Cálculo

Visualizações: 638
Classificação: (0)

Livro de Cálculo que expõe o conteúdo de forma clara e acessível. Escrito em estilo leve, sem deixar de lado o rigor matemático, o texto é rico em recursos pedagógicos, como figuras, gráficos, exemplos e exercícios. Esta edição apresenta mudanças nas notações, mais explicações nas derivadas, reordenamento e adição de tópicos, tudo com o objetivo de estimular os estudantes a querer ler e aprender mais.

FORMATOS DISPONíVEIS

12 capítulos

Formato Comprar item avulso Adicionar à Pasta

Capítulo 1 - Revisão de pré-cálculo

PDF Criptografado

1  �REVISÃO DE PRÉ-CÁLCULO

O

Cálculo é fundamentado na Álgebra, Geometria Analítica e Trigonometria. Neste capítulo, portanto, revisamos alguns dos conceitos, fatos e fórmulas básicos do Pré-Cálculo que são utilizados em todo o texto. Na última seção, discutimos algumas maneiras pelas quais os recursos computacionais podem ser utilizados para reforçar o seu entendimento visual de funções e de suas propriedades.

1.1  Números reais, funções e gráficos

Começamos com uma breve discussão de números reais. Isso nos dá a oportunidade de relembrar algumas propriedades básicas e a notação padrão.

Um número real é um número representado como um decimal, ou “expansão decimal”.

Há três tipos de expansões decimais: finitas, periódicas ou infinitas e não periódicas. Por exemplo,

Aplicações que fornecem a quantidade de atividade sísmica como uma função do tempo ajudam os cientistas a predizer erupções vulcânicas e terremotos.

(Douglas Peebles/Science Source)

 

Capítulo 2 - Limites

PDF Criptografado

2  LIMITES

O

Cálculo, em parte por razões históricas, costuma ser dividido em dois ramos, o Diferencial e o Integral. Esse assunto foi desenvolvido no século XVII para resolver dois problemas geométricos importantes: encontrar retas tangentes a curvas (Cálculo Diferencial) e calcular a área abaixo de curvas (Cálculo Integral). Contudo, o Cálculo é um assunto muito vasto, sem fronteiras bem delimitadas. Ele inclui outros tópicos, como a teoria de séries infinitas, e tem uma gama extraordinariamente ampla de aplicações. O que faz esses métodos e aplicações uma parte do Cálculo é que todos eles recaem no conceito de um limite. Veremos, ao longo deste texto, como os limites nos permitem efetuar contas e resolver problemas que não podem ser resolvidos usando somente a Álgebra.

Neste capítulo, introduzimos o conceito de limite e preparamos o cenário para o nosso estudo da derivada no Capítulo 3. Na primeira seção, que serve de motivação, discutimos como os limites surgem no estudo de taxas de variação e retas tangentes.

 

Capítulo 3 - Derivada

PDF Criptografado

3  DERIVADA

O

Cálculo Diferencial é o estudo da derivada, e a derivação é o processo de calcular derivadas.

O que é uma derivada? Essa pergunta tem três respostas igualmente importantes: a derivada

é uma taxa de variação, é a inclinação de uma reta tangente e (mais formalmente) é o limite de uma razão incremental, como veremos logo. Neste capítulo, exploramos essas três facetas da derivada e desenvolvemos as regras básicas de derivação. Quando você dominar essas técnicas, estará de posse de uma das ferramentas mais úteis e maleáveis que a Matemática pode oferecer.

A velocidade num dado momento da queda livre é obtida calculando a derivada da função posição naquele instante.

3.1  Definição da derivada

(Germanskydiver/Shutterstock)

Comecemos com duas perguntas: qual é a definição precisa de uma reta tangente e como podemos calcular sua inclinação? Para responder a essas questões, retornamos à relação entre retas tangentes e retas secantes mencionada inicialmente na Seção 2.1.

 

Capítulo 4 - Aplicações da derivada

PDF Criptografado

4  APLICAÇÕES DA DERIVADA

N

este capítulo, colocamos a derivada a trabalhar. Usamos as derivadas primeira e segunda para analisar funções e seus gráficos e resolvemos problemas de otimização (encontrar o valor mínimo e máximo de uma função). O método de Newton, na Seção 4.8, utiliza a derivada para aproximar soluções de equações.

4.1  Aproximação linear e aplicações

Em algumas situações, estamos interessados em determinar o “efeito de uma pequena variação”. Por exemplo:

•• Como é que uma pequena variação do ângulo afeta a distância do lançamento de um jogador de basquete? (Exercício 39)

•• Como é afetada a bilheteria de um espetáculo por uma pequena variação do preço do ingresso? (Exercício 29)

•• A raiz cúbica de 27 é 3. Quanto maior é a raiz cúbica de 27,2? (Exercício 7)

Espelhos que acompanham o Sol, conhecidos como helióstatos, no deserto de Tabernas, na Espanha, utilizam o princípio da distância mínima (ver Seção 4.7) para concentrar a luz do Sol e gerar energia. (Thomas

 

Capítulo 5 - Integral

PDF Criptografado

5  INTEGRAL

O

problema básico do Cálculo Integral é encontrar a área abaixo de uma curva. Pode parecer estranho que o Cálculo se interesse por dois tópicos aparentemente não relacionados como

áreas e retas tangentes. Uma razão é que ambas são calculadas via limites. Uma relação mais profunda é revelada pelo Teorema Fundamental do Cálculo, discutido nas Seções 5.4 e 5.5.

