Pesquisa operacional

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A capacidade de transformar dados em informação é um diferencial estratégico para conquistar assertividade na tomada de decisões nas organizações. Por isso, a fim de propiciar o conhecimento necessário para otimizar processos quantitativos na tomada de decisões, este livro oferece a profissionais e estudantes a teoria necessária para a construção de modelos quantitativos, aliando a prática desta teoria com exemplos simples e situações comuns do dia a dia inseridas nos diversos ramos da atividade econômica: produção, serviços, finanças, contabilidade, logística, transportes, tempo de execução de processos e análise de risco etc. Para facilitar o aprendizado, o autor aborda desde o conceito matemático mais básico até a construção de um conjunto teórico das modelagens, sempre em paralelo com as demonstrações de fórmulas e métodos, comparando os resultados teóricos com exemplos de aplicação prática resolvidos em planilhas eletrônicas disponíveis ao longo do livro e como Material de Apoio. Explore cada capítulo e aprenda o passo a passo das técnicas envolvidas nos modelos quantitativos, as quais possibilitam, entre outras habilidades gerenciais, o entendimento das sinergias entre os departamentos e seus respectivos processos.
Características

 

79 capítulos

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Instruções sobre o conteúdo do livro e os Materiais de Apoio

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Instruções sobre o conteúdo do livro e os Materiais de Apoio

E

ste livro destina-se a alunos, professores das disciplinas de Pesquisa Operacional, Programação

Linear ou Métodos Quantitativos, como é mais comumente chamada nos cursos de Administração de Empresas.

Por tratar de temas ligados diretamente à Matemática, pode ser utilizado também nos cursos de

Engenharia Mecânica e de Produção e nos cursos de Tecnologia e de Matemática Aplicada.

O leitor encontrará também problemas e estudos de caso ligados à Economia, Contabilidade,

Comércio Exterior, Mercado Financeiro entre outros, o que sugere que em qualquer campo do saber onde exista um objetivo e limitações de insumos ou restrições para atingi-lo, a programação linear ou não linear encontrará soluções que permitirão a tomada de decisão gerencial.

O conteúdo do livro envolve demonstrações teóricas onde são absolutamente necessárias e demonstrações práticas de todas as técnicas aqui apresentadas.

 

1.1 MODELAGEM E SIMULAÇÃO

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1

Conceitos de modelagem e simulação

CONSIDERAÇÕES INICIAIS

Ao pensarmos na palavra modelagem, podemos atribuir a ela vários significados. O entendimento mais básico é que modelar significa “dar a forma desejada aos elementos físicos que se possui para atingir determinado resultado ou objetivo”.

Um artista plástico modela sua obra utilizando diversos tipos de matéria-prima em seu estado bruto: o escultor, materiais minimamente maleáveis; o pintor, telas e tintas.

A modelagem artística é hoje aplicada a diversos campos junto a outras técnicas científicas.

Acreditamos que você já tenha ouvido falar em túneis de vento, nos quais se testam aerodinamicamente conjuntos mecânicos terrestres, como automóveis de competição, ou aéreos, como aviões militares ou civis. Existem também os modelos hidrodinâmicos, que testam cenários de variáveis da construção naval para barcos, navios e submarinos. Assim, o engenheiro modela sua obra usando técnicas matemáticas, da mesma forma que o fazem o químico, o físico etc.

 

1.2 MODELOS MATEMÁTICOS APLICADOS À ADMINISTRAÇÃO

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2

Pesquisa Operacional

Ao pensarmos nessas simulações, surgem dois pensamentos básicos, que são o motivo central da criação de modelos e simuladores em diversas áreas. O primeiro deles é o tempo despendido com a construção de produtos finais, que devem servir de modelos, e dele emerge o segundo motivo, que é o custo.

A construção de modelos para testes envolve o dispêndio de considerável tempo e de recursos financeiros. Se esses modelos se destinam a testar condições extremas, é evidente que o custo passará em algum momento a ser um fator limitador do desenvolvimento.

A esses aspectos se somam outros motivos, entre os quais destacamos a segurança. As simulações em laboratórios, sejam estes fechados ou em área restrita ao ar livre, são altamente seguras, pois mesmo condições extremas podem ser controladas e cercadas de cuidados para não danificarem o meio ambiente, as pessoas e suas propriedades.

