Matemática financeira: Fundamentos e Aplicações

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Este livro ensina os fundamentos da matemática para que se compreenda o seu impacto no nosso dia a dia. Com ele, o leitor vai entender como a matemática explica os juros do seu investimento, o custo do seu imóvel, a tomada de decisões financeiras, o planejamento das empresas os seguros e as transações de valores mobiliários. Para isso, apresenta conceitos seguidos de exemplos, problemas acompanhados de solução e o passo a passo com o uso de calculadoras. Os exemplos foram retirados do mundo dos negócios e enriquecidos pela experiência dos autores no ensino da disciplina.

13 capítulos

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Capítulo 1 - Introdução

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CAPÍTULO

1

INTRODUÇÃO

1.1 O crédito e o juro

O crédito deve ser sempre associado ao tempo, uma vez que não existe empréstimo se não for relacionado com um espaço de tempo ao final do qual o tomador deve restituir ao credor a quantia emprestada. Deve, portanto, também haver um pagamento pelo preço do empréstimo, o juro, uma vez que existem formas de relacionamento jurídico, como o comodato, em que existe o empréstimo, durante certo tempo, mas não há uma remuneração estabelecida.

O mútuo, ou empréstimo de consumo, é o contrato pelo qual uma pessoa transfere a outra a propriedade de certa quantidade de coisas, peças monetárias, mercadorias, etc., convencionando que outra parte envolvida lhe devolverá, ao fim de certo prazo, uma mesma quantidade de coisas de mesma qualidade. (GIRARD, 1906, apud JANSEN, 2002, p. 7).

Segundo Dumoulin e Rossellus (1961), parece ser justo que o mutuário, tendo realizado um ganho com o dinheiro recebido, consagre parte desse ganho para remunerar o serviço que lhe prestou o mutuante.

 

Capítulo 2 - Conceitos básicos

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CAPÍTULO

2

CONCEITOS BÁSICOS

2.1

O valor do dinheiro ao longo do tempo

O que vale mais: R$ 100,00 hoje ou R$ 100,00 daqui a um ano? Se fizermos essa pergunta aleatoriamente para diversas pessoas, é provável que mais de 90% das respostas indiquem a preferência por R$ 100,00 hoje. Pode-se ter várias razões para essa preferência:

• A perda do poder aquisitivo da moeda pela inflação

• Risco de não receber o dinheiro no futuro

• Impaciência para consumir bens ou serviços imediatamente

• Outras opções de investimento com expectativa de lucro

Uma vez que uma quantia hoje representa mais valor do que a mesma quantia no futuro, surge a figura do empréstimo, ou seja, o aluguel do dinheiro por um certo tempo e por um determinado preço.

A oportunidade de uso representa valor para quem dispõe de dinheiro hoje; logo, existem pessoas dispostas a pagar um preço para dispor desse recurso. Essas pessoas são a ponta devedora dos empréstimos: viver agora, pagar depois. De outro lado, existem pessoas dispostas a se privar de recursos hoje em troca de um prêmio por sua espera: pagar agora, viver depois.

 

Capítulo 3 - Juros simples

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CAPÍTULO

3

JUROS SIMPLES

3.1 Introdução

CONCEITO 3.1 Se o cálculo do juro é feito com base apenas no principal original, mas é pago ao final do empréstimo, o denominamos juros simples. (GUTHRIE; LEMON, 2004, p. 5) Assim, no regime de juros simples, não há cálculo de juros a partir de juros. Além disso, os juros são pagos ao final do período.

Diz-se que os juros não são capitalizados1 ou, segundo alguns autores, são capitalizados apenas na liquidação final do empréstimo, de modo a não gerarem novos juros no período considerado (DAL ZOT, 2008, p. 31).

Os juros simples são conhecidos também como lineares ou ordinários.

3.2 Fórmulas principais

Considere o financiamento de R$ 10.000,00, a uma taxa de juros simples de 30% ao ano, a ser pago ao final de 4 anos. Uma forma de demonstrar a evolução da dívida é apresentar todas as datas em que possa ocorrer uma alteração de valor nos saldos. Essa forma de apresentação tem diversas denominações: plano financeiro, conta gráfica ou memória de cálculo.

