Cálculo

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Livro de Cálculo que expõe o conteúdo de forma clara e acessível. Escrito em estilo leve, sem deixar de lado o rigor matemático, o texto é rico em recursos pedagógicos, como figuras, gráficos, exemplos e exercícios. Esta edição apresenta mudanças nas notações, mais explicações nas derivadas, reordenamento e adição de tópicos, tudo com o objetivo de estimular os estudantes a querer ler e aprender mais.

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Capítulo 9 - Introdução a equações diferenciais

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9  �INTRODUÇÃO A EQUAÇÕES

DIFERENCIAIS

Será que esse avião vai voar?... Como é possível criar uma imagem do interior do corpo humano usando raios X muito fracos?... Qual é o design de uma bicicleta que combina pouco peso com rigidez?... Em quanto aumentaria a temperatura média da Terra se a quantidade de dióxido de carbono na atmosfera aumentasse 20%?

—Um apanhado de aplicações de equações diferenciais, do livro Computational

Differential Equations, de K. Eriksson, D. Estep, P. Hansbo e C.

Johnson, Cambridge University Press, New York, 1996

Equações diferenciais são utilizadas para preencher lacunas nos dados e para fornecer imagens detalhadas com a tomografia computadorizada.

(M. Kulky/Science Source)

A

s equações diferenciais estão entre as ferramentas mais poderosas de que dispomos para analisar matematicamente o nosso mundo. Elas são usadas para formular as leis fundamentais da Natureza (desde as leis de Newton até as equações de Maxwell e as leis da Mecânica Quântica) e para modelar os mais diversos tipos de fenômenos físicos. A citação acima lista apenas algumas poucas dentre a miríade de aplicações. Neste capítulo, oferecemos uma introdução a algumas técnicas e aplicações elementares dessa importante área da Matemática.

 

Capítulo 10 - Séries infinitas

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10  �SÉRIES INFINITAS

A

teoria das séries infinitas é um terceiro ramo do Cálculo, além do Cálculo Diferencial e do

Cálculo Integral. As séries infinitas nos fornecem uma nova perspectiva das funções e de muitos números interessantes. Dois exemplos são a série da função exponencial

e a série de Gregory-Leibniz (ver Exercício 63 na Seção 10.2)

A primeira mostra que ex pode ser expressa como um “polinômio infinito” e a segunda revela que π está relacionado com os recíprocos dos inteiros ímpares de uma maneira inesperada.

Para entender o que são séries infinitas, precisamos definir precisamente o que significa somar uma infinidade de parcelas. Assim como no Cálculo Diferencial e Integral, também aqui os limites desempenham um papel fundamental.

As séries infinitas nos permitem entender processos que iteram indefinidamente, como ocorre com fractais, gerando figuras como esta.

(Gregory Sams/Science Source)

10.1  Sequências

As sequências de números aparecem em situações diversas. Se dividirmos um bolo pela metade e então a metade de novo pela metade, e continuarmos dividindo indefinidamente pela metade (Figura 1), então a fração de bolo deixada em cada estágio forma a sequência

 

Capítulo 11 - Equações paramétricas, coordenadas polares e seções cônicas

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11  �EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS,

COORDENADAS POLARES E

SEÇÕES CÔNICAS

Neste capítulo, introduzimos duas novas ferramentas. Inicialmente, consideramos equações paramétricas, que descrevem curvas num formato que é particularmente útil para analisar o movimento e que é indispensável em áreas como computação gráfica e projeto assistido por computador (CAD). Em seguida, discutimos coordenadas polares, uma alternativa para as coordenadas retangulares, que simplificam as contas em muitas aplicações. Encerramos o capítulo com uma discussão das seções cônicas (elipses, hipérboles e parábolas).

Para localizar satélites em órbita terrestre, são utilizadas equações paramétricas e elipses (um tipo de seção cônica).

