Sistemas Dinâmicos - Modelagem, Simulação e Controle

Autor(es): KLUEVER, Craig A.
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Voltado para cursos introdutórios de sistemas dinâmicos e de controle, que costumam fazer parte dos currículos de graduação em Engenharia Mecânica e em Engenharia Aeroespacial, Sistemas Dinâmicos: Modelagem, Simulação e Controle baseia-se em duas décadas de experiência do autor no Departamento de Engenharia Mecânica e Aeroespacial da University of Missouri, nos Estados Unidos (EUA). Em sua carreira como professor, Craig A. Kluever percebeu que o interesse dos estudantes é maior quando os conceitos são apresentados por meio de sistemas reais de Engenharia em vez de exemplos apenas teóricos._x000D_
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O principal objetivo desta obra é oferecer um tratamento compreensível e conciso dos três tópicos essenciais dos cursos sobre sistemas dinâmicos e de controle: modelagem matemática, análise da resposta do sistema e introdução ao controle de sistemas realimentados. A abordagem prática e concreta, desenvolvida em exemplos colhidos da vasta experiência profissional do autor, faz deste livro uma obra única na área.

12 capítulos

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1 - Introdução aos Sistemas Dinâmicos e de Controle

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CAPÍTULO

1

1.1

INTRODUÇÃO

Introdução aos Sistemas

Dinâmicos e de Controle

Na solução de problemas de engenharia, é necessário compreender e determinar a resposta dinâmica de sistemas físicos que podem consistir em vários componentes. Esses esforços envolvem modelagem, análise e simulação. Geralmente, construir um sistema protótipo e conduzir testes experimentais pode ser impraticável ou muito caro para um projeto preliminar. Assim sendo, a modelagem matemática, a análise e a simulação de sistemas de engenharia auxiliam imensamente no processo de projeto.

Sistemas dinâmicos e de controle envolvem a análise, projeto e controle de sistemas físicos de engenharia normalmente compostos por subsistemas e componentes mecânicos, elétricos e fluidos que interagem.

Um exemplo é um atuador hidráulico eletricamente controlado empregado para variar a posição de uma superfície aerodinâmica (por exemplo, leme) em um aeroplano. Esse sistema consiste em vários componentes interagindo: um circuito eletromagnético é usado para abrir uma válvula mecânica que possibilita um fluido hidráulico à alta pressão escoar para a câmara de um cilindro; a pressão do fluido faz com que um pistão mecânico se mova; e ligações mecânicas (mecanismo) conectando o pistão hidráulico ao leme causam a variação da sua posição angular. Finalmente, um computador digital embarcado (um

 

2 - Modelagem de Sistemas Mecânicos

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CAPÍTULO

Modelagem de

Sistemas Mecânicos

2

2.1

O objetivo deste e dos próximos dois capítulos é desenvolver os modelos matemáticos de sistemas físicos de engenharia. Este capítulo introduz as técnicas fundamentais para a determinação das equações que modelam os sistemas mecânicos, compostos por elementos inércia, rigidez e atrito. Os modelos matemáticos de sistemas mecânicos são desenvolvidos pela aplicação das leis de movimento de Newton, que governam a interação entre força, massa e aceleração. É utilizada a abordagem de sistemas de parâmetros concentrados, e, por isso, o modelo matemático consiste em equações diferenciais ordinárias (EDOs). Sistemas mecânicos com movimento de translação e movimento de rotação em relação a eixos fixos são tratados neste capítulo.

O leitor deve ter em mente que o objetivo geral deste capítulo é determinar os modelos matemáticos que representam o comportamento de sistemas mecânicos. Não será dada (ainda) atenção à obtenção da resposta desses sistemas a entradas em força ou movimento conhecidos, o que será discutido nos

 

3 - Modelagem de Sistemas Elétricos e Eletromecânicos

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CAPÍTULO

3

Modelagem de

Sistemas Elétricos e

Eletromecânicos

3.1

Circuitos elétricos e dispositivos eletromecânicos são amplamente utilizados por engenheiros mecânicos em instrumentação e na conversão entre energia elétrica e mecânica. Este capítulo introduz as técnicas fundamentais para o desenvolvimento das equações que modelam os sistemas elétricos, compostos por elementos resistor, capacitor e indutor. Os modelos matemáticos para os sistemas elétricos são desenvolvidos pela aplicação das leis da tensão e da corrente de Kirchhoff nos circuitos elétricos, assim como pelas leis dos elementos que representam a interação entre a carga elétrica, corrente, enlace de fluxo magnético e tensão. Sistemas eletromecânicos envolvem a interação entre a energia elétrica e mecânica como ocorre nos motores, geradores e atuadores, que necessitam da análise conjunta dos circuitos elétricos e dos diagramas de corpo livre para os componentes mecânicos.

