Pesquisa Operacional - Para os Cursos de Administração e Engenharia, 5ª edição

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Este livro ajusta-se às necessidades de ensino e auxilia o professor a direcionar o estudo da Pesquisa Operacional ao desenvolvimento de técnicas resolutivas em detalhes. Na busca desse objetivo, os autores abordam dois modelos: a Programação Linear e a Simulação de Sistemas.
A Programação Linear tem o mérito de envolver conhecimentos matemáticos relativamente simples e de larga aplicação no campo da Administração e da Engenharia. A solução de problemas mais complexos pode ser obtida por meio da ferramenta Solver, em planilha Excel.
Já a Simulação de Sistemas é o modelo mais amplo na Pesquisa Operacional, cujo estudo estimula o conhecimento do sistema envolvido e da metodologia da Pesquisa Operacional.
Sua técnica resolutiva envolve conhecimento simples de Estatística. Nos dois modelos, a planilha Excel pode dar suporte aos cálculos. A vantagem do uso desse recurso é que nele os cálculos necessários têm de ser programados, o que leva a um conhecimento mais profundo do processo de simulação.

Livro-texto para a disciplina Pesquisa Operacional dos cursos de Administração de Empresas e Engenharia de Produção.

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12 capítulos

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1 - Apresentação da Pesquisa Operacional

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Apresentação da

Pesquisa Operacional

1

1.1 CONCEITO

Pesquisa Operacional é um método científico de tomada de decisões. Em linhas gerais, consiste na descrição de um sistema organizado com o auxílio de um modelo, e através da experimentação com o modelo, na descoberta da melhor maneira de operar o sistema.

A Pesquisa Operacional como a conhecemos surgiu durante a Segunda Guerra Mundial, resultado de estudos realizados por equipes interdisciplinares de cientistas contratados para resolver problemas militares de ordem estratégica e tática.

1.2  FASES DE UM ESTUDO EM P.O.

Um estudo em Pesquisa Operacional costuma envolver seis fases:

KK formulação do problema;

KK construção do modelo do sistema;

KK cálculo da solução através do modelo;

KK teste do modelo e da solução;

KK estabelecimento de controles da solução;

KK implantação e acompanhamento, que podem ser descritas como segue:

Formulação do Problema – Nesta fase, o administrador do sistema e o responsável pelo estudo em P.O. deverão discutir, no sentido de colocar o problema de maneira clara e coerente, definindo os objetivos a alcançar e quais os possíveis caminhos alternativos para que isso ocorra.

 

2 - Programação Linear

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Programação Linear

2

Um problema que não tem solução está resolvido sob o ponto de vista matemático.

Se o problema tem apenas uma solução, basta encontrá-la. Mas se o problema tem muitas soluções, precisamos de alguma regra que oriente a escolha de uma delas. É o caso dos problemas que envolvem modelos em programação linear.

2.1  MODELO EM PROGRAMAÇÃO LINEAR

Uma das técnicas mais utilizadas na abordagem de problemas em Pesquisa Operacional é a programação linear. A simplicidade do modelo envolvido e a disponibilidade de uma téc‑ nica de solução programável em computador facilitam sua aplicação. As aplicações mais conhecidas são feitas em sistemas estruturados, como os de produção, finanças, controles de estoques etc.

O modelo matemático de programação linear é composto de uma função objetivo li‑ near, e de restrições técnicas representadas por um grupo de inequações também lineares.

Exemplo: Função objetivo a ser maximizada: Lucro = 2x1 + 3x2

 

3 - Noções sobre Espaço Vetorial

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Noções sobre Espaço

Vetorial

3

Para trabalhar com mais de duas variáveis, precisamos extrapolar o conceito de vértice como vimos até agora. Se para duas variáveis o vértice é dado pela solução do sistema de duas equações, para 3 variáveis será a solução de um sistema de três equações. Para quatro, idem. Precisamos de um processo geral de solução chamado método SIMPLEX, que depende do conhecimento de conceitos como variáveis básicas e não básicas. Esse capítulo tem a finalidade de apresentar esses conceitos.

3.1 INTRODUÇÃO

Observe os seguintes conjuntos:

R  – conjunto dos números reais.

R2 – conjunto dos pares ordenados de números reais: (3,5), (6,– 2), (1,0) etc.

R3 – conjunto das ternas ordenadas de números reais: (1,3,8), (2,4,0) etc.

.

.

.

Rn – �conjunto das n-uplas (ênuplas) ordenadas de números reais (x1,x2,...,xn) onde xi é um número real qualquer.

Podemos definir nesses conjuntos duas operações:

 

4 - Método Simplex

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Método Simplex

4

Os modelos de programação linear mostraram-se ferramentas poderosas para a bus‑ ca de procedimentos que melhorassem o desempenho de um sistema. Entretanto, o encontro de soluções para sistemas de equações muito grandes é muito trabalhoso.