Esse teorema expressa a relação “inversa” entre integração e derivação e desempenha um papel realmente fundamental em quase todas as aplicações do Cálculo, tanto teóricas quanto práticas.

A datação por carbono, que depende do decaimento exponencial de C14

­ em relação a C12, permite a determinação da idade das pinturas dessas cavernas.

5.1  Aproximando e calculando área

Por que estaríamos interessados na área abaixo de uma curva? Considere um objeto em movimento retilíneo com velocidade constante v (que supomos ser positiva). A distância percorrida ao longo de um intervalo de tempo

 

Capítulo 6 - Aplicações da integral

PDF Criptografado

6  APLICAÇÕES DA INTEGRAL

N

o capitulo precedente, utilizamos a integral para calcular áreas abaixo de curvas e variação líquida. Neste capítulo, discutimos algumas das outras quantidades representadas por integrais, incluindo volume, valor médio, trabalho, massa total, população e escoamento de fluido.

6.1  Área entre duas curvas

Às vezes estamos interessados na área entre duas curvas. A Figura 1 mostra a projeção da geração de energia elétrica nos EUA a partir de fontes renováveis (eólica, solar, biocombustíveis, etc.) segundo dois cenários: com ou sem o estímulo governamental ao consumo. A área da região sombreada entre os dois gráficos representa a projeção da energia adicional que resulta do consumo estimulado.

Uma imagem de veias em um coração humano, obtida por ressonância magnética

(RM). Os digitalizadores de RM utilizam a matemática das transformadas de Fourier, que dependem de integrais, para construir imagens bi e tridimensionais. (Sergey Panteleev/Getty Images)

 

Capítulo 7 - Técnicas de integração

PDF Criptografado

7  TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO

N

a Seção 5.7, introduzimos a substituição, que é uma das mais importantes técnicas de integração. Neste capítulo, desenvolvemos uma segunda técnica fundamental, a integração por partes, bem como várias técnicas para tratar classes particulares de funções, tais como funções trigonométricas e racionais. Contudo, não existe um método infalível e, de fato, muitas antiderivadas importantes nem podem ser dadas em termos elementares. Por isso, discutimos a integração numérica na última seção. Qualquer integral definida pode ser aproximada numericamente com qualquer grau de precisão desejado.

7.1  Integração por partes

Na projeção de Mercator da Terra, um ponto localizado a y unidades radiais do

Equador corresponde a um ponto do globo terrestre com latitude dada pelo gudermanniano, que é a função definida por

(Photodisc/Getty Images)

Nesta seção, deduzimos uma fórmula que, muitas vezes, permite-nos converter uma integral que não sabemos calcular em uma integral que sabemos calcular. A fórmula da integração por partes decorre da regra do produto.

 

Capítulo 8 - Mais aplicações da integral e polinômios de Taylor

PDF Criptografado

8  M

� AIS APLICAÇÕES DA

INTEGRAL E POLINÔMIOS

DE TAYLOR

N

as três primeiras seções deste capítulo, desenvolvemos alguns usos adicionais da integração, incluindo duas importantes aplicações à Física. Na última seção, introduzimos os polinômios de Taylor, que são generalizações da aproximação linear para ordens mais elevadas. Os polinômios de Taylor ilustram maravilhosamente o poder do Cálculo para fornecer entendimento valioso de funções.

8.1  Comprimento de arco e área de superfície

Os engenheiros utilizam integrais no projeto de represas para garantir que as paredes da represa consigam suportar a força da água.

(Earl Roberg/Science Source)

Vimos que as integrais são utilizadas para calcular “quantidades totais” (tais como distância percorrida, massa total, custo total, etc.). Outra dessas quantidades é o comprimento de uma curva (também denominado comprimento de arco). Deduzimos uma fórmula para o comprimento de arco usando nosso procedimento padrão: aproximação seguida de passagem ao limite. Nesse caso, aproximamos a curva por um caminho poligonal constituído de segmentos de reta que conectam pontos da curva. É fácil encontrar o comprimento de uma coleção de segmentos de reta. Então podemos tomar o limite da soma de seus comprimentos fazendo o número de segmentos crescer.

 

Apêndice A - A linguagem da matemática

PDF Criptografado

A  �A LINGUAGEM DA

MATEMÁTICA

Um dos desafios no aprendizado do Cálculo é se acostumar com sua terminologia e linguagem precisas, especialmente no enunciado de teoremas. Nesta seção, analisamos alguns detalhes de Lógica que são úteis e, na verdade, essenciais, no entendimento de teoremas e sua utilização correta.