Como nos sistemas mecânicos no Capítulo 2, será empregada a abordagem de parâmetros concentrados, e, desse modo, o modelo matemático dos sistemas elétricos consiste em equações diferenciais ordinárias

 

4 - Modelagem de Sistemas Fluidos e Térmicos

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CAPÍTULO

4

Modelagem de Sistemas

Fluidos e Térmicos

4.1

Fluidos pressurizados (líquidos e gases) são usados por engenheiros mecânicos para projetar dispositivos que fornecem forças e torques de modo a mover cargas mecânicas. Sistemas hidráulicos usam um líquido como fluido de trabalho enquanto sistemas pneumáticos empregam ar ou outros gases. Atuadores hidráulicos são adotados em máquinas de construção e de agricultura para elevar cargas, mover o solo e comandar brocas rotacionais. São também empregados em veículos aeroespaciais para posicionar superfícies aerodinâmicas (lemes, elevadores, ailerons e flaps), deslocar o trem de pouso e os suportes giratórios dos motores a jato. Além disso, atuadores hidráulicos e pneumáticos são usados para manobrar manipuladores robóticos e ativar sistemas de frenagem automotivos. Assim como os sistemas eletromecânicos analisados no Capítulo 3, os sistemas fluidos convertem energia de uma fonte de potência para energia mecânica (posição e velocidade). No caso dos sistemas fluidos, a fonte de potência é um fluido pressurizado, um líquido (sistema hidráulico) ou um gás (sistema pneumático). Sistemas térmicos envolvem a transferência de energia do calor, e a temperatura é normalmente a variável dinâmica de interesse.

 

5 - Modelos-Padrão para Sistemas Dinâmicos

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CAPÍTULO

Modelos-Padrão para

Sistemas Dinâmicos

5

5.1

Os Capítulos 2-4 trataram do desenvolvimento de modelos matemáticos para os sistemas mecânicos, elétricos, eletromecânicos, fluidos e térmicos. Em cada caso, a representação matemática completa consiste em um conjunto de equações diferenciais de primeira ordem (como a de um circuito elétrico com um

único indutor) e/ou de segunda ordem (como a de um sistema mecânico com um único elemento inércia).

Quando os elementos são interconectados para formar um sistema com múltiplas variáveis dinâmicas, o modelo completo consiste em um conjunto de equações diferenciais ordinárias (EDOs) acopladas.

Neste capítulo serão apresentadas as formas-padrão para representar o modelo matemático completo. O objetivo é usar o conjunto de equações diferenciais (isto é, aquelas que modelam completamente o sistema) e reescrevê-las em uma forma conveniente para analisar a resposta dinâmica do sistema, o que pode envolver métodos analíticos ou numéricos como o MATLAB e o Simulink; em cada caso, o modelo deve ser representado por uma forma-padrão adequada. O leitor deve lembrar que o ponto de partida para a análise de um sistema é sempre o desenvolvimento das equações que o modelam matematicamente a partir das leis fundamentais (tais como a segunda lei de Newton e as leis de Kirchhoff), e os modelos-padrão são simplesmente representações dessas equações.

 

6 - Solução Numérica de Sistemas Dinâmicos

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CAPÍTULO

6

Solução Numérica de

Sistemas Dinâmicos

6.1

A primeira seção deste livro enfatizou como desenvolver modelos matemáticos de diversos sistemas físicos de engenharia. No Capítulo 5, esses modelos (isto é, as equações diferenciais ordinárias, ou EDOs) foram escritos em diferentes “formas-padrão”, incluindo as equações em variáveis de estado, a representação no espaço de estado (REE), as equações entrada-saída (E/S), e funções de transferência. Deve ser observado que a dinâmica do sistema não é alterada quando se escolhe representar o modelo matemático em determinada “forma-padrão” como a REE ou uma função de transferência. O Capítulo 5 é concluído com a apresentação dos diagramas de blocos, uma representação gráfica de sistemas interconectados que define claramente os sinais de entrada e saída e na qual os “blocos” indicam relações E/S específicas.