Surge, então, o MÉTODO SIMPLEX, que reduz os cálculos e que pode ser programado em computador.

4.1 APRESENTAÇÃO

Esse método é formado por um grupo de critérios para escolha de soluções básicas que melhorem o desempenho do modelo, e também de um teste de otimalidade. Para isso, o problema deve apresentar uma solução básica inicial. As soluções básicas subsequentes são calculadas com a troca de variáveis básicas por não básicas, gerando novas soluções.

Os critérios para escolha de vetores e consequentemente das variáveis que entram e saem para a formação da nova base constituem o centro do simplex.

Suponhamos inicialmente que o modelo apresente uma solução básica inicial. Os mode‑ los com restrições do tipo £ e com termos da direita não negativos têm uma solução básica formada pelas variáveis de folga.

 

5 - Dualidade

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Dualidade

5

O modelo dual está aqui colocado com o objetivo de simplificar os cálculos. Para quem tem acesso a softwares de solução em Programação Linear, esse objetivo já não se justifica. Entretanto, a análise econômica da solução dual (que pode ser construída a partir da solução primal), pode ser bastante interessante e é um ótimo exercício de entendimento do sistema gerenciado.

5.1 INTRODUÇÃO

Em determinadas situações, a quantidade de cálculos necessária para resolver um modelo linear pelo método Simplex pode ser reduzida. O modelo inicial, chamado primal, pode ser substituído por outro modelo chamado dual, cuja solução é mais rápida. Vamos mostrar que conhecida a solução do dual, conheceremos em consequência a solução do primal, o que resolve nosso problema.

Considere o modelo de programação linear em que: a) a função objetivo é de maximização; b) as restrições são todas do tipo £; c) as variáveis são não negativas.

A este modelo chamado primal podemos associar um outro modelo que chamaremos dual, construído da seguinte maneira:

 

6 - Problema do Transporte

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Problema do

Transporte

6

O Problema do Transporte é comum em Programação Linear. Ele está aqui tratado sepa‑ radamente por apresentar um método de solução menos trabalhoso que o SIMPLEX. Sob o ponto de vista computacional isso não importa. A solução é pelo SIMPLEX. Mas a cons‑ trução deste modelo e seu equilíbrio merecem tratamento diferenciado. Alguns aspectos são importantes: tratamento de sistemas não equilibrados e as soluções degeneradas.

6.1 INTRODUÇÃO

Vamos considerar a situação descrita a seguir: temos que transportar produtos das várias ori‑ gens onde estão estocados para vários destinos onde são necessários. Conhecemos os custos unitários de transporte de cada origem para cada destino (Cij – custo unitário de transporte da origem i para o destino j). Devemos decidir quanto transportar de cada origem para cada destino (Xij – quantidade a ser transportada da origem i para o destino j).

O objetivo é completar a transferência dos produtos com o menor custo possível. Em princípio, vamos supor que a quantidade disponível nas origens seja exatamente igual ao total das necessidades nos destinos.

 

7 - O Problema da Designação

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O Problema da

Designação

7

O problema da designação como um particular problema de transporte também está aqui destacado para valorizar o seu modelo. Além disso, apresenta um método de so‑ lução bastante simples e rápido. Sob o ponto de vista computacional, é pelo SIMPLEX.

No anexo sobre a ferramenta Solver, você pode resolver alguns dos exercícios usando o SIMPLEX.

7.1 INTRODUÇÃO

Um caso especial do modelo de transportes é aquele em que cada origem tem uma unidade disponível e cada destino necessita também de uma unidade. É o caso de escalar vendedo‑ res para regiões de vendas, máquinas para diversos locais etc.

Essa característica torna o algoritmo de soluções bastante simples. Antes de aplicá-lo, devemos verificar se o modelo está equilibrado. No modelo de designação, o número de origens deve ser igual ao número de destinos devido a sua característica. Caso isso não ocorra, devemos construir origens ou destinos auxiliares, com custo de transferência zero.

 

8 - Análise de Sensibilidade

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Análise de

Sensibilidade

8

Este tópico que encerra nosso estudo de Programação Linear explora o conhecimento do SIMPLEX adquirido até aqui. Como os valores externos de um modelo são normal‑ mente dinâmicos, é muito útil saber em que intervalos eles podem variar sem que seja necessária a procura de nova solução. Essas informações estão apresentadas na Aná‑ lise de Sensibilidade do SOLVER. Entretanto, desenvolveremos esses resultados para facilitar o entendimento do significado desses valores na planilha.

Na construção do modelo de programação linear são incluídos dados cujos valores depen‑ dem do mercado e do processo usado na elaboração dos produtos. Estes dados podem sofrer variações com o tempo ou com a inclusão de novas informações. É importante pesquisar a estabilidade da solução adotada, em face dessas variações.