 

Capítulo 4 - Juros compostos

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CAPÍTULO

4

JUROS COMPOSTOS

4.1 Introdução

Dinheiro investido em juros compostos cresce mais rápido do que quando aplicado em juros simples à mesma taxa de juros. Enquanto o cálculo dos juros simples é sempre baseado no principal original, os juros compostos são somados ao principal de modo a ampliar a base de cálculo dos juros dos próximos períodos. Assim, se tivermos um principal de R$ 100,00 a uma taxa de juros de 10% ao ano em juros simples, tanto os juros do primeiro ano quanto os do segundo serão R$ 10,00 (P·i = 100 × 0,10). Já nos juros compostos, haverá uma diferença entre os juros calculados no primeiro e no segundo ano. Enquanto no primeiro ano os juros serão R$ 10,00 (P·i =

100 × 0,10 = 10,00), semelhante aos juros simples, no segundo ano o cálculo será R$ 11,00 (P·i =

110 × 0,10 = 11,00). Essa diferença entre sistemas deve-se, nesse segundo ano, ao fato de que a base de cálculo dos juros compostos não é apenas o principal original, mas sim aquele principal acrescido dos juros calculados nos períodos passados, neste caso, os R$ 10,00 do primeiro ano.

 

Capítulo 5 - Taxas

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CAPÍTULO

5

TAXAS

5.1 Introdução

Na prática comercial e bancária, o termo taxa tem sido utilizado com diversos significados e em diferentes situações. Assim, é importante distinguir algumas dessas situações para que se possam aplicar os conceitos e as fórmulas adequadamente.

5.1.1 Diversas abordagens sobre taxas de juros

Algumas das abordagens mais frequentes são:

• Quanto à comparação entre taxas:

Taxas proporcionais entre si

Taxas equivalentes entre si

• Quanto à forma de capitalização:

Taxas de juros simples

Taxas de juros compostos

Taxas efetivas

Taxas nominais

• Em ambiente inflacionário:

Taxas aparentes

Taxas de inflação ou de correção monetária

Taxas reais

• Em operações de desconto:

Taxas racionais ou taxas por dentro

Taxas de desconto ou taxas por fora

34

Matemática Financeira

 

Capítulo 6 - Descontos

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CAPÍTULO

6

DESCONTOS

6.1 Introdução

CONCEITO 6.1 Entende-se por desconto “[…] o abatimento que se obtém ao saldar um compromisso antes de sua data de vencimento e por descontar o ato acima descrito.”

(ASSAF NETO, 2009, p. 38; DAL ZOT, 2008, p. 75)

Normalmente os compromissos com vencimento no futuro são originários de empréstimos anteriores e são representados por documentos denominados títulos de crédito, que, desempenhando papel semelhante ao dos contratos, asseguram legalmente os direitos dos credores.

Os títulos de crédito possuem regras legais que preveem sua negociação de modo a facilitar a antecipação dos direitos futuros por meio da operação de desconto.

Dentre os títulos mais conhecidos, encontram-se duplicatas, notas promissórias, certificados de depósito bancário e letras de câmbio.

Uma empresa, ao descontar um título de crédito junto a um banco, recebe um valor inferior ao que o título irá valer no seu vencimento. O valor líquido recebido se denomina valor descontado, principal ou valor presente do título. A diferença entre valor líquido recebido e valor nominal do título é o desconto.

 

Capítulo 7 - Anuidades

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CAPÍTULO

7

ANUIDADES

7.1 Introdução

CONCEITO 7.1 ”Chama-se de anuidade uma sucessão ou sequência de pagamentos ou recebimentos, denominados termos da anuidade, que ocorrem em datas preestabelecidas.“ (FARO; LACHTERMACHER, 2012, p. 166)

A denominação anuidade segue uma tendência internacional, considerando-se que, nos primeiros sistemas de liquidação de dívidas em mais de um pagamento, as prestações eram anuais, embora hoje elas possam ser mensais, trimestrais, etc. As anuidades também são conhecidas na literatura como séries periódicas uniformes, rendas certas (SAMANEZ, 2002, p. 125) e prestações (SAMANEZ, 2002, p. 86; DAL ZOT, 2008, p. 85).

