Matemática Aplicada - 12.ed.

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Amplamente adotado e aclamado, este livro-texto apresenta o cálculo de maneira intuitiva em aplicações da vida real contemporânea na administração e nas ciências biológicas e sociais. O autor mantém a bem-sucedida fórmula das outras edições , juntando uma quantidade substancial de análise de gráficos e provas geométricas informais com abundância de exercícios.O texto apresenta os conceitos de forma clara com inúmeros exercícios, mantendo o rigor matemático. Além disso, considera os problemas reais e potenciais enfrentados pelos estudantes na aprendizagem da matéria. Inclui inúmeros exercícios para os alunos praticarem os conceitos apresentados.

14 capítulos

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Introdução

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INTRODUÇÃO

Muitas vezes, é possível dar uma descrição sucinta e reveladora de uma situação por meio do esboço de um gráfico. Por exemplo, a Figura 1 descreve o montante de dinheiro em uma caderneta de poupança que rende 5% de juros compostos diariamente. O gráfico mostra que, com o passar do tempo, o montante de dinheiro na conta aumenta. A Figura 2 ilustra as vendas semanais de um cereal matinal em vários momentos depois da interrupção de uma campanha publicitária. O gráfico mostra que as vendas diminuem com o tempo que passa depois da última propaganda.

500

Vendas (centenas de milhares de caixas)

Montante do dinheiro

y

400

300

200

100

5

10

15 20 25

Tempo (anos)

30

t

Figura 1 Crescimento de dinheiro numa caderneta de poupança.

4

3

2

1

1

2

3

Tempo (meses)

4

Figura 2 Decrescimento de vendas de cereal matinal.

18

15

Tamanho máximo da cultura

 

Capítulo 0 - Funções

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CAPÍTULO

0

FUNÇÕES

0.1 Funções e seus gráficos

0.2 Algumas funções importantes

0.3 A álgebra de funções

0.4 Zeros de funções – fórmula quadrática e fatoração

0.5 Expoentes e funções potência

0.6 Funções e gráficos em aplicações

C

ada um dos quatro gráficos das Figuras 1 a 4 da Introdução descreve uma relação entre duas quantidades. Por exemplo, a Figura 4 ilustra a relação entre a quantidade de iodo radioativo (medida em gramas) e o tempo (medido em dias). A ferramenta quantitativa básica utilizada para descrever tais relações é a função. Neste capítulo preliminar, desenvolvemos o conceito de função e revisamos importantes operações algébricas sobre funções, que serão utilizadas ao longo deste texto.

0.1 Funções e seus gráficos

Números reais

Os números reais são utilizados na maioria das aplicações da Matemática. No que toca a essas aplicações (e aos assuntos deste texto), é suficiente pensar num número real como sendo um número decimal. Os números racionais são aqueles que podem ser escritos como uma fração ou um número decimal finito ou, então, infinito com repetição como, por exemplo,

(números racionais)

 

Capítulo 1 - A Derivada

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CAPÍTULO

1

A DERIVADA

1.1 A inclinação de uma reta

1.2 A inclinação de uma curva num ponto

1.3 A derivada

1.4 Limites e a derivada

1.5 Derivabilidade e continuidade

1.6 Algumas regras de derivação

1.7 Mais sobre derivadas

1.8 A derivada como uma taxa de variação

A

derivada é uma ferramenta matemática utilizada para medir taxas de variação. Para ilustrar que tipo de variação temos em mente, considere o exemplo seguinte. Uma colônia de células de levedura cresce num prato de cultura. Seu ambiente (o prato) impõe limites no espaço e nos nutrientes disponíveis. Por meio de experimentos*, sabe-se que essa cultura pode ter, no máximo, 10.000 células de levedura. No instante 0 horas, o número de células de levedura é de 385.Os dados experimentais da Tabela 1 listam o número de células de levedura presentes a intervalos de 5 horas. Denotemos por N(t) o número de células da colônia no tempo t. Então N(t) é uma função de t cujos valores em certos valores particulares de t são dados na Tabela 1.

 

Capítulo 2 - Aplicações da Derivada

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CAPÍTULO

APLICAÇÕES DA

DERIVADA

2

2.1 Descrição de gráficos de funções

2.2 Os testes das derivadas primeira e segunda

2.3 Os testes das derivadas primeira e segunda e o esboço de curvas

2.4 Esboço de curvas (conclusão)

2.5 Problemas de otimização

2.6 Mais problemas de otimização

2.7 Aplicações de derivadas à Administração e Economia

A

s técnicas do Cálculo podem ser aplicadas a uma ampla variedade de problemas da vida real, como a descrição do crescimento de uma cultura de levedura vista no Capítulo 1. Neste capítulo, consideramos vários exemplos.

