Matemática financeira: objetiva e aplicada, 10ªedição

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Nas palavras do autor: 'A maioria dos livros de Matemática Financeira costuma apresentar a matéria com uma simbologia complexa, e com o desenvolvimento de fórmulas para cada situação específica, criando, assim, um mito de dificuldade para o seu aprendizado. Privilegiamos desde a 1a Edição, em 1977, o aspecto prático da matemática financeira, apresentando os conceitos por meio de exemplos resolvidos pela calculadora HP-12C e pela planilha eletrônica Excel. Entendemos que a grande aceitação dessas duas ferramentas de trabalho pelos profissionais do mercado, justifique plenamente a permanência de ambas nesta 10a edição. Apesar desse enfoque simples e prático, os conhecimentos adquiridos neste livro permitem a solução de problemas que envolvam o manuseio de qualquer fluxo de caixa, independente do grau de sua complexidade. Essa especificidade faz deste livro referência no meio acadêmico e em concursos públicos de relevantes instituições do Governo. Em todas as suas edições a simbologia adotada ao longo do livro na apresentação dos fluxos de caixa, utiliza a nomenclatura da calculadora HP 12C (n, i, PV, FV e PMT), o que já se tornou uma marca registrada desta obra. Em relação à estrutura do livro, houve um reagrupamento dos assuntos para que os conceitos básicos da matéria ficassem distribuídos nos primeiros sete capítulos do livro, que estão desenvolvidos na hipótese de moeda estável, sem inflação, de acordo com o tratamento convencional da matéria. Essa moeda é representada genericamente pelo símbolo $, que pode corresponder à moeda corrente de qualquer país com economia estável, sem inflação.'

 

30 capítulos

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1. Conceitos Básicos, Nomenclaturas e Convenções

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1.

1.1

C on ce i tos B ás i c o s , N o m e n c l a t u r a s e C on v e nçõe s

Introdução

Neste capítulo vamos apresentar os conceitos básicos que norteiam o estudo da

Matemática Financeira e as nomenclaturas e convenções adotadas no livro para a representação dos valores envolvidos no desenvolvimento das fórmulas e na resolução dos problemas.

1.2

Conceitos Básicos

O valor do dinheiro no tempo e a existência de juros são elementos interligados e indispensáveis no estudo da Matemática Financeira.

Os juros remuneratórios ou compensatórios, expressos em porcentagem por período, representam: a) a remuneração do capital do credor por ficar privado do seu uso e não poder usar o capital financiado até o dia do recebimento, com o risco de não receber o capital de volta (inadimplência); b) o custo do capital financiado para o tomador do financiamento, para que tenha o direito de usar o capital emprestado até o dia do pagamento; c) a remuneração paga pelas instituições financeiras sobre o capital nelas aplicado.

 

2. Juros Simples – Capitalização e Desconto

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2.

2.1

Jur os Si m p l e s – C a pi t a l i z a ç ã o e D e s con to

Introdução

A capitalização e o desconto envolvem as relações entre um valor presente PV e um valor futuro FV.

No processo de capitalização, o capital inicial PV, também denominado principal, aumenta de valor pela aplicação dos juros e gera um montante no futuro FV, igual ao capital inicial PV mais os juros acumulados. O valor do desconto, em $, é sempre igual à diferença entre FV e PV, tanto a juros simples como a juros compostos.

A capitalização ocorre quando os juros não pagos no final do período são agregados ao capital e, portanto, incluídos na base de cálculo dos períodos subsequentes, passando a render juros.

A expressão capitalização simples se refere ao crescimento do dinheiro no regime de juros simples, que não adota o princípio da capitalização de juros. Nesse regime de cálculo de juros, apenas o capital oriundo do principal (capital inicial) é elegível para receber a remuneração de juros, não havendo a incidência de juros sobre juros. No Brasil, a capitalização de juros não é permitida em períodos inferiores a um ano, exceto em casos pontuais e específicos permitidos pela legislação.

 

3. Juros compostos – Capitalização e Desconto

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3.

3.1

Jur os com p os t o s – C a pi t a l i z a ç ã o e D e s con to

Introdução

A capitalização e o desconto envolvem as relações entre um valor presente (PV ) e um valor futuro (FV ).

