, u = 180/π. Então, graus

1 radiano

e a circunferên-

(1)

Se π é considerado, aproximadamente, como 3,14, então 1 radiano é algo em torno de 57,3 graus. Multiplicando a equação (1) por π/180, obtemos:

1 grau

radianos

(2)

A tabela na Fig. 16-2 mostra a medida em radianos de algumas medidas importantes em graus.

Agora imagine um círculo qualquer de raio r e com centro O. (Ver Fig. 16-3.) Assuma que contém θ radianos e que s é o comprimento do arco DE. A razão entre θ e o número 2π de radianos em uma rotação completa é igual à razão de s pela circunferência 2πr inteira. Então, θ/2π = s/2πr. Portanto, s = rθ

 

Capítulo 17 - Diferenciação de Funções Trigonométricas

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Capítulo 17

Diferenciação de

Funções Trigonométricas

CONTINUIDADE DE cos x e sen x

É claro que cos x e sen x são funções contínuas, isto é, para qualquer θ,

Para perceber isso, observe que, na Fig. 17-1, à medida que h se aproxima de 0, o ponto C se aproxima de B. Logo, a coordenada x de C (a saber, cos (θ + h)) se aproxima da coordenada x de B (a saber, cos θ), e a coordenada y de C

(a saber, sen (θ + h)) se aproxima da coordenada y de B (a saber, sen θ).

Figura 17-1

Para encontrar a derivada do sen x e cos x, precisamos dos limites a seguir.

Para uma demonstração de (17.1), veja o Problema 1. A partir de (17.1), (17.2), é obtido como segue:

_Livro_Ayres.indb 139

17/10/12 12:52

140

CÁLCULO

Logo,

(17.3) Dx(sen x) = cos x

(17.4) Dx(cos x) = –sen x

Para uma demonstração de (17.3), veja o Problema 2. A partir de (17.3), podemos obter (17.4), com a ajuda da regra da cadeia e (16.8), como se segue:

 

Capítulo 18 - Funções Trigonométricas Inversas

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Capítulo 18

Funções Trigonométricas Inversas

Seno e cosseno, bem como as demais funções trigonométricas, não são injetoras e, portanto, não admitem inversas.

Contudo, é possível restringir o domínio de funções trigonométricas de tal forma que elas se tornem injetoras.

Observando o gráfico de y = sen x (ver Fig. 17-2), notamos que, no intervalo –π/2 ≤ x ≤ π/2, a restrição de sen x é injetora. Então, definimos sen–1 x como sendo a função inversa correspondente. O domínio dessa função é [–1,

1], que é a imagem de sen x. Logo,

–1

1. sen (x) = y se, e somente se, sen y = x.

–1

2. O domínio de sen x é [–1, 1].

–1

3. A imagem de sen x é [–π/2, π/2].

–1

O gráfico de sen x é obtido a partir do gráfico de sen x via reflexão na reta y = x. Ver Fig. 18-1.

y = sen–1 x

Figura 18-1

Exemplo 18.1 Em geral, sen x = número y em [–π/2, π/2] tal que y = x. Em particular, sen 0 = 0, sen 1 = π/2,

–1

–1

 

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