Em cada caso, construímos uma função como um “modelo matemático” de algum problema e, então, analisamos a função e suas derivadas para obter informações adicionais sobre o problema original. Nosso método principal na análise de uma função será o esboço de seu gráfico. Por isso, a primeira parte do capítulo é dedicada ao esboço de gráficos.

2.1 Descrição de gráficos de funções y

 

Capítulo 3 - Técnicas de Derivação

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CAPÍTULO

3

TÉCNICAS DE

DERIVAÇÃO

3.1 As regras do produto e do quociente

3.2 A regra da cadeia e a regra da potência geral

3.3 Derivação implícita e taxas relacionadas

V

imos que a derivada é útil em várias aplicações. Entretanto, nossa habilidade para derivar funções ainda permanece um tanto quanto limitada.

Por exemplo, ainda não sabemos derivar rapidamente f (x) � (x2 � 1)4(x2 � 1)5,

Neste capítulo, desenvolvemos técnicas de derivação que se aplicam a funções como essas. Duas novas regras são a regra do produto e a regra do quociente. Na Seção 3.2, estendemos a regra da potência geral numa poderosa fórmula denominada regra da cadeia.

3.1 As regras do produto e do quociente

Na nossa discussão da regra da soma para derivadas, observamos que a derivada da soma de duas funções deriváveis é a soma das derivadas. Infelizmente, a derivada do produto f(x) g(x) não é o produto das derivadas. Em vez disso, a derivada de um produto é determinada pela seguinte regra.

 

Capítulo 4 - As Funções Exponencial e Logaritmo Natural

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CAPÍTULO

AS FUNÇÕES

EXPONENCIAL E

LOGARITMO NATURAL

4

4.1 Funções exponenciais

4.2 A função exponencial ex

4.3 Derivação de funções exponenciais

4.4 A função logaritmo natural

4.5 A derivada de ln x

4.6 Propriedades da função logaritmo natural

Q

uando um investimento cresce constantemente a 15% ao ano, a taxa de crescimento do investimento, em qualquer momento, é proporcional ao valor do investimento naquele momento. Quando uma cultura de bactérias cresce num prato de laboratório, a taxa de crescimento da cultura, em qualquer momento, é proporcional ao número total de bactérias no prato naquele momento. Essas situações são exemplos daquilo que se chama crescimento exponencial. Uma pilha de urânio radioativo 235U decai a uma taxa que, a cada momento, é proporcional à quantidade presente de 235U. Esse decaimento do urânio (e de elementos radioativos em geral) é denominado decaimento exponencial. Tanto o crescimento quanto o decaimento exponenciais podem ser descritos e estudados em termos de funções exponenciais e da função logaritmo natural. As propriedades dessas funções são investigadas neste capítulo.

 

Capítulo 5 - Aplicações das Funções Exponencial e Logaritmo Natural

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CAPÍTULO

5

APLICAÇÕES DAS

FUNÇÕES EXPONENCIAL

E LOGARITMO NATURAL

5.1 Crescimento e decaimento exponenciais

5.2 Juros compostos

5.3 Aplicações da função logaritmo natural à Economia

5.4 Outros modelos exponenciais

o Capítulo 4, introduzimos a função exponencial y � ex e a função logaritmo natural, y � ln x e estudamos suas propriedades mais importantes.

Da maneira como essas funções foram apresentadas, de modo algum parece claro que elas tenham qualquer ligação substancial com o mundo físico. Entretanto, como será mostrado neste capítulo, as funções exponencial e logaritmo natural estão envolvidas no estudo de muitos problemas físicos, muitas vezes de forma curiosa e inesperada.

Aqui, o fato mais significante é que exigimos que a função exponencial seja caracterizada de maneira única por sua equação diferencial. Em outras palavras, faremos uso constante do fato seguinte, cujo enunciado preciso segue.

N

A função* y � Cekt satisfaz a equação diferencial y� � ky.