Desenvolver um modelo matemático é sempre o primeiro passo na análise e projeto de sistemas dinâmicos. Determinar a resposta do sistema a uma entrada específica (isto é, resolver as EDOs) é o segundo passo, pois o engenheiro está interessado em características, tais como velocidade de resposta, valor máximo da saída e o tempo para atingir o regime permanente ou uma saída constante. Uma vez que o modelo matemático tenha sido desenvolvido, o engenheiro tem duas opções para determinar a resposta do sistema: (1) métodos analíticos ou (2) simulações numéricas usando um computador digital.

 

7 - Solução Analítica de Sistemas Dinâmicos Lineares

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CAPÍTULO

Solução Analítica de

Sistemas Dinâmicos

Lineares

7

7.1

Até aqui, foram tratadas a modelagem de sistemas dinâmicos, as formas-padrão de representar modelos de sistemas e a obtenção das respostas dos sistemas usando métodos de simulação numérica. Neste capítulo será discutido como obter a resposta do sistema empregando técnicas analíticas, isso é, a obtenção da solução das equações diferencias ordinárias (EDOs) “à mão”.

O leitor deve perguntar por que é importante obter soluções analíticas para equações diferenciais quando pacotes numéricos tais como o MATLAB e Simulink estão disponíveis. Engenheiros de sistemas dinâmicos e controles devem saber como avaliar a resposta de sistemas de primeira e segunda ordem empregando cálculos “elementares”, uma vez que diversos sistemas reais de engenharia podem ser adequadamente modelados por equações diferenciais lineares de baixa ordem. Estudantes de sistemas dinâmicos devem ser capazes de desenvolver a compreensão de como os parâmetros básicos de sistema afetam a sua resposta. Por exemplo, será visto que variar a rigidez ou o amortecimento de um sistema mecânico altera a frequência de vibração da resposta e o tempo que ele leva para atingir o regime permanente. Portanto, a meta deste capítulo não é o tratamento completo, rigoroso, das equações diferenciais lineares e suas soluções; esses tópicos são normalmente abordados em disciplinas de cálculo básico cursadas previamente. Ao invés disso, o objetivo é desenvolver a compreensão das respostas de sistemas de primeira e segunda ordem para funções de entrada-padrão, tais como o degrau e o impulso. Depois de concluir este capítulo, o leitor deve ser capaz de predizer o comportamento dinâmico desses sistemas empregando alguns poucos cálculos simples feitos à mão.

 

8 - Análise de Sistemas Usando a Transformada de Laplace

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Análise de Sistemas

Usando a Transformada de Laplace

CAPÍTULO

8

8.1

Nos Capítulos 5, 6 e 7 a função de transferência foi apresentada como uma forma conveniente de representar e analisar a relação entrada-saída de sistemas dinâmicos SISO (única entrada e única saída). Além disso, elas foram desenvolvidas no Capítulo 5 usando o método do operador diferencial (ou D) sem aplicar formalmente a transformada de Laplace. As funções de transferência foram empregadas nos Capítulos 5 e 6 para representar a dinâmica dos sistemas no formato de diagramas de blocos (por exemplo, modelos

Simulink). Adicionalmente, são usadas extensivamente na análise da resposta em frequência (Capítulo

9) e nos sistemas de controle em malha fechada (Capítulo 10).

Neste capítulo, será apresentada uma breve revisão da teoria da transformada de Laplace e seu uso na obtenção da resposta de sistemas dinâmicos, que são modelados por equações diferencias lineares, invariantes no tempo (LIT). A transformada de Laplace fornece uma abordagem sistemática para a resolução de uma equação diferencial LIT pela transformação de suas variáveis no tempo t em equações algébricas no domínio da variável complexa de Laplace s. Quaisquer condições iniciais existentes são manipuladas de forma sistemática usando a transformada de Laplace e a resposta no tempo do sistema é finalmente obtida determinando a transformada inversa de Laplace. O leitor deve lembrar que a solução analítica de uma equação diferencial LIT foi obtida no Capítulo 7 assumindo uma forma de solução no domínio do tempo. Essa abordagem é tipicamente a primeira técnica apresentada em uma disciplina-padrão tratando de equações diferenciais. As transformações de Laplace fornecem uma abordagem alternativa para a solução das equações diferenciais LIT “na mão”.

