Probabilidade e Estatística

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O objetivo desta terceira edição do livro Probabilidade e Estatística, da Coleção Schaum, é apresentar uma introdução moderna à probabilidade e à estatística utilizando cálculo como suporte. A grande novidade desta edição é um capítulo que trata exclusivamente de métodos Bayesianos, que vem ganhando cada vez mais visibilidade em áreas como economia, ciências ambientais, medicina e finanças. Sua abordagem é direta e concisa, seguida de exemplos, problemas cuidadosamente resolvidos e exercícios complementares.

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CAPÍTULO 6. Teoria da Estimação

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Capítulo 6

Teoria da Estimação

ESTIMATIVAS IMPARCIAIS E EFICIENTES

Como observamos no Capítulo 5 (veja a página 158), uma estatística é denominada um estimador imparcial de um parâmetro da população se sua média ou expectância é igual ao parâmetro. O valor correspondente da estatística é, então, chamado de uma estimativa imparcial do parâmetro.

Exemplo 6.1 A média e a variância , como foram definidas na página 155 e 158, são estimadores imparciais da média da população ␮ e da variância ␴², visto que e

. Os valores e são, então, denominados estimativas imparciais. Entretanto, é, de fato, um estimador parcial de ␴, visto que, em geral,

.

Se as distribuições amostrais de duas estatísticas têm a mesma média, a estatística com a menor variância é dita ser o estimador mais eficiente da média. O valor correspondente da estatística eficiente é, então, chamado de uma estimativa eficiente. Evidentemente, na prática, a preferência seria ter estimativas que sejam eficientes e imparciais, mas isto nem sempre é possível.

 

CAPÍTULO 7. Testes de Hipóteses e Significância

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Capítulo 7

Testes de Hipóteses e Significância

DECISÕES ESTATÍSTICAS

Muito frequentemente, na prática, precisamos tomar decisões sobre as populações com base na informação amostral. Tais decisões são chamadas de decisões estatísticas. Podemos, por exemplo, querer decidir com base nos dados da amostra se um soro novo é realmente efetivo na cura de uma doença, se um procedimento educacional é melhor do que outro ou se uma determinada moeda é desonesta.

HIPÓTESES ESTATÍSTICAS. HIPÓTESES NULAS

Na tentativa de tomar decisões, é conveniente fazer suposições ou conjeturas sobre a população envolvida. Tais suposições, que podem ou não serem verdadeiras, são chamadas de hipóteses estatísticas e, em geral, são afirmações sobre as distribuições de probabilidade das populações.

Por exemplo, se quiséssemos decidir se uma moeda é ou não desonesta, formulamos a hipótese de que ela é honesta, isto é, p � 0,5, onde p é a probabilidade de cara. De forma similar, se quisermos decidir se um procedimento é melhor do que o outro, formulamos a hipótese de que não existe diferença entre os procedimentos (isto é, quaisquer diferenças observadas são meramente devido às flutuações amostrais da mesma população). Tais hipóteses são geralmente chamadas de hipóteses nulas (ou simplesmente de hipóteses) e são representadas por H0.

 

CAPÍTULO 8. Ajuste de Curvas, Regressão e Correlação

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Capítulo 8

Ajuste de Curvas,

Regressão e Correlação

AJUSTE DE CURVAS

Frequentemente, na prática, encontramos um relacionamento entre duas (ou mais variáveis) e queremos expressar esse relacionamento de uma forma matemática, determinando uma equação para relacionar as variáveis.

A primeira etapa é a coleta dos dados, mostrando os valores correspondentes das variáveis. Por exemplo, suponha que x e y representam, respectivamente, a altura e peso de uma pessoa adulta do sexo masculino. Então, uma amostra de n indivíduos iria revelar as alturas x1, x2,…, xn e os pesos correspondentes y1, y2,…, yn.

A próxima etapa é representar graficamente os pontos (x1, y1), (x2, y2),…, (xn, yn) em um sistema de coordenadas cartesianas. O conjunto de pontos resultante é, algumas vezes, chamado de diagrama de dispersão.