Com a evolução dos computadores tornou-se possível a construção de modelos virtuais em todas as

 

1.3 TIPOS DE MODELO E VARIÁVEL

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Capítulo 1 • Conceitos de modelagem e simulação

3

Sendo:

Y = montante;

X1 = capital aplicado; e

X2 = valor dos juros obtidos ao final do período de aplicação.

Como neste livro utilizaremos o Excel como planilha de cálculo para auxiliar as formulações envolvidas em programação linear, queremos então representar desde já o modelo financeiro ilustrado anteriormente. Observe a seguir o modelo financeiro aplicado em planilha Excel.

1.3 TIPOS DE MODELO E VARIÁVEL

Podemos classificar os modelos matemáticos com base no conhecimento das variáveis envolvidas (dependente ou independente) e do controle que o analista pode exercer sobre elas.

O primeiro tipo ocorre quando o analista conhece as variáveis independentes ou tem algum controle sobre elas. Nesse caso, o modelo é dito “de decisão”, pois a variável dependente dirá ao analista o resultado daquela ação. Exemplo típico são as aplicações financeiras nas quais os modelos de programação linear ajudam a prever os retornos de capitais aplicados sob condição de risco ou incerteza.

 

1.4 ABORDAGEM ESQUEMÁTICA DE RESOLUÇÃO

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4

Pesquisa Operacional

determinados pneus, gasolina especial e um motor com 150 cavalos de força? A variável dependente velocidade é a resultante. A esses tipos de modelos chamamos “de previsão”.

O terceiro tipo ocorre quando a relação funcional entre as variáveis dependentes e independentes é conhecida, mas não se tem controle absoluto ou não se sabe qual valor será assumido por uma ou mais variáveis independentes. Exemplo típico é a alocação de recursos logísticos para se maximizar a velocidade de entrega ou minimizar atrasos.

1.4 ABORDAGEM ESQUEMÁTICA DE RESOLUÇÃO

Para resolver qualquer tipo de problema, é preciso ter em mente uma abordagem lógica que propicie o desenvolvimento das etapas envolvidas até a resolução dele. A correta identificação do problema de pesquisa, a condução das etapas e a resolução envolvem tempo e dinheiro. Assim, uma abordagem equivocada ou não estruturada pode originar gastos desnecessários de recursos humanos e materiais.

 

2.1 MATRIZES

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2

Pré-requisitos de matemática básica

CONSIDERAÇÕES INICIAIS

A maioria das técnicas aqui descritas envolve os conceitos de matrizes e determinantes.

A resolução dos sistemas lineares pode também ser realizada por meio de matrizes.

Assim, resolvemos inserir este capítulo com os conceitos de matemática básica que podem ser necessários relembrar ao longo deste livro, com as resoluções e os comentários onde cabível.

2.1 MATRIZES

2.2.1 Definição

Neste estágio definiremos uma matriz A como uma “tabela” com m linhas e n colunas.

Quando m = n, dizemos que A é uma matriz quadrada de ordem n.

A=

a11 a21

a12 ... a22 ...

a1n a2n

ແ an1

ແ an2 ...

ແ ann

Exemplo:

3

W=

2

X=

5

1

D = (5 3 8)

1 3 7

5 8 6

6

5

1

7

A=

9

2

4

9

4

C= 9

11

Y=

4 6

2 1

9 5

 

2.3 MULTIPLICANDO UMA MATRIZ POR UM NÚMERO REAL

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12

Pesquisa Operacional

Da mesma forma podemos determinar os valores das incógnitas nos seguintes casos: a) Dadas as matrizes

A=

¥

a+2

4 e+5

3

¥b + 1 c

6

5 d g+3

4

e B=

5

4

3

2

6

4

7

5

8

e B=

6

4

9

2 7

6 5

7 10

Então: a = 3; b = 3; c = 7; e = 22; d = 16; g = 5. b) Dadas as matrizes

3

A=

¥a + 2 ¥b + 2 c + 3! f – 12

5

4 d3 + 1 g 3 + 3 e2

4

3

Então: a =16; b = 6; c = 1; f = 18 ; e = 3; d = 3; g = 3.