 

9 - Análise de Resposta em Frequência

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CAPÍTULO

Análise de Resposta em Frequência

9

9.1

O Capítulo 7 apresentou métodos analíticos para determinar a resposta dos sistemas a entradas tais como as funções degrau, pulso e impulso. Este capítulo trata da determinação da resposta a entradas oscilatórias ou harmônicas, nas quais as funções de forçamento são u(t) = U0 sen wt ou u(t) = U0 cos wt e possuem amplitude U0 e frequência w (rad/s). É mostrado que a resposta do sistema em regime permanente é também uma função senoidal com a forma y(t) = Y0 sen(wt + f) se a entrada é uma função seno. Assim, a saída em regime permanente (definida como resposta em frequência) é também uma função senoidal com a mesma frequência da entrada. A resposta em frequência difere da entrada em sua amplitude Y0 e no ângulo de fase f. É mostrado que ambos os parâmetros podem ser determinados usando a função de transferência do sistema G(s) que relaciona a saída y(t) com a entrada u(t).

O objetivo deste capítulo é entender as características da resposta em frequência de sistemas de primeira e segunda ordem, assim como daqueles de ordem superior. Aplicando uma representação gráfica dos parâmetros da resposta em frequência do sistema (o diagrama de Bode) pode-se rápida e facilmente determiná-la e identificar fenômenos tais como a ressonância. Adicionalmente, este capítulo introduz o tópico vibrações em sistemas mecânicos.

 

10 - Introdução aos Sistemas de Controle

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CAPÍTULO

10

Introdução aos

Sistemas de Controle

10.1

Nos oito capítulos anteriores foram tratados dois tópicos principais: (1) desenvolvimento de modelos para sistemas físicos de engenharia e (2) análise da resposta dos sistemas a funções de entrada conhecidas.

Em todos os casos investigados até agora, a entrada do sistema era independente da sua saída. Neste capítulo, será introduzido o conceito de um sistema de controle realimentado, no qual a saída do sistema é medida e realimentada de modo a influenciar a entrada. O conhecimento da resposta do sistema através da realimentação permite a entrada de controle ser moldada de modo a melhorar as características da resposta. Será mostrado que certos esquemas lógicos de controle ou “controladores” podem ser usados para reduzir o tempo de resposta, melhorar as características de amortecimento e aprimorar a habilidade da saída do sistema coincidir ou rastrear um sinal de referência desejado.

O objetivo deste capítulo é introduzir o leitor na análise e projeto de sistemas de controle realimentados.

 

11 - Estudo de Casos em Sistemas Dinâmicos e Controle

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CAPÍTULO

11

11.1

INTRODUÇÃO

Estudo de Casos em

Sistemas Dinâmicos e Controle

Este capítulo final reúne os tópicos fundamentais relacionados com a modelagem, simulação e controle de sistemas dinâmicos, apresentando estudo de casos em engenharia. A maioria dos casos tratados aqui são inspirados em pesquisas apresentadas em conferências profissionais ou publicadas em artigos de revistas especializadas, e todos envolvem sistemas físicos de engenharia e as complexidades associadas aos sistemas do mundo real. Cada estudo de caso inicia com o desenvolvimento das equações que os modelam matematicamente, seguidas da análise da resposta do sistema empregando simulações numéricas e/ou métodos analíticos. Na maioria dos casos, cada estudo é concluído com uma seção de projeto, na qual é investigado o impacto da variação dos parâmetros do sistema no seu desempenho.

11.2

Nesta seção, será analisado um sistema de isolamento de vibrações que melhora as características de conforto de um veículo comercial, tal como um caminhão empregado para o transporte de cargas em

 

Apêndice A, B e C

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APÊNDICE

A

Unidades

Este livro-texto utiliza o Sistema Internacional de Unidades (SI). A Tabela A.1 resume as cinco unidades básicas que são empregadas. O leitor deve notar que existem sete unidades básicas, mas não são utilizadas neste livro-texto a intensidade luminosa e a quantidade de substância. O deslocamento angular em um plano é uma unidade auxiliar comumente empregada em dinâmica de sistemas e sua unidade é o radiano (rad).

Todas as demais unidades são denominadas unidades derivadas, pois podem ser expressas em termos das unidades básicas. Um exemplo simples é a força em newtons (N), na qual 1 N = 1 kgm/s2. A Tabela

A.2 resume as unidades derivadas utilizadas neste livro-texto.

Tabela A.1 Unidades Básicas utilizadas neste Livro-texto

Grandeza

Unidade

Símbolo

Comprimento

metro

m

Massa

quilograma

kg

Tempo

segundo

s

Corrente elétrica

ampère

A

Temperatura

 

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