No processo de capitalização, o capital inicial PV, ou principal, aumenta de valor pela aplicação dos juros e gera um montante no futuro FV, igual ao capital inicial PV mais os juros acumulados. O valor do desconto, em $, é sempre igual à diferença entre FV e PV, tanto a juros simples como a juros compostos.

As fórmulas da capitalização e descontos, no regime de juros compostos, são desenvolvidas a partir do diagrama da Figura 3.1, a seguir, que é idêntico ao da Figura 2.1 para juros simples.

Figura 3.1 Juros Compostos – Capitalização e Desconto

PV

FV i

0

d

1

2

3

...

n

O diagrama da Figura 3.1 obedece às mesmas convenções do diagrama da Figura 2.1 para juros simples, isto é: n – Número de períodos, expressos em anos, semestres, trimestres, meses ou dias, podendo tomar os valores 0, 1, 2, 3…;

 

4. Taxas de Juros

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4.

4.1

T a xa s de Juro s

Introdução

Neste capítulo, apresentamos as diferentes denominações das taxas de juros utilizadas pelo mercado financeiro e os seus conceitos.

Vamos mostrar também como adequá-las às condições padronizadas pelas expressões básicas da Matemática Financeira, já que, nos problemas práticos de situações cotidianas, as unidades de tempo das taxas de juros nem sempre são apresentadas nas mesmas unidades dos períodos de capitalização.

Nas expressões que serão desenvolvidas neste item, adotaremos a simbologia indicada no quadro a seguir, para representar as taxa de juros anual, semestral, trimestral, mensal e diária.

Taxas de Juros

4.2

Anual

Semestral

Trimestral

Mensal

Diária

ia

is

it

im

id

Taxa Efetiva – Juros Compostos

A expressão taxa efetiva sempre se refere a uma taxa de juros no regime de juros compostos, em que a unidade referencial de seu tempo coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização.

 

5. Prestações Iguais – Tabela Price

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5.

5.1

Pre s ta çõe s I g u a i s – T a b e l a P r i c e

Introdução

Neste capítulo, vamos desenvolver a fórmula que permite relacionar uma série de prestações iguais (PMT) nos seus valores equivalentes (PV ) e (FV), no regime de juros compostos. O nome anuidades também é utilizado por certos autores, mesmo quando as prestações são mensais.

O cálculo da prestação constante é feito pela fórmula desenvolvida em 1771 por

Richard Price, para servir de base de cálculo para serviços como seguros e aposentadorias.

Dessa forma, essa modalidade de pagamentos é conhecida no Brasil como Tabela Price ou como Sistema Francês, pois foi muito utilizada na França a partir de 1850.

5.2

Fórmulas Relacionando PMT e FV

O problema consiste em determinar o valor futuro FV, a partir da capitalização das n prestações iguais, todas com o mesmo valor e igual a PMT, com uma taxa de juros i por período, no regime de juros compostos. O desenvolvimento dessa fórmula, relacionando

 

5.1 Introdução

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5.

5.1

Pre s ta çõe s I g u a i s – T a b e l a P r i c e

Introdução

Neste capítulo, vamos desenvolver a fórmula que permite relacionar uma série de prestações iguais (PMT) nos seus valores equivalentes (PV ) e (FV), no regime de juros compostos. O nome anuidades também é utilizado por certos autores, mesmo quando as prestações são mensais.

O cálculo da prestação constante é feito pela fórmula desenvolvida em 1771 por

Richard Price, para servir de base de cálculo para serviços como seguros e aposentadorias.

Dessa forma, essa modalidade de pagamentos é conhecida no Brasil como Tabela Price ou como Sistema Francês, pois foi muito utilizada na França a partir de 1850.

5.2

Fórmulas Relacionando PMT e FV

O problema consiste em determinar o valor futuro FV, a partir da capitalização das n prestações iguais, todas com o mesmo valor e igual a PMT, com uma taxa de juros i por período, no regime de juros compostos. O desenvolvimento dessa fórmula, relacionando

 

5.2 Fórmulas Relacionando PMT e FV

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5.

5.1

Pre s ta çõe s I g u a i s – T a b e l a P r i c e

Introdução

Neste capítulo, vamos desