Matemática Financeira, 8ª edição

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Com mais de 110 mil exemplares vendidos e grande receptividade entre os professores, técnicos, gerentes e executivos da área financeira, bem como os estudantes em geral, esta obra clássica chega à 8ª edição mantendo sua principal característica: transmitir conhecimento com didática, objetividade e atualidade._x000D_
Livro-texto para a disciplina Matemática Financeira. Leitura complementar para as disciplinas Mercado de Capitais e Elaboração e Análise de Projetos dos cursos de Administração, Ciências Contábeis e Economia. Destina-se ainda aos cursos intensivos de treinamento. Leitura de interesse profissional._x000D_

15 capítulos

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1 - Conceitos Fundamentais

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1

CONCEITOS FUNDAMENTAIS

1.1

CONCEITOS DE CAPITAL, JUROS, TAXA DE JUROS E PRAZO

1.1.1 Capital

Entende-se por capital, do ponto de vista da matemática financeira, qualquer valor expresso em moeda e disponível em determinada época.

1.1.2 Juro

Juro é a remuneração do capital emprestado, podendo ser entendido, de forma simplificada, como sendo o aluguel pago pelo uso do dinheiro.

A origem da cobrança de juros é antiga e se perde na escuridão dos tempos. Sabe-se que sempre provocou críticas, restrições e até mesmo proibições, em diferentes épocas e civilizações. Diversas teorias tentam explicar a existência dos juros. Uma das mais citadas é a de que os juros existem pela necessidade ou preferência dos consumidores em consumir bens e serviços no presente a poupar para consumi-los no futuro. Assim, na sua origem, o juro pode ser justificado como uma compensação que o possuidor do capital exige pelo seu não uso durante o tempo do empréstimo, além de um prêmio pelo risco de não receber o seu dinheiro de volta.

 

2 - Capitalização Simples

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CAPITALIZAÇÃO SIMPLES

2.1 CONCEITO

Capitalizar, em matemática financeira, significa adicionar juros ao capital. E essa adição pode ser feita de forma linear ou exponencial. Quando feita de forma linear, dizemos que a capitalização é simples, e quando feita exponencialmente dizemos que ela é composta.

Assim, podemos conceituar capitalização simples como sendo o cálculo de obtenção dos juros em que a taxa definida para o período unitário (dia, mês ou ano) incide sempre sobre o capital inicial, não incidindo, pois, sobre os juros que vão se acumulando. O cálculo do valor mensal dos juros e do total acumulado pode ser visualizado através do quadro mostrado a seguir.

Exemplo: calcular o valor dos juros correspondente a um empréstimo de $ 1.000,00, contratado a uma taxa de juro de 5% ao mês, pelo prazo de 4 meses.

Solução:

Mês

Juros Mensais

Juros Acumulados

1

0,05 × 1.000,00 = 50,00

 50,00

2.2

2

0,05 × 1.000,00 = 50,00

 

3 - Capitalização Composta

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3

CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA

3.1 CONCEITO

Capitalização composta é aquela em que a taxa de juros incide sobre o capital inicial, acrescido dos juros acumulados até o período anterior. Nesse regime de capitalização, o valor dos juros cresce exponencialmente em função do tempo.

3.2

MONTANTE E VALOR ATUAL

O conceito de montante é o mesmo definido para capitalização simples, ou seja, é a soma do capital inicial mais o valor dos juros correspondentes ao prazo da aplicação ou do empréstimo.

A simbologia é a mesma já conhecida, ou seja, S, o montante, P, o capital inicial, n, o prazo, e i, a taxa.

A dedução da fórmula do montante para um único pagamento é pouco mais complexa que aquela já vista para a capitalização simples. Para facilitar o entendimento, vamos admitir que nos defrontamos com o seguinte problema:

Calcular o montante de um capital de $ 1.000,00, aplicado à taxa de 5% ao mês, durante

4 meses.

Dados: P = 1.000,00 n = 4 meses

 