 

Capítulo 6 - A Integral Definida

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CAPÍTULO

6

A INTEGRAL DEFINIDA

6.1 Antiderivação

6.2 Áreas e somas de Riemann

6.3 Integrais definidas e o teorema fundamental

6.4 Áreas no plano xy

6.5 Aplicações da integral definida

E

xistem dois problemas fundamentais no Cálculo, a saber, (1) encontrar a inclinação de uma curva num ponto e (2) encontrar a área de uma região sob uma curva. Esses problemas são bem simples quando a curva é uma reta, como na Figura 1. Tanto a inclinação da reta quanto a área do trapézio sombreado podem ser calculadas por princípios geométricos. Quando o gráfico consiste em vários segmentos de reta, como na Figura 2, a inclinação de cada segmento de reta pode ser calculada separadamente, e a área da região pode ser encontrada somando as áreas das regiões sob cada segmento de reta. y

y

x

Figura 1

x

Figura 2

298

Capítulo 6 • A integral definida

O Cálculo é necessário quando as curvas não são retas. Vimos que o problema da inclinação é resolvido com a derivada de uma função. Neste capítulo, descrevemos como o problema da área está relacionado à noção da “integral” de uma função. Tanto o problema da inclinação quanto o da

 

Capítulo 7 - Funções de Várias Variáveis

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CAPÍTULO

FUNÇÕES DE VÁRIAS

VARIÁVEIS

7

7.1 Exemplos de funções de várias variáveis

7.2 Derivadas parciais

7.3 Máximos e mínimos de funções de várias variáveis

7.4 Multiplicadores de Lagrange e otimização condicionada

7.5 O método dos mínimos quadrados

7.6 Integrais duplas

A

té aqui, a maioria de nossas aplicações do Cálculo têm envolvido funções de uma variável. Entretanto, na vida real, uma quantidade que nos interessa muitas vezes depende de mais de uma variável. Por exemplo, o nível de vendas de um produto pode depender não apenas de seu preço, mas também dos preços dos produtos competidores, da quantia gasta com propaganda e, talvez, da época do ano. O custo total para manufaturar o produto depende do custo das matérias-primas, trabalho, manutenção da fábrica e assim por diante.

Neste capítulo, introduzimos as ideias básicas do Cálculo para funções de mais de uma variável. Na Seção 7.1, apresentamos vários exemplos que serão utilizados ao longo do capítulo. As derivadas são tratadas na Seção 7.2 e, então, utilizadas nas Seções 7.3 e 7.4 para resolver problemas de otimização mais gerais do que os do Capítulo 2. Nas duas seções finais, nos dedicamos a problemas de mínimos quadrados e a uma breve introdução à integração de funções de duas variáveis.

 

Capítulo 8 - As Funções Trigonométricas

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CAPÍTULO

AS FUNÇÕES

TRIGONOMÉTRICAS

8

8.1 O radiano como medida de ângulo

8.2 O seno e o cosseno

8.3 Derivação e integração de sen t e cos t

8.4 A tangente e outras funções trigonométricas

N

este capítulo, introduzimos as funções trigonométricas, expandindo a coleção de funções às quais podemos aplicar o Cálculo. Como veremos, essas funções são periódicas, isto é, depois de um certo ponto os seus gráficos se repetem. Esse fenômeno repetitivo não é exibido por qualquer uma das funções que consideramos até agora. No entanto, vários fenômenos naturais são repetitivos ou cíclicos, por exemplo, o movimento dos planetas em nosso sistema solar, as vibrações de um terremoto e o ritmo natural do batimento cardíaco. Assim, as funções introduzidas neste capítulo ampliam consideravelmente nossa capacidade de descrever processos físicos.

8.1 O radiano como medida de ângulo

Os antigos babilônios introduziram a medida de ângulos em termos de graus, minutos e segundos, e essas unidades ainda são amplamente utilizadas nos dias atuais na navegação e em medições práticas. No Cálculo, entretanto, é mais conveniente medir os ângulos em termos de radianos, pois as fórmulas de derivação das funções trigonométricas, nesse caso, são mais simples de serem lembradas e utilizadas. Além disso, o uso do radiano está se tornando mais comum hoje em dia em trabalhos científicos, porque é a unidade de medida de

ângulos no Sistema Internacional de Unidades (SI).

 

Capítulo 9 - Técnicas de Integração

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CAPÍTULO

9

TÉCNICAS DE

INTEGRAÇÃO

9.1 Integração por substituição

9.2 Integração por partes

9.3 Cálculo de integrais definidas

9.4 Aproximação de integrais definidas

9.5 Algumas aplicações da integral

9.6 Integrais impróprias

N

este capítulo, desenvolvemos técnicas para calcular integrais, tanto indefinidas como definidas. A necessidade dessas técnicas foi justificada nos capítulos precedentes. Além de ampliar nosso fundo de aplicações, veremos mais claramente como, nos problemas físicos, surge a necessidade de calcular integrais.

A integração é o processo inverso da derivação. Entretanto, a integração é muito mais difícil de ser efetuada. Se uma função é uma expressão envolvendo funções elementares (como xr, sen x, ex,...), então sua derivada também o será.