(Chad Baker/Getty Images)

11.1  Equações paramétricas

Imagine uma partícula percorrendo uma curva no plano como na Figura 1. Gostaríamos de descrever o movimento dessa partícula; no entanto, a curva não é o gráfico de uma função y = h(x), pois não passa no teste da reta vertical. Em vez disso, descrevemos o movimento da partícula especificando as coordenadas como funções do tempo t:

 

Capítulo 12 - Geometria vetorial

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12  �GEOMETRIA VETORIAL

O

s vetores desempenham um papel em quase todas as áreas da Matemática e suas aplicações. Nas áreas da Física, eles são usados para representar quantidades que têm direção e sentido além da magnitude, como velocidade e força. A mecânica newtoniana, a física quântica e as relatividades especial e geral, todas elas dependem fundamentalmente de vetores. Não seríamos capazes de entender a eletricidade e o magnetismo sem os vetores, que são utilizados para construir o embasamento teórico.

Os vetores também desempenham um papel crítico na computação gráfica, descrevendo como deveria ser representada a luz e fornecendo um meio para variar o ponto de vista da tela apropriadamente. Em áreas como a Economia e a Estatística, os vetores são usados para encapsular informação de uma maneira que permita sua manipulação eficiente. Eles são uma ferramenta indispensável numa variada gama de disciplinas.

Neste capítulo, desenvolvemos as propriedades geométricas e algébricas básicas de vetores. Embora neste capítulo não utilizemos o Cálculo, os conceitos desenvolvidos aqui serão utilizados em todo o resto do texto.

 

Capítulo 13 - Cálculo de funções vetoriais

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13  �CÁLCULO DE FUNÇÕES

VETORIAIS

N

este capítulo, estudamos funções vetoriais e suas derivadas e as utilizamos para analisar curvas e movimento no espaço tridimensional. Embora muitas técnicas do Cálculo a uma variável transportem para o contexto vetorial, há um aspecto novo importante na derivada.

Uma função real f só pode variar de uma de duas maneiras: crescer ou decrescer. Diferentemente disso, uma função vetorial pode variar não só na magnitude, mas também na direção e sentido, e a taxa de variação não é só um número, mas é, ela mesmo, um vetor. Para desenvolver esses novos conceitos, começamos com uma introdução a funções vetoriais.

Os polímeros de DNA formam curvas helicoidais cuja orientação espacial influencia suas propriedades bioquímicas.

13.1  Funções vetoriais

Considere uma partícula em movimento no R3 e suponha que suas coordenadas no instante t sejam (x(t), y(t), z(t)). É conveniente representar a trajetória da partícula pela função vetorial

 

Capítulo 14 - Derivação em várias variáveis

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14  �DERIVAÇÃO EM VÁRIAS

VARIÁVEIS

N

este capítulo, estendemos os conceitos e as técnicas do Cálculo Diferencial a funções de várias variáveis. Como veremos, uma função f que depende de duas ou mais variáveis não tem só uma derivada, mas, em vez disso, um conjunto de derivadas parciais, uma para cada variável. As derivadas parciais constituem os componentes do vetor gradiente, que fornece um entendimento valioso do comportamento da função. Nas duas últimas seções do capítulo, aplicamos as ferramentas desenvolvidas à otimização em várias variáveis.

14.1  Funções de duas ou mais variáveis

Um exemplo familiar de uma função de duas variáveis é a área A de um retângulo, que é igual ao produto xy da base x pela altura y. Escrevemos

ou A = f(x, y), sendo f(x, y) = xy. Um exemplo de três variáveis é a distância de um ponto

P = (x, y, z) à origem:

A inclinação que um alpinista enfrenta depende da direção e do sentido de seu movimento e é dada por uma generalização apropriada da derivada de uma função de uma variável.

 

Capítulo 15 - Integração múltipla

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15  �INTEGRAÇÃO MÚLTIPLA

A

s integrais de funções de várias variáveis, denominadas integrais múltiplas, são uma extensão natural das integrais de uma variável estudadas na primeira parte do texto. Elas são utilizadas para calcular muitas quantidades que surgem nas aplicações, como volumes, áreas de superfície, centros de massa, probabilidades e valores médios.