Vamos considerar, para isso, o modelo de programação linear:

Max. Z = x1 + 2x2 + 3x3

ì x1 + x 2 + x 3 £ 10

ï

 

9 - Simulação

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Simulação

9

A adoção do caráter aleatório de variáveis na construção de modelos de sistemas substitui o conceito de acerto ou erro pelo risco. Tem pouco sentido aqui procurar uma solução

ótima para um problema. Faz sentido entender que tipo de variação pode ser feito para melhorar o desempenho do sistema, ou seja, objetivo mais adequado e menor risco.

9.1 INTRODUÇÃO

A simulação é uma das técnicas mais gerais usadas em Pesquisa Operacional. Simular sig‑ nifica reproduzir o funcionamento de um sistema, com o auxílio de um modelo, o que nos permite testar algumas hipóteses sobre o valor de variáveis controladas. As conclusões são usadas então para melhorar o desempenho do sistema em estudo.

Modelos de simulação aparecem sob a forma de jogos de empresa, simuladores de voos, modelos físicos de aeronaves para testes em túnel de vento etc.

Neste trabalho, estaremos interessados em modelos matemáticos cuja complexidade descarta a abordagem por outras técnicas, como o cálculo infinitesimal, programação linear e não linear. Esta complexidade a que nos referimos é introduzida no modelo pela incor‑ poração de situações que envolvem a incerteza. Além disso, a simulação é especialmente indicada para modelos dinâmicos que envolvem múltiplos períodos de tempo.

 

10 - Modelos Teóricos de Probabilidade

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Modelos Teóricos de Probabilidade

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Algumas distribuições teóricas de probabilidade apresentam certas características que per‑ mitem uma descrição correta de variáveis muito comuns em processos de simulação.

Se uma variável aleatória tem teoricamente o comportamento de uma variável com dis‑ tribuição conhecida, e se é possível um bom ajustamento de sua curva empírica pela curva desse modelo teórico, devemos considerar os seguintes fatos:

Usando a distribuição empírica no processo de simulação, estaremos limitando as pos‑ síveis ocorrências futuras às condições válidas no passado. Alguns acontecimentos podem não ter tido oportunidade de ocorrência, o que impede sua reprodução no futuro.

Usando uma distribuição teórica de probabilidades nas condições descritas, estaremos adicionando informações ao comportamento da variável, o que torna o modelo mais apto a prever o futuro.

Desta forma, sempre que haja aquelas condições favoráveis, devemos optar pelo uso do modelo teórico ajustado, ao invés do modelo empírico.

 

11 - Controle de Parâmetros de Simulação

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Controle de

Parâmetros de

Simulação

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11.1  CÁLCULO DO NÚMERO DE SIMULAÇÕES

O problema que se apresenta agora é saber qual o tamanho da amostra e, portanto, qual o número de simulações que devemos efetuar para garantir o erro dentro de limites aceitá‑ veis, com um nível de confiança desejável.

Os parâmetros que geralmente queremos controlar em processos de amostragem são a média e o desvio-padrão.

Controle da média

Supondo que estejam satisfeitas as condições:

KK A média amostral é normalmente distribuída.

KK O tamanho da amostra é suficientemente grande, o que é usual em processos de simulação.

Neste caso, se:

Z a é o desvio normal entre a média amostral e a verdadeira média em um nível de con‑

2

fiança 1 – a.

1 – a é o nível de confiança desejado. e – é a diferença tolerável entre a média amostral e a verdadeira média (erro padrão de estimativa), então o mínimo de elementos da amostra (número de simulações) é dado por:

 

Anexo: A Ferramenta Solver da Planilha Excel na Solução de Problemas de Programação Linear

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ANEXO

A Ferramenta Solver da Planilha Excel na

Solução de Problemas de

Programação Linear

A sequência de procedimentos deste roteiro apresenta passos indispensáveis para carregar as informações necessárias na ferramenta Solver da Planilha Excel. A descrição dos procedi‑ mentos considera que o leitor não esteja habituado com os recursos da Planilha e seu for‑ mato. Caso o leitor já seja usuário da Planilha, pode dispensar parte das explicações e usar recursos que agilizam o carregamento de dados e equações.

Caso você considere necessário, identifique o problema de Programação Linear a ser resolvido e escreva o modelo matemático na Planilha. Assim, poderá salvá-lo para consulta posterior e dispor dele para trabalhos e apresentação.

O modelo de Programação Linear é construído com variáveis (variáveis de decisão e do objetivo) e constantes, com as quais são montadas as restrições e a equação do objetivo.

Essas variáveis e constantes, além das equações correspondentes, devem estar disponíveis em células da Planilha visando a transferência para a caixa do Solver.

 

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