7.2

Valor atual de um fluxo de caixa

Um diagrama de tempo ou fluxo de caixa é a representação gráfica de recebimentos e/ou pagamentos ao longo do tempo, de um empréstimo, uma aplicação financeira, de um orçamento doméstico ou empresarial. O diagrama de tempo de um empréstimo a ser pago em uma só vez é:

 

Capítulo 8 - Equivalência de capitais

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CAPÍTULO

8

EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS

8.1 Conceito de equivalência de capitais

CONCEITO 8.1 Dois ou mais fluxos de caixa (capitais) são ditos equivalentes a uma determinada taxa de juros se seus valores presentes (valores atuais), em uma determinada data focal, forem iguais.

Se os fluxos de caixa, a uma determinada taxa de juros, tiverem o mesmo valor presente

(valor atual), então seus valores futuros, em qualquer n, a essa mesma taxa, serão iguais.

Fluxos equivalentes a uma determinada taxa de juros necessariamente deixam de ser equivalentes em outras taxas.

O conceito de equivalência de capitais constitui um elemento-chave nas aplicações da

Matemática Financeira. Esse conceito pode ser considerado aplicável apenas do ponto de vista dos juros compostos, conforme Puccini (2009) ou apresentar-se também quanto à possibilidade de se calcular por meio de juros simples (VIEIRA SOBRINHO, 2000; ASSAF NETO,

2009). Neste livro, abordaremos a equivalência de capitais pela ótica dos juros compostos.

 

Capítulo 9 - Sistemas de amortização

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CAPÍTULO

9

SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO

9.1 Introdução

Sistemas de amortização são diferentes formas de se pagar um empréstimo.

Apesar do resgate de dívidas em apenas um pagamento ser uma das formas incluídas neste capítulo, é comum entender por amortizar uma dívida a liquidação dessa dívida em mais de um pagamento.

Amortizar é extinguir uma dívida aos poucos ou em prestações (FERREIRA, 1986).

Os diferentes sistemas de amortização de um empréstimo produzem fluxos de pagamentos equivalentes entre si; por essa razão, o valor presente dos fluxos de pagamentos, na data focal zero, é igual ao principal do empréstimo.

9.2

Classificação

Os principais tipos de sistemas de amortização em uso no Brasil são:

• Sistema Americano com pagamento de juros no final

• Sistema Americano com pagamento periódico de juros

• Sistema Price ou Francês

• Sistema de Amorizações Constantes (SAC)

• Sistema Misto (SAM) ou Sistema de Amortizações Crescentes (SACRE)

 

Capítulo 10 - Análise de investimentos

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CAPÍTULO

10

ANÁLISE DE INVESTIMENTOS

10.1 Introdução

CONCEITO 10.1 Análise de investimentos “[…] é o estudo dos fluxos de caixa – desembolsos de capital (saídas de caixa) e retornos de investimentos (entradas de caixa)

– de um projeto para avaliar sua viabilidade econômica. A viabilidade econômica de um investimento exige a recuperação do capital (retorno do investimento) e a sua remuneração (retorno sobre o investimento).”(REBELATTO, 2004, p. 212)

A análise de investimentos pode ser considerada como um conjunto de critérios que as empresas utilizam na tomada de decisão ao realizar investimentos visando, principalmente,

à reposição de ativos existentes (em especial instalações e equipamentos), ao lançamento de novos produtos e à redução de custos. O processo consiste em decidir se um projeto vale a pena (se o retorno sobre o investimento é mais interessante que aplicações no mercado financeiro) ou optar por um entre vários projetos de investimento alternativos.