Muitos teoremas da Matemática envolvem uma implicação. Se A e B são afirmações, então a implicação significa que A implica B:

  Se A for verdadeira, então B é verdadeira.

A afirmação A é denominada a hipótese (ou premissa) e a afirmação B é a conclusão (ou tese) da implicação. Vejamos um exemplo: Se m e n forem inteiros pares, então m + n será um inteiro par. Essa afirmação pode ser dividida em uma hipótese e uma conclusão: m + n é um inteiro par

m e n são inteiros pares

Na linguagem do dia a dia, as implicações costumam ser utilizadas de uma maneira menos precisa. Um exemplo: Se você trabalhar duro, então você terá sucesso. Além disso, algumas afirmações que sequer tem o formato podem ser reformuladas como implicações.

 

Apêndice B - Propriedades de números reais

PDF Criptografado

B  P� ROPRIEDADES DE

NÚMEROS REAIS

Neste apêndice, discutimos as propriedades básicas dos números reais. Inicialmente, recordamos que um número real é um número que pode ser representado por uma expansão decimal finita ou infinita. O conjunto de todos os números reais é denotado por R e muitas vezes é visualizado como a “reta real” (Figura 1).

Assim, um número real a é representado por

em que n é um número natural qualquer e cada dígito aj é um número natural entre 0 e 9.

Por exemplo,

Lembre que a será racional se sua expansão for finita ou periódica e irracional se não apresentar repetição. Além disso, a expansão é única, a menos da exceção seguinte: toda expansão finita é igual a uma expansão com o dígito 9 repetido. Por exemplo,

Supomos que seja sabido que as operações de adição e multiplicação estão definidas em

R, ou seja, no conjunto das expansões decimais. Informalmente, a adição e a multiplicação de expansões decimais infinitas são definidas em termos de expansões finitas. Se d  1, defina o d-ésimo truncamento de como a expansão finita obtida cortando a expansão na d-ésima casa decimal. Para formar a + b, suponha que ambos os números sejam expansões infinitas (possivelmente com 9 repetido). Isso elimina qualquer possibilidade de ambiguidade na expansão. Então o enésimo dígito de a + b é igual ao enésimo dígito de

 

Apêndice C - Indução e o teorema binomial

PDF Criptografado

C  �INDUÇÃO E O TEOREMA

BINOMIAL

O princípio da indução é um método de demonstração que é largamente utilizado para provar que uma dada afirmação P(n) é válida com qualquer número natural n = 1, 2, 3, ... . Aqui temos duas afirmações desse tipo:

•• P(n): A soma dos primeiros n números ímpares é igual a n2.

••

A primeira afirmação diz que, dado qualquer número natural n,

1

Podemos verificar diretamente que P(n) é verdadeira com os primeiros valores de n:

P(1) é a igualdade:

1 5 12 (verdadeira)

P(2) é a igualdade:

1 1 3 5 22 (verdadeira)

P(3) é a igualdade:

1 1 3 1 5 5 32 (verdadeira)

O princípio da indução pode ser utilizado para garantir P(n) com qualquer valor de n.

O princípio da indução é aplicável se

P(n) for uma afirmação definida com n  n0 sendo n0 um inteiro fixado.

Suponha que

(i) Base de indução: P(n0) é verdadeira.

(ii) Etapa de indução: Se P(n) for verdadeira com n = k, então P(n) também será verdadeira com n = k + 1.

 

Apêndice D - Demonstrações adicionais

PDF Criptografado

D  D

� EMONSTRAÇÕES

ADICIONAIS

Neste apêndice, fornecemos provas de vários teoremas que foram enunciados ou usados no texto.

Seção 2.3

TEOREMA 1  Leis básicas de limites  Suponha que existam

e

. Então:

(i)

(ii) Dado qualquer número k,

(iii)

(iv) Se

então

Demonstração  Sejam

e

A lei da soma (i) foi provada na Se-

ção 2.9. Observe que (ii) é um caso especial de (iii), em que g(x) = k é uma função constante.

Assim, é suficiente provar a lei do produto (iii). Escrevemos

e aplicamos a desigualdade triangular para obter

1

Pela definição de limite, podemos escolher d  0 de tal modo que

Segue que com

Agora escolha qualquer número

Aplicando novamente a definição de limite, vemos que escolhendo um d menor, se necessário, também podemos garantir que, se então

Usando a Equação (1), vemos que, se

então

Como e foi tomado arbitrariamente, isso prova que quociente (iv), é suficiente verificar que, se

 

Detalhes do Produto

Livro Impresso
Book
Capítulos

Formato
PDF
Criptografado
Sim
SKU
BPP0000258008
ISBN
9788582604601
Tamanho do arquivo
79 MB
Impressão
Desabilitada
Cópia
Desabilitada
Vocalização de texto
Não
Formato
PDF
Criptografado
Sim
Impressão
Desabilitada
Cópia
Desabilitada
Vocalização de texto
Não
SKU
Em metadados
ISBN
Em metadados
Tamanho do arquivo
Em metadados