Fundamentos de Cálculo Numérico

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Este livro apresenta os tópicos fundamentais do cálculo numérico. Compacto, exige um mínimo de conhecimento de matemática e programação e tem como características a abordagem de um ou dois métodos por capítulo. Os métodos são apresentados e deduzidos a partir de abordagens intuitivas e visuais ou a partir de deduções algébricas simplificadas e os algoritmos são apresentados em pseudocódigo, de modo que podem ser implementados em qualquer linguagem de programação.

9 capítulos

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Capítulo 1 - Introdução ao MATLAB

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CAPÍTULO

Introdução ao MATLAB

1

Neste capítulo, estudaremos brevemente algumas características e funcionalidades do MATLAB.

O MATLAB (acrônimo de MATrix LABoratory) é um software que permite ao usuário efetuar cálculos via digitação direta de comandos e construir programas que automatizem procedimentos de cálculo mais complexos. O

MATLAB é uma ferramenta muito utilizada tanto no ambiente acadêmico

(ensino, pesquisa, etc.) quanto no profissional (desenvolvimento de produtos, análise de problemas, etc.). Ele tem uma interface simples e intuitiva, e constitui ferramenta indispensável para o estudante de ciências exatas e engenharia. Existem várias e boas referências para o estudante interessado.

Por exemplo, MATLAB com aplicações em engenharia, de Amos Gilat (2012) e Essential MATLAB for engineers and scientists, de Brian D. Hahn e Daniel

T. Valentine (2007).

1.1

Obtendo ajuda

A primeira questão prática que o estudante necessita saber é como obter auxílio com o MATLAB. Basicamente, existem três níveis de ajuda:

 

Capítulo 2 - Erros e aritmética computacional

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CAPÍTULO

Erros e aritmética computacional

2

Ao contrário do que julga o senso comum, o computador não é uma máquina de calcular perfeita. Os cálculos efetuados no computador estão sujeitos a erros (em maior ou menor magnitude). A compreensão da natureza desses erros permite estabelecer estratégias (algoritmos) para a resolução de problemas.

Neste capítulo, abordaremos a forma como os números são armazenados pelo computador e como os erros aparecem. Veremos também uma estratégia geral de abordagem dos algoritmos numéricos: os refinamentos sucessivos.

2.1

Resolução de problemas numéricos

Nas ciências e engenharias, o computador cumpre um papel importante no processo de resolução de problemas, especialmente quando cálculos aritméticos são muito utilizados. O processo de resolução de problemas, muitas vezes, envolve algum artifício e engenhosidade. Embora não se possa estabelecer uma regra única, podemos dizer que, de um modo geral, a resolução de problemas segue os seguintes passos:

 

Capítulo 3 - Zeros de funções

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CAPÍTULO

Zeros de funções

3

3.1 Definição do problema

Seja f : R → R. Um número z é dito zero de f se, e somente se, f(z) = 0.

O problema que estudaremos consiste em encontrar os zeros de uma função, isto é, determinar os valores de z, se existirem, tais que z seja zero de f.

EXEMPLO 3.1 Verifique que z1 = 1, z2 = 1,465571231876768 e z3 =

0,588532743981861 são, respectivamente, zeros de f(x) = x3 – x2,

SOLUÇÃO

g(x) = x3 – x2 – 1

e

h(x) = e–x – sen(x).

Inicialmente, verifiquemos que, trivialmente,

f(1) = 13 – 12 = 1 – 1 = 0.

Já para g e h a verificação requer um pouco mais de trabalho. No

MATLAB:

>> z2 = 1.465571231876768; g = z2^3 - z2^2 - 1 g = -4.4409e-16

>> z3 = 0.588532743981861; h = exp(-z3) - sin(z3) h = 1.1102e-16

Observe que os valores calculados de g(z2) e h(z3) não são exatamente zero, mas estão muito próximos de zero, isto é, muito próximos da precisão da máquina. Para efeitos computacionais, podem ser considerados efetivamente zeros.

 

Capítulo 4 - Sistemas lineares

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CAPÍTULO

Sistemas lineares

4.1

4

Definição do problema

O sistema representado a seguir é chamado de sistema de equações lineares ou, simplesmente, sistema linear com m equações e n incógnitas

Pode ser representado pela equação matricial Ax = b, sendo

Quanto à quantidade de equações (m) e incógnitas (n), um sistema linear pode ser classificado como:

• subdeterminado: se m < n;

• determinado: se m = n;

• sobredeterminado: se m > n.

Ele pode ser consistente (se existe solução, sendo que pode haver uma

única solução ou uma infinidade de soluções) ou inconsistente (se não existe solução).

O problema em questão é resolver um sistema linear. Os métodos de resolução de sistema linear podem ser classificados em:

• diretos: escalonamento (Gauss), inversão, determinantes (Cramer), fatoração LU, etc.

• iterativos: Gauss-Jacobi, Gauss-Seidel, gradiente conjugado, etc.

Neste capítulo, estudaremos alguns métodos para a resolução de sistemas lineares determinados (m = n) com solução única. A resolução de sistemas sobredeterminados ou subdeterminados ou com infinitas soluções pode ser encontrado em Golub e Loan (1996).

 

Capítulo 5 - Interpolação

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CAPÍTULO

Interpolação

5.1

5

Definição do problema

Seja f : R → R uma função conhecida “apenas” por um conjunto finito de valores, isto é, y1 = f(x1),

y2 = f(x2),

yn = f(xn),

…,

onde x1 < x2 < … < xn. O problema da interpolação consiste em determinar a expressão algébrica de uma função de interpolação g tal que g(x1) = f(x1),

g(x2) = f(x2),

…,

g(xn) = f(xn).