2.3 MULTIPLICANDO UMA MATRIZ POR UM NÚMERO REAL

Se A é uma matriz e k um número real diferente de zero, temos que k × A = B. A matriz B será obtida multiplicando-se cada elemento da matriz A por k.

Exemplo:

Ao multiplicar a matriz A por k = 3:

A=

6

4

9

2 7

6 5

7 10

=3×

6

4

9

2 7

 

2.4 MATRIZ INVERSA

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16

Pesquisa Operacional

Sendo que, multiplicando-se a matriz identidade I pela matriz A teremos: a) Multiplicação dos elementos da primeira linha da matriz Identidade pela primeira coluna da matriz A:

5

2

1 0

c11 = (1 × 5) + (0 × 2) = 5

b) Multiplicação dos elementos da primeira linha da matriz Identidade pela segunda coluna da matriz A:

3

4

1 0

c12 = (1 × 3) + (0 × 4) = 3

c) Multiplicação dos elementos da segunda linha da matriz Identidade pela primeira coluna da matriz A:

5

2

0 1

c21 = (0 × 5) + (1 × 2) = 2

d) Multiplicação dos elementos da segunda linha da matriz Identidade pela segunda coluna da matriz A:

3

4

0 1

c22 = (0 × 3) + (1 × 4) = 4

2.4 MATRIZ INVERSA

Uma matriz de ordem n é dita inversível ou invertível se existir outra matriz de mesma ordem que, quando multiplicadas entre si, retornam como resultado a matriz identidade.

Exemplo:

 

2.5 MATRIZ NÃO INVERTÍVEL

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Capítulo 2 • Pré-requisitos de matemática básica

2×b+3×d=0

1 × b + 4 × d = 1 x(–2) + 1a linha

Então A =

2

1

3

4

d=

e a sua inversa é A–1 =

17

2

3

;b=–

5

5

8/10 –3/5

–1/5 2/5

2.5 MATRIZ NÃO INVERTÍVEL

Uma matriz A é dita não inversível ou invertível se não existir a matriz A-1 tal que, multiplicada por A, retorne a matriz identidade. Essa condição acontece toda vez que o sistema gerado pela multiplicação das matrizes tiver resolução no campo real.

Exemplo:

6

2

3

1

×

a c

1 b

=

0 d

0

1

Efetuando a multiplicação, teremos dois sistemas de equações do primeiro grau com duas incógnitas cada. Resolvendo esses sistemas, resultará:

6×a+3×c=1

2 × a + 1 × c = 0 x(–3) + 1a linha

retorno 1 = 0 (absurdo)

6×b+3×d=0

2 × b + 1 × d = 1 x(–3) + 1a linha

retorno 0 = 1 (absurdo)

 

2.6 EQUAÇÕES LINEARES

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Capítulo 2 • Pré-requisitos de matemática básica

2×b+3×d=0

1 × b + 4 × d = 1 x(–2) + 1a linha

Então A =

2

1

3

4

d=

e a sua inversa é A–1 =

17

2

3

;b=–

5

5

8/10 –3/5

–1/5 2/5

2.5 MATRIZ NÃO INVERTÍVEL

Uma matriz A é dita não inversível ou invertível se não existir a matriz A-1 tal que, multiplicada por A, retorne a matriz identidade. Essa condição acontece toda vez que o sistema gerado pela multiplicação das matrizes tiver resolução no campo real.

Exemplo:

6

2

3

1

×

a c

1 b

=

0 d

0

1

Efetuando a multiplicação, teremos dois sistemas de equações do primeiro grau com duas incógnitas cada. Resolvendo esses sistemas, resultará:

6×a+3×c=1

2 × a + 1 × c = 0 x(–3) + 1a linha

retorno 1 = 0 (absurdo)

6×b+3×d=0

2 × b + 1 × d = 1 x(–3) + 1a linha

retorno 0 = 1 (absurdo)

 

2.7 MATRIZES E SISTEMAS LINEARES

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Capítulo 2 • Pré-requisitos de matemática básica

19

2.7 MATRIZES E SISTEMAS LINEARES

2.7.1 Matriz associada a um sistema

Uma matriz de m linhas e n + 1 colunas é, na verdade, a representação de um sistema de equações algébricas. Vamos supor o sistema linear do item anterior, que reproduzimos novamente abaixo:

30 × X + 25 × Y + 15 × W = 745

25 × X + 15 × Y + 25 × W = 540

18 × X + 10 × Y + 10 × W = 420

Extraindo desse sistema os coeficientes, teremos a matriz A de m linha e n colunas:

30

A = 25

18

25

15

10

15

25

10 m × n

Trata-se da matriz incompleta do sistema acima apresentado.