No diagrama de dispersão, geralmente, é possível visualizar uma curva suave se ajustando aos dados. Tal curva

é chamada de curva de aproximação. Na Fig. 8-1, por exemplo, os dados parecem estar bem próximos de uma linha reta, e dizemos que existe um relacionamento linear entre as variáveis. Na Fig. 8-2, entretanto, embora exista um relacionamento entre as variáveis, ele não é um relacionamento linear e, portanto, é denominado relacionamento não linear. Na Fig. 8-3 não parece existir um relacionamento entre as variáveis.

 

CAPÍTULO 9. Análise de Variância

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Capítulo 9

Análise de Variância

O OBJETIVO DA ANÁLISE DE VARIÂNCIA

No Capítulo 7, usamos a teoria amostral para testar a significância das diferenças entre duas médias amostrais.

Supomos que as duas populações das quais as amostras foram extraídas tinham a mesma variância. Em muitas situações, existe uma necessidade de testar a significância das diferenças entre três ou mais médias amostrais, ou, de forma equivalente, testar a hipótese nula de que as médias amostrais são todas iguais.

Suponha que em um experimento de agricultura, quatro tratamentos químicos do solo diferentes produziram uma média de produção de trigo de 28, 22, 18 e 24 bushels por acre, respectivamente. Existe uma diferença significativa nessas médias ou a dispersão observada é em razão do acaso?

Exemplo 9.1

Problemas como esses podem ser solucionados usando uma técnica importante conhecida como análise de variância, desenvolvida por Fisher. Ela faz uso da distribuição F, já considerada em capítulos anteriores.

 

CAPÍTULO 10. Testes Não Paramétricos

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Capítulo 10

Testes Não Paramétricos

INTRODUÇÃO

A maioria dos testes de hipóteses e significância (ou regras de decisão) considerados nos capítulos anteriores requer várias suposições sobre a distribuição da população da qual as amostras foram extraídas. Por exemplo, no

Capítulo 5, as distribuições das populações geralmente necessitam ser normais ou aproximadamente normais.

Na prática, surgem situações nas quais tais suposições podem não ser justificadas ou existe dúvida de que elas se apliquem, como no caso em que uma população pode ser altamente assimétrica. Por causa disso, os estatísticos desenvolveram vários testes e métodos que são independentes das distribuições da população e dos parâmetros associados. Eles são chamados de testes não paramétricos.

Testes não paramétricos podem ser usados como atalhos para testes mais complicados. Eles são especialmente valiosos com dados não numéricos, como quando os consumidores avaliam cereais ou outros produtos em ordem de preferência.

 

CAPÍTULO 11. Métodos Bayesianos

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Capítulo 11

Métodos Bayesianos

PROBABILIDADE SUBJETIVA

Os métodos estatísticos desenvolvidos até agora neste livro são baseados inteiramente nas abordagens clássica e frequencial (veja a página 5). Os métodos Bayesianos, por outro lado, baseiam-se também em uma terceira � chamada de subjetiva ou pessoal � visão da probabilidade.

Importante para os métodos Bayesianos é o processo de atribuir probabilidades aos parâmetros, hipóteses e modelos e atualizar essas probabilidades com base nos dados observados. Por exemplo, Bayesianos não tratam a média � de uma população normal como uma constante desconhecida; eles a consideram como o valor realizado de uma variável aleatória, digamos �, com a função densidade da probabilidade sobre a linha real. De forma similar, à hipótese de que uma moeda é honesta pode ser atribuída uma probabilidade de 0,3 de ser verdadeira, refletindo nosso grau de crença de que a moeda é honesta.

Na abordagem Bayesiana, a propriedade da aleatoriedade, neste caso, refere-se a hipóteses, modelos e quantidades fixas como parâmetros, assim como para quantidades observáveis e variáveis como as variáveis aleatórias convencionais. As probabilidades que descrevem a extensão do nosso conhecimento e ignorância de tais entidades não variáveis são usualmente referidas como probabilidades subjetivas e são geralmente determinadas usando a intuição e experiência passada, antes e independentemente de observações atuais ou futuras. Neste livro, não iremos discutir a controvérsia sobre o assunto, mas o essencial sobre o significado e a mensuração das probabilidades subjetivas. Em vez disso, nosso foco será em como probabilidades a posteriori são utilizadas no tratamento Bayesiano de alguns problemas estatísticos vistos anteriormente.

 

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