Em geral, a função de interpolação é usada para estimar o valor de v = f(u) ≈ g(u) quando u ∉ {x1, x2, …, xn} e x1 < u < xn. A Figura 5.1 mostra os pontos

(x1, y1), (x2, y2),…, (xn, yn) ditos nodos de interpolação, uma curva (polinomial) de interpolação e um ponto interpolado.

4 nodos

3,5

curva de interpolação ponto interpolado

3

2,5

2

1,5

1

0,5

–1

0

1

2

3

4

5

6

FIGURA 5.1 A curva de interpolação passa sobre os nodos de interpolação.

7

 

Capítulo 6 - Ajuste de funções

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CAPÍTULO

Ajuste de funções

6

6.1 Definição do problema

Considere um conjunto de n nodos (x1, y1), (x2, y2),…, (xn, yn) e uma função de ajuste fβ : R → R determinada por um conjunto de parâmetros β = {β0,

β1,…, βm}. O problema do ajuste de funções consiste em determinar os valores dos parâmetros β que fazem com que a curva definida pela função de ajuste f passe “o mais perto possível” dos nodos. Por exemplo, desejamos determinar os valores β0, β1 e β2 que fazem com que a curva dada pela função f(x)= β2x2+ β1x + β0 (uma parábola) passe “o mais perto possível” de um conjunto de 20 nodos como mostra a Figura 6.1. O problema do ajuste de funções também é denominado ajuste de curvas ou simplesmente ajuste.

A motivação para esse problema geralmente provém da análise de observações experimentais na qual desejamos ajustar uma curva teórica a dados experimentais (observados) que, devido a erros de medida e a perturbações externas, oscilam em torno de valores previstos (esperados). O método de ajuste mais popular, denominado método dos quadrados mínimos, foi pioneiramente desenvolvido por Legendre1 e Gauss2.

 

Capítulo 7 - Integração numérica

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CAPÍTULO

Integração numérica

7.1

7

Definição do problema

Considere a integral definida dada por

(7.1)

O problema da integração numérica consiste na avaliação de (7.1) por métodos numéricos. Note que, sendo a integral definida, Q é um resultado numérico. O problema da integração algébrica é mais complicado e está além do escopo deste livro.

A integração numérica é especialmente indicada quando:

1. É conhecida uma expressão algébrica para f, mas sua primitiva F é de difícil obtenção, isto é, não é conhecida uma expressão para F em termos de funções elementares.

2. A função f é conhecida em apenas um conjunto discreto de valores.

Estudaremos dois métodos de integração numérica: os métodos de

Newton-Cotes, que são indicados para problemas do tipo 1, e o método dos splines, que é indicado para problemas do tipo 2.

7.2

Método de Newton-Cotes simples

O método de Newton1-Cotes2 de ordem n consiste em estimar o valor da integral (7.1) por meio da média ponderada

 

Capítulo 8 - Equações diferenciais ordinárias

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CAPÍTULO

Equações diferenciais ordinárias

8.1

8

Definição do problema

Equações diferenciais combinam uma função incógnita u e suas derivadas: u′, u″,…, u(k). Se a função incógnita é dependente de apenas uma variável, a equação é dita ordinária. A ordem de uma equação diferencial é dada por sua derivada de mais alta ordem. As equações diferenciais podem ser definidas em um intervalo I ⊆ Rn e restritas a condições de contorno (ou iniciais) nas bordas do intervalo. Resolver uma equação diferencial implica determinar a função incógnita u que satisfaz a equação e suas condições de contorno.

Existem inúmeras maneiras de construir equações diferenciais e as técnicas de resolução dependem da classificação da equação (Boyce; DiPrima, 2002).

Um Problema de Valor Inicial (PVI) se constitui em uma equação diferencial ordinária cuja solução u(t) está definida em um intervalo fechado [a, b] e restrita a assumir um valor especificado no início do intervalo:

 

Apêndice A - Respostas para problemas selecionados

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APÊNDICE

Respostas para problemas selecionados

A

Capítulo 1

1.1. a = 2ˆ5, b = sqrt(7)

1.3. a = cosd(60), b = tan(pi/4)

1.5. a = abs(-5), b = factorial(9)

1.7. x = [6 2 0 5], y = [6 2 0 5]'

1.9. z = zeros(1,20)

1.11. A = [1 7; -4 3]

1.13. a = -18.3333. Verifique a ordem de precedência dos operadores: \, *, +, -.

1.15. e = 5.3948. O comando log(y) determina o logaritmo natural de y.

1.17. w = 1.5708, e = 1. Observe que ecos(π/2) = e0 = 1.

1.19. O comando ln não existe. O correto é usar a = log(5).

1.21. A vírgula é separador de elementos. O correto é t = cos(3.1416).

1.23. O polinômio é 3,3x 2 + 174,2x – 6627,7. Observe o fator 103 multiplicando os elementos do vetor.

1.25. Um script pode ser escrito assim: clear clc clf x = -3 : 0.01 : 3; y = exp(-x) - 1; plot(x, y) grid on legend('g(x) = exp(-x) - 1') xlabel('x') ylabel('g(x)') title('Problema 1.25')

1.27. Um script pode ser escrito assim: clear clc clf x = -1 : 0.01 : 3; y = (x + 1)./(x - 1); plot(x,y) grid on legend('i(x) = (x + 1)/(x - 1)') xlabel('x') ylabel('i(x)') title('Problema 1.27')

 

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