 

Capítulo 11 - Correção monetária

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CAPÍTULO

11

CORREÇÃO MONETÁRIA

11.1 Introdução

A correção monetária, surgida em 1964 como parte do conjunto de medidas de combate à inflação do Plano de Ação Econômica do Governo – PAEG, tinha por objetivo garantir o aumento do retorno real dos ativos. A ideia principal era de que as aplicações em títulos do governo e os empréstimos dos bancos tivessem remunerações reais, isto é, retornos superiores à perda do poder aquisitivo da moeda pela inflação. Na disciplina de Matemática Financeira, o tópico referente à correção monetária tem por objetivo estudar como os índices que medem a inflação permitem reajustar valores ao longo do tempo, separando, no caso dos empréstimos, as taxas de correção das taxas de juros reais.

11.1.1 Conceito de inflação

CONCEITO 11.1 “Inflação é o aumento persistente de preços, que envolve o conjunto da economia, do qual resulta uma contínua perda do poder aquisitivo da moeda.”(OSAKABE, apud PELLEGRINO; VIAN; PAIVA, 2005, p. 305)

 

Apêndice A - Um pouco mais sobre calculadoras

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APÊNDICE

A

UM POUCO MAIS SOBRE

CALCULADORAS

A.1 Introdução

Com exceção de algumas operações elementares, especialmente soma e substração, a maioria dos cálculos exige apoio de alguma calculadora. As calculadoras, como as conhecemos hoje, vieram substituir métodos de cálculo mais primitivos, como as tábuas de logaritmos, e menos precisos, como as réguas de cálculo. Esses recursos eram bastante populares nos meios profissionais e acadêmicos até meados do século XX, que trouxe o avanço da eletrônica digital e da portabilidade dos recursos.

Costuma-se classificar as calculadoras em:

• Calculadoras científicas, apropriadas para a solução de equações matemáticas em geral.

• Calculadoras financeiras, que, embora também permitam a solução de equações matemáticas, contêm fórmulas pré-programadas de Matemática Financeira.

Quanto ao modo como os dados das equações são introduzidos nas calculadoras, temos:

• Modo ALGébrico: os operadores são colocados entre os operandos (números ou variáveis), buscando respeitar a sequência em que se encontram; os parênteses ajudam a respeitar a ordem de execução das operações.

 

Apêndice B - Métodos numéricos de cálculo da taxa de juros

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APÊNDICE

B

MÉTODOS NUMÉRICOS DE

CÁLCULO DA TAXA DE JUROS

B.1 Introdução

Considere o seguinte problema

Calcular a taxa mensal de juros utilizada no financiamento de R$ 1.500,00, pago em 4 prestações mensais postecipadas no valor de R$ 427,94. (Resposta: 5,50%.)

Dados: i=?

P = 1.500 n = 4 p.m. post.

R = 427,94

Solução:

Examinando as equações de valor envolvidas, verificamos que, a partir da fórmula genérica podemos chegar a uma fórmula que envolve prestações iguais. Em ambos os casos, séries com valores diferentes ou iguais (anuidades), verifica-se a construção de um polinômio de grau n onde o que se procura é encontrar uma raíz do polinômio – valor para (1 + i) que

“zere”o polinômio. Percebe-se a impossibilidade de isolarmos o i, exceto nos casos de polinômios de primeiro ou segundo grau (fórmula de Bhaskara).

142

Apêndice B

Métodos numéricos de cálculo da taxa de juros

Métodos de solução

 


★ ★ ★ ★ Matemática Financeira - Fundamentos e Aplicações
Por manganote em 2018-08-03 14:40:30 UTC

Excelente livro para um primeiro curso, em nível de graduação, de um semestre.

★ ★ ★ ★ ★ Matemática Financeira: fundamentos e aplicações
Por Ivan Alves em 2019-02-20 11:16:09 UTC

Ótimo livro, de fácil compreensão. Os exercícios são atuais e auto-explicativos, porém proporciona ao aluno um grau de dificuldade que o mesmo pode superar. Já sobre os aspectos de apresentação do conteúdo, o livro distribui os assunto de forma lógica e coordenada, facilitando o entendimento. No que se refere a ao material gráfico do livro pode-se dizer que é de ótima qualidade.


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