15.1  Integração em duas variáveis

A integral de uma função f(x, y) de duas variáveis, denominada integral dupla, é denotada por

Ela representa o volume com sinal da região sólida entre o gráfico de f(x, y) e o domínio no plano xy (Figura 1), sendo que o volume é positivo com regiões acima do plano xy e negativo com regiões abaixo.

Há muitas semelhanças entre integrais duplas e integrais simples:

Estas plantações em terraços ilustram como o volume abaixo de um gráfico pode ser calculado usando integração iterada.

(© bbbar/age fotostock)

• Integrais duplas são definidas como limites de somas.

 

Capítulo 16 - Integrais de linha e de superfície

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16  �INTEGRAIS DE LINHA

E DE SUPERFÍCIE

N

o capítulo anterior, generalizamos a integração de uma para várias variáveis. Neste capítulo, generalizamos ainda mais para incluir integração em curvas e superfícies, integrando não só funções, mas também campos vetoriais. As integrais de campos vetoriais são usadas no estudo de fenômenos como eletromagnetismo, dinâmica de fluidos e transferência do calor.

Para começar do começo, o capítulo inicia com uma discussão de campos vetoriais.

16.1  Campos vetoriais

Como poderíamos representar um objeto físico como o vento, que consiste num número grande de moléculas em movimento numa região do espaço? Para isso, necessitamos de um novo tipo de função, denominado campo vetorial. Nesse caso, um campo vetorial F associa a cada ponto P = (x, y, z) um vetor F(x, y, z) que representa a velocidade (magnitude, direção e sentido) do vento naquele ponto (Figura 1). Outro campo de velocidades aparece na Figura 2. No entanto, os campos vetoriais descrevem muitos outros tipos de quantidades, como forças e campos elétricos e magnéticos.

 

Capítulo 17 - Teoremas fundamentais da análise vetorial

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17  �TEOREMAS

FUNDAMENTAIS DA

ANÁLISE VETORIAL

N

este capítulo final, estudamos três generalizações do teorema fundamental do Cálculo, que, como vimos, é dado por

Se pensarmos na fronteira do intervalo [a, b] como sendo dada pelos dois pontos {a, b}, então o teorema fundamental diz que podemos encontrar a integral da derivada de uma função num intervalo simplesmente calculando os valores da função na fronteira do intervalo. O primeiro desses novos teoremas, o de Green, diz que podemos encontrar uma integral dupla de um certo tipo de derivada de uma função numa região do plano xy calculando uma integral de linha ao longo da fronteira da região. O segundo teorema, o de Stokes, permite-nos encontrar uma integral de superfície de um certo tipo de derivada numa superfície com fronteira no espaço calculando uma integral de linha ao longo das curvas de fronteira. O terceiro teorema, o da divergência, permite-nos encontrar a integral tripla de outro certo tipo de derivada num sólido do espaço calculando uma integral de superfície na superfície que é a fronteira do sólido.

 

Apêndices

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A A LINGUAGEM DA

MATEMÁTICA

Um dos desafios no aprendizado do Cálculo é se acostumar com sua terminologia e linguagem precisas, especialmente no enunciado de teoremas. Nesta seção, analisamos alguns detalhes de Lógica que são úteis e, na verdade, essenciais, no entendimento de teoremas e sua utilização correta.

Muitos teoremas da Matemática envolvem uma implicação. Se A e B são afirmações, então a implicação significa que A implica B:

Se A for verdadeira, então B é verdadeira.

A afirmação A é denominada a hipótese (ou premissa) e a afirmação B é a conclusão (ou tese) da implicação. Vejamos um exemplo: Se m e n forem inteiros pares, então m + n será um inteiro par. Essa afirmação pode ser dividida em uma hipótese e uma conclusão: m + n é um inteiro par

m e n são inteiros pares

Na linguagem do dia a dia, as implicações costumam ser utilizadas de uma maneira menos precisa. Um exemplo: Se você trabalhar duro, então você terá sucesso. Além disso, algumas afirmações que sequer tem o formato podem ser reformuladas como implicações.

 

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