4 - Descontos

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4

DESCONTOS

4.1

CONSIDERAÇÕES SOBRE OS CONCEITOS E CLASSIFICAÇÃO DOS

CRITÉRIOS TRADICIONAIS DE DESCONTO

Nesta edição estamos propondo uma reformulação radical dos critérios que tratam do assunto descontos. Com base na minha experiência adquirida ao longo de 41 anos em que venho ministrando cursos de matemática financeira para estudantes e profissionais ligados ao mercado financeiro e de capitais, estou absolutamente convicto de que a classificação tradicional do desconto simples em “por fora” (também conhecido por bancário ou comercial) e desconto “por dentro” (ou racional) não tem o menor sentido, nem teórico, nem prático; essa mesma afirmação, e até com maiores razões, também se aplica ao chamado desconto composto, tanto o “por fora” quanto o “por dentro”. Trata-se, no meu entendimento, de uma lamentável confusão histórica envolvendo conceitos de taxa de juros, taxa de desconto, capital inicial (valor presente) e montante (valor futuro). Em resumo, queremos demonstrar que o capítulo tradicionalmente chamado de “desconto”, costumeiramente apresentado somente para os casos de pagamento único, pode e deve ser extinto. Como consequência, nos exemplos envolvendo as variáveis capital inicial, montante e prazo, tanto para os regimes de capitalização simples quanto composta, deve-se falar apenas em taxa de juros, não mais em taxa de desconto. Para maior clareza, vamos primeiramente apresentar exemplos de operações de desconto feitas de acordo com a conceituação e classificação tradicionais, as quais são normalmente apresentadas e explicadas nos livros de matemática financeira da maioria dos autores nacionais, e também estrangeiros.

 

5 - Séries de Pagamentos

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5

SÉRIES DE PAGAMENTOS

5.1

NOÇÕES SOBRE FLUXO DE CAIXA

Fluxo de caixa pode ser entendido como uma sucessão de recebimentos ou de pagamentos, em dinheiro, previstos para determinado período de tempo.

A fim de facilitar o entendimento dos problemas a serem apresentados, será utilizada a representação gráfica do fluxo de caixa, como mostra o exemplo a seguir, correspondente a um fluxo mensal.

Recebimentos previstos

Dia

Valor ($)

05

10.000,00

11

28.000,00

17

9.000,00

25

16.000,00

Pagamentos previstos

Dia

Valor ($)

09

12.000,00

14

14.000,00

17

7.000,00

28

20.000,00

Representação gráfica do fluxo mensal

28.000

0

5

16.000

9.000

10.000

10

12.000

15

20

25

30

7.000

14.000

20.000

46 |  MATEMÁTICA FINANCEIRA • José Dutra Vieira Sobrinho

 

6 - Sistemas de Amortização

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6

SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO

Um sistema de amortização nada mais é do que um plano composto por pagamentos periódicos para liquidação de um empréstimo ou de um financiamento, de curto ou de longo prazo. O plano pode ser formado por apenas um pagamento ou por uma série de parcelas iguais ou diferentes, com periodicidade diária, quinzenal, mensal, trimestral, anual ou em períodos variáveis. Assim, embora uma dívida qualquer possa ser quitada de infinitas maneiras, apenas alguns desses planos têm sido utilizados de maneira generalizada no mundo financeiro. A seguir vamos apresentar e analisar os sistemas de amortização mais utilizados no Brasil e no mundo, que, não por coincidência, são também os mais citados nos livros e publicações que tratam de finanças.

6.1

SISTEMA DE PRESTAÇÕES IGUAIS (SPI)

O sistema de amortização em prestações iguais ou uniformes é seguramente o mais utilizado no mundo. E tanto no Brasil, como em vários outros países, esse plano também

 

7 - Classificação das Taxas de Juros

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7

CLASSIFICAÇÃO DAS TAXAS DE JUROS

7.1 INTRODUÇÃO

Nos mercados financeiros, brasileiro e mundial, mesmo entre os professores, técnicos e executivos, reina muita confusão quanto ao conceito e à classificação das taxas de juros, principalmente no que se refere às taxas nominal, efetiva e real. Para endossar esse fato, vou citar uma experiência marcante que vivi ao participar de dois encontros com a presença de aproximadamente 14 professores de matemática financeira em cada um, realizados na Editora Atlas nos meses de março e maio de 2002; a maioria dos professores, além de atuantes em várias universidades, eram também autores de livros. O objetivo do encontro era discutir alguns conceitos básicos da matemática financeira, cujo entendimento entre nós, infelizmente, não era unânime. Embora nossas reuniões tenham sido extremamente proveitosas, não conseguimos chegar a um mesmo entendimento em relação a todas as questões apresentadas e discutidas. E para surpresa de muitos dos nossos leitores, não conseguimos entrar num acordo quanto aos conceitos de taxa nominal e taxa efetiva. E uma das razões para isso era, e ainda é, a insistência em se classificar as taxas de juros como nominal ou efetiva nos casos em que o período de capitalização dos juros não coincide com o período a que se refere a taxa. Exemplo: taxa de juros de 12% ao ano com capitalização mensal dos juros. Nesse caso se dividiria a taxa anual por 12 e a taxa mensal obtida de

 

8 - Métodos de Avaliação de Fluxos de Caixa

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8

MÉTODOS DE AVALIAÇÃO

DE FLUXOS DE CAIXA

Entre os métodos mais conhecidos, destacam-se o do valor presente líquido (VPL) e o da taxa interna de retorno (TIR), largamente utilizados nas análises de aplicações financeiras e de projetos de investimentos. Esses métodos consistem basicamente em se comparar a soma algébrica dos valores presentes de cada um dos fluxos futuros de caixa (pagamentos ou recebimentos), com o valor do fluxo de caixa inicial (recebimento ou pagamento) ocorrido “hoje”, onde esses valores presentes são calculados de acordo com o regime de capitalização composta e com base em dada taxa de juros.

Como historicamente a utilização do método do valor presente líquido antecedeu ao da taxa interna de retorno, vamos abordá-lo em primeiro lugar.

8.1

VALOR PRESENTE LÍQUIDO

O valor presente líquido (VPL) é uma técnica de análise de fluxos de caixa que consiste em calcular o valor presente de uma série de pagamentos (ou recebimentos) iguais ou diferentes a uma taxa conhecida, e deduzir deste o valor do fluxo inicial (valor do empréstimo, do financiamento ou do investimento), ou seja:

 

9 - Equivalência de Capitais

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9

EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS

Dois ou mais capitais, com vencimentos em prazos diferentes, são ditos equivalentes em uma data qualquer tomada como base de cálculo se os seus respectivos valores atuais nessa data forem iguais, obtidos com base em uma mesma taxa de juros. Embora se possa escolher qualquer data como base de comparação – chamada data focal –, normalmente se utiliza a data do contrato ou do dia em que se inicia a contagem do tempo; essa data se constitui no “momento zero” da reta do tempo, e que costumeiramente chamamos simplesmente de “hoje”.

A equivalência de capitais pode ser calculada com base no regime de capitalização simples ou composta. Vamos tratar inicialmente do cálculo feito com base na teoria de juros compostos, porque este é o critério utilizado de forma generalizada no mundo. E, como veremos mais adiante, o cálculo baseado na capitalização simples tem pouca ou nenhuma importância no mundo dos negócios financeiros devido à falta de consistência matemática e financeira desse regime de capitalização.

 

10 - Taxa Média e Prazo Médio

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10

TAXA MÉDIA E PRAZO MÉDIO

10.1 OBSERVAÇÕES INTRODUTÓRIAS

Os assuntos taxa média e prazo médio, principalmente este último, não têm merecido a atenção dos diversos autores e estudiosos da matéria, no tocante à profundidade com que deveriam ser tratados. A importância do conhecimento desses dois conceitos tem crescido substancialmente nos últimos anos, à medida que se desenvolvem o mercado financeiro e o mercado de capitais, no Brasil. Em decorrência desse desenvolvimento, as operações se tornam mais complexas, exigindo controles mais sofisticados e mais seguros.

Neste capítulo vamos tratar dos conceitos de taxa média e de prazo médio para operações de desconto simples (ou comercial, ou bancário), de juros simples e de juros compostos.

Pela sua maior importância, vamos desenvolver e analisar, com maior profundidade, os conceitos de taxa média e de prazo médio para operações feitas a juros compostos.

10.2 TAXA MÉDIA E PRAZO MÉDIO PARA OPERAÇÕES DE DESCONTO

 

11 - Operações Financeiras Realizadas no Mercado

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11

OPERAÇÕES FINANCEIRAS

REALIZADAS NO MERCADO

11.1 INTRODUÇÃO

Este capítulo destina-se ao estudo das principais modalidades operacionais realizadas no mercado financeiro brasileiro. Após a descrição de cada modalidade, serão apresentados e resolvidos alguns exercícios especiais. Antes disso, porém, devemos abordar alguns conceitos relacionados com a inflação, tendo em vista a enorme importância desse fenômeno sobre as operações financeiras realizadas no Brasil.

11.1.1 Inflação e correção monetária

A inflação caracteriza-se por aumentos persistentes e generalizados dos preços dos bens e serviços à disposição da sociedade; quando ocorre o fenômeno inverso, tem-se a deflação.

Com o objetivo de minimizar ou mesmo neutralizar as distorções causadas pela inflação na economia, foi institucionalizado no Brasil o princípio da correção monetária. Através desse princípio, os valores monetários (preços de bens e serviços, salários, empréstimos, financiamentos, aplicações financeiras, impostos etc.) poderiam ser reajustados com base na inflação ocorrida no período anterior, medida por um índice de preços calculado por uma entidade credenciada, normalmente pela FGV (Fundação Getulio Vargas) ou pelo

 

12 - Apropriação de Receitas e Despesas Financeiras Diferidas

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12

APROPRIAÇÃO DE RECEITAS E

DESPESAS FINANCEIRAS DIFERIDAS

Vamos tratar neste capítulo dos critérios mais utilizados pelas empresas para apropriação das receitas e despesas financeiras diferidas, oriundas de operações de empréstimos, financiamentos e aplicação de recursos. Rigorosamente existem apenas dois critérios: o exponencial e o linear. Ambos, como veremos, possibilitam o diferimento das receitas ou despesas, quaisquer que sejam os prazos e as condições de pagamentos ou recebimentos explícitos na operação financeira. No caso das instituições financeiras, o critério exponencial é obrigatório, como estabelece o Plano Contábil das Instituições do Sistema Financeiro

Nacional – Cosif – de 29/12/1987. Embora o referido critério seja o mais aconselhável do ponto de vista gerencial, o critério linear, que é pouco conhecido da forma como será exposto, pode também ser utilizado. Este tem a vantagem de ser mais prático, mas o inconveniente de apresentar distorções em relação ao exponencial, que é um critério perfeito.

 

13 - Utilização de Calculadoras Financeiras

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13

UTILIZAÇÃO DE CALCULADORAS

FINANCEIRAS

13.1 INTRODUÇÃO

Existem no mercado brasileiro várias marcas e modelos de calculadoras financeiras, que resolvem diretamente, através das teclas financeiras n i PV PMT FV  , os problemas básicos de matemática financeira que envolvem pagamento único e séries de pagamentos iguais, calculados com base no regime de capitalização composta. Essas teclas têm o seguinte significado: n  : número de períodos = número de pagamentos. i  : taxa de juros expressas em porcentagem.

PV  : present value = valor presente ou capital inicial.

PMT  : valor dos pagamentos ou valor das prestações.

FV  : future value = valor futuro ou montante.

Dada a impossibilidade de apresentar a solução de problemas através de vários modelos, vamos fazê-lo por meio da HP-12C, que é uma das calculadoras mais populares no Brasil.

Se o leitor possuir máquina de outra marca ou modelo, facilmente, com pequena adaptação, poderá resolver boa parte dos exemplos apresentados, visto que utilizamos basicamente as operações aritméticas fundamentais (soma, subtração, multiplicação e divisão), a função potência e as teclas financeiras já mencionadas que são comuns a todas elas. Caso o leitor encontre dificuldades, recomendamos a leitura dos manuais que acompanham as calculadoras, e, no caso específico dos usuários de HP-12C, o Manual de aplicações financeiras HP-12C, elaborado pelo autor deste livro e publicado pelo Grupo Gen | Atlas.

 

Apêndice A: Noções sobre potências, progressões e interpolação

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APÊNDICE

A

NOÇÕES SOBRE POTÊNCIAS,

PROGRESSÕES E INTERPOLAÇÃO

1

NOÇÕES SOBRE POTÊNCIAS E RADICAIS

1.1 Potências

Define-se como potência e expressão an, em que a variável a, chamada base da potência, é um número real qualquer, e em que a variável n, chamada expoente, é um número inteiro ou fracionário. a) Propriedades das potências

• a0 = 1

1

• n = a− n a

• an × am = an+m an

= an × a − m – an − m am

• (a × b)n = an × bn

a

•  

 b

( )

• an

n

= m

an bn

= an × m

324 |  MATEMÁTICA FINANCEIRA • José Dutra Vieira Sobrinho

b) Exemplos de aplicação

1

Calcular: 54 ×

+ 4 0 × 4 2 × 62

52

Solução:

54 ×

1

+ 4 0 × 4 2 × 62 = 54 × 5−2 + 1 × (4 × 6)2 = 52 + 24 2 = 25 + 576 = 601

52

Calcular:

( −3)−2

 2

 3 

×

−2

32

22

Solução:

( −3)−2

 

Apêndice B: Tabelas financeiras

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APÊNDICE

B

TABELAS FINANCEIRAS

336 |  MATEMÁTICA FINANCEIRA • José Dutra Vieira Sobrinho

TAXA DO PERÍODO: 0,8333%

PAGAMENTO ÚNICO

(OU SIMPLES)

n

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

42

48

54

60

72

84

96

100

120

150

180

Fator de

Acumulação de Capital

(1 + i)n

Fator de Valor

Atual

1.00833

1.01674

1.02521

1.03375

1.04237

1.05105

1.05981

1.06864

1.07755

1.08653

1.09558

1.10471

1.11391

1.12320

1.13256

1.14199

1.15151

1.16111

1.17078

1.18054

1.19037

1.20029

 

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