Se a essa matriz acrescentarmos os termos independentes desse sistema, teremos a matriz completa

B de m linhas e n + 1 colunas:

30

B = 25

18

25

15

10

15

25

10

745

540

420

m × (n+1)

Para se aprofundar neste tópico, resolva o Exercício 3 ao final deste capítulo.

 

2.8 DETERMINANTES

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20

Pesquisa Operacional

2.7.3 Classificação dos sistemas lineares

A classificação de sistemas lineares é feita com base no número de soluções que eles admitem. Essa classificação, bem como a resolução do sistema, é mais um passo importante na resolução dos sistemas lineares na PL.

FIGURA 2.1

Sistemas lineares

Fonte: elaborada pelo autor.

Assim, um sistema pode ser classificado de três maneiras distintas:

sistema possível e determinado (admite uma única solução); sistema possível e indeterminado (admite infinitas soluções); sistema impossível (quando não existem valores que satisfaçam, ao mesmo tempo, a todas as igualdades do sistema linear).

Para se aprofundar neste tópico, responda ao Exercício 5 (A a E) que consta ao final deste capítulo.

2.8 DETERMINANTES

Um sistema de equações pode ser resolvido de diversas maneiras.

Método dos determinantes (regras de Sarrus e de Cramer).

 

2.9 SISTEMAS ESCALONADOS

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Capítulo 2 • Pré-requisitos de matemática básica

23

Substituindo o valor de y encontrado em qualquer das equações anteriores, encontraremos o valor de x.

4x + 3y = 14

4x + 3 × (2) = 14

4x = 14 – 6

4x = 8 x=

8

=2

4

O método é convergente ao mesmo resultado encontrado pelas regras anteriores.

2.8.4 Método da redução ao mesmo coeficiente

Considere o sistema:

4x + 3y = 14

2x – y = 2

Este método consiste em encontrar o valor literal de uma incógnita nas duas equações do sistema.

Igualando esses valores literais, chegaremos ao valor da incógnita. Vamos encontrar o valor literal da incógnita x em ambas as equações:

4x + 3y = 14

2x – y = 2

14 – 3y

2+y

4

14 – 3y

, o que implica dizer que:

=

2+y

2

4 x=

2 x=

Daí tem-se que:

2 × (14 – 3y) = 4 × (2 + y)

28 – 6y = 8 + 4y

20

20 = 10y y=

=2

10

 

2.10 GRÁFICOS DE FUNÇÕES

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Capítulo 2 • Pré-requisitos de matemática básica

25

Inserindo esse valor na equação anterior, teremos:

4y + w = 9

8 y= =2

4

4y = 9 – 1

Inserindo os dois valores encontrados na primeira equação, teremos:

2x + 3y + 2w = 12

2x + 3 × 2 + 2 × 1 = 12

4

2x = 12 – 8 x= =2

2

Então os valores da solução são: (x, y, w) = (2, 2, 1).

Para se aprofundar neste tópico, responda ao Exercício 6 (A a D) que consta ao final deste capítulo.

2.10 GRÁFICOS DE FUNÇÕES

Outro conceito que devemos relembrar é o dos gráficos de funções e sua interpretação. Como esta revisão diz respeito à programação linear, vamos focar algumas funções lineares apenas.

Representaremos primeiramente gráficos que nos acompanham diariamente nas matérias dos cadernos de economia dos periódicos de maneira geral. Aqui também está subentendido o conceito de números-índices.1

2.10.1 Interpretação de gráficos

Vamos interpretar alguns gráficos fictícios construídos para esta finalidade.