Ademais, fomos capazes de desenvolver métodos de calcular que nos permitiram derivar, com relativa facilidade, quase qualquer função que consigamos escrever. Embora muitos problemas de integração tenham essas características, alguns não as têm. Para algumas funções elementares (por exemplo, ex2), não é possível expressar antiderivada alguma em termos de funções elementares. Mesmo quando existir alguma antiderivada elementar, as técnicas para encontrá-la são frequentemente complicadas. Por essa razão, precisamos estar munidos com uma grande amplitude de ferramentas para lidar com o problema de calcular integrais. Dentre as ideias a serem discutidas neste capítulo, citamos as seguintes.

 

Capítulo 10 - Equações Diferenciais

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CAPÍTULO

10

EQUAÇÕES

DIFERENCIAIS

10.1 Soluções de equações diferenciais

10.2 Separação de variáveis

10.3 Equações diferenciais lineares de primeira ordem

10.4 Aplicações de equações diferenciais lineares de primeira ordem

10.5 Gráficos de soluções de equações diferenciais

10.6 Aplicações de equações diferenciais

10.7 Solução numérica de equações diferenciais

U

ma equação diferencial é uma equação em que ocorrem as derivadas de alguma função desconhecida y � f(t). Exemplos de tais equações são y� � 6t � 3, y� � 6y, y � � 3y� � x e y� � 3y � t � 0.

Como veremos, muitos processos físicos podem ser descritos por equações diferenciais. Neste capítulo, exploramos alguns tópicos da teoria de equações diferenciais e usamos nosso conhecimento adquirido para estudar problemas de várias áreas diferentes, incluindo Administração, Genética e Ecologia.

10.1 Soluções de equações diferenciais

Uma equação diferencial é uma equação envolvendo uma função incógnita y e uma ou mais dentre as derivadas y�, y �, y � e assim por diante. Suponha que y seja alguma função da variável t. Uma solução de uma equação diferencial

 

Capítulo 11 - Polinômios de Taylor e Séries Infin

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CAPÍTULO

POLINÔMIOS DE TAYLOR

E SÉRIES INFINITAS

11

11.1 Polinômios de Taylor

11.2 O algoritmo de Newton-Raphson

11.3 Séries infinitas

11.4 Séries de termos positivos

11.5 Séries de Taylor

m capítulos anteriores, introduzimos as funções ex, ln x, sen x, cos x e tg x.

Sempre que necessitávamos de valores de qualquer uma dessas funções em algum valor particular de x, como e0,023, ln 5,8 ou sen 0,25, tínhamos de utilizar uma calculadora científica. Consideramos, agora, o problema de calcular numericamente os valores dessas funções em escolhas particulares da variável x. Os métodos computacionais que desenvolveremos têm várias aplicações, por exemplo, em equações diferenciais e na teoria de probabilidades.

E

11.1 Polinômios de Taylor

Um polinômio de grau n é uma função da forma p(x) � a0 � a1x � ··· � anxn em que a0, a1,..., an são números dados e an � 0. Em muitas situações, na Matemática e em suas aplicações, as contas são muito mais simples para os polinômios do que para as outras funções. Nesta seção, mostramos como aproximar uma função f(x) dada por um polinômio p(x) para todos os valores de x perto de um número especificado, digamos, x � a. Para simplificar a discussão, começamos considerando valores de x perto de x � 0.

 

Capítulo 12 - Probabilidade e Cálculo

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CAPÍTULO

PROBABILIDADE E

CÁLCULO

12

12.1 Variáveis aleatórias discretas

12.2 Variáveis aleatórias contínuas

12.3 Valor esperado e variância

12.4 Variáveis aleatórias exponenciais e normais

12.5 Variáveis aleatórias de Poisson e geométricas

N

este capítulo, abordamos algumas poucas aplicações do Cálculo à Probabilidade. Como nossa intenção não é fazer deste capítulo um curso completo de Probabilidade, somente selecionamos alguns poucos tópicos proeminentes para apresentar uma ideia da teoria de probabilidades e fornecer um ponto de partida de estudos posteriores.

12.1 Variáveis aleatórias discretas

Analisando notas obtidas em exames, podemos motivar os conceitos de média, variância, desvio-padrão e variável aleatória.

Suponha que as notas obtidas num exame em que participaram 10 pessoas foram 50, 60, 60, 70, 70, 90, 100, 100, 100, 100. Essa informação está contida na tabela de frequência da Figura 1.

Uma das primeiras coisas que fazemos quando analisamos os resultados de um exame é calcular a média das notas. Fazemos isso somando as notas e dividindo pelo número de pessoas. Isso é o mesmo que multiplicar cada nota distinta pela frequência com que ocorre, somar esses produtos e dividir pela soma das frequências, como segue.

 

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