 

3.1 PONTO DE EQUILÍBRIO DE PRODUÇÃO

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3

Princípios de otimização linear

CONSIDERAÇÕES INICIAIS

Nas operações diárias de uma empresa o administrador é constantemente desafiado a manter ou reduzir custos por meio de melhorias que vão desde a racionalização das compras de insumos de produção, racionalização dos processos das linhas de produção, além, é claro, do incremento do faturamento com o aumento nas quantidades vendidas.

Quando nas primeiras aulas de Teoria da Administração o estudante já é colocado diante de definições clássicas, como: “administrar é aplicar de forma eficiente os recursos escassos”.

Os processos de otimização têm por finalidade a alocação de recursos limitados de maneira a produzir os melhores resultados possíveis. Mas qual ou quais são esses resultados? E, ainda, de que maneira projetá-los e medi-los? Ao contrário do que possa aparentar, formulações algébricas nos ajudarão a atingir esse objetivo.

Em administração existem alguns exemplos clássicos de aplicação que se referem a atividades específicas das empresas. Vamos definir alguns deles, os quais julgamos os mais importantes ou corriqueiros.

 

3.2 DETERMINAÇÃO DO MELHOR MIX DE PRODUTOS

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Princípios de otimização linear

CONSIDERAÇÕES INICIAIS

Nas operações diárias de uma empresa o administrador é constantemente desafiado a manter ou reduzir custos por meio de melhorias que vão desde a racionalização das compras de insumos de produção, racionalização dos processos das linhas de produção, além, é claro, do incremento do faturamento com o aumento nas quantidades vendidas.

Quando nas primeiras aulas de Teoria da Administração o estudante já é colocado diante de definições clássicas, como: “administrar é aplicar de forma eficiente os recursos escassos”.

Os processos de otimização têm por finalidade a alocação de recursos limitados de maneira a produzir os melhores resultados possíveis. Mas qual ou quais são esses resultados? E, ainda, de que maneira projetá-los e medi-los? Ao contrário do que possa aparentar, formulações algébricas nos ajudarão a atingir esse objetivo.

Em administração existem alguns exemplos clássicos de aplicação que se referem a atividades específicas das empresas. Vamos definir alguns deles, os quais julgamos os mais importantes ou corriqueiros.

 

3.3 PROCESSOS INDUSTRIAIS DE FABRICAÇÃO

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3.3 PROCESSOS INDUSTRIAIS DE FABRICAÇÃO

Os processos industriais também consomem recursos, seja em horas de utilização de bens de capital, em horas disponíveis dos recursos humanos empregados, em materiais etc. Em determinado processo industrial, por exemplo, a produção de um automóvel, qual sequência de fabricação das peças e de montagem pode ser considerada a mais eficaz em termos de maximização de alocação de tempo e minimização dos custos de produção?

Processos em que o tempo de execução é uma das metas a serem atingidas também se encaixam neste enfoque. As técnicas de Program Evaluation and Review Technique (PERT) e o método Critical Path

Method (CPM), se originaram em estudos sobre tempos e métodos de produção. Ambos tiveram origem em estudos militares sobre logística e prazos de entrega de materiais em situações de guerra. Portanto, estas técnicas, também fazem parte dos estudos de programação linear quando se deve atingir resultados sob condições críticas como restrições de fornecimento ou prazos de entrega.

 

3.4 PROCESSOS LOGÍSTICOS

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3.3 PROCESSOS INDUSTRIAIS DE FABRICAÇÃO

Os processos industriais também consomem recursos, seja em horas de utilização de bens de capital, em horas disponíveis dos recursos humanos empregados, em materiais etc. Em determinado processo industrial, por exemplo, a produção de um automóvel, qual sequência de fabricação das peças e de montagem pode ser considerada a mais eficaz em termos de maximização de alocação de tempo e minimização dos custos de produção?

Processos em que o tempo de execução é uma das metas a serem atingidas também se encaixam neste enfoque. As técnicas de Program Evaluation and Review Technique (PERT) e o método Critical Path

Method (CPM), se originaram em estudos sobre tempos e métodos de produção. Ambos tiveram origem em estudos militares sobre logística e prazos de entrega de materiais em situações de guerra. Portanto, estas técnicas, também fazem parte dos estudos de programação linear quando se deve atingir resultados sob condições críticas como restrições de fornecimento ou prazos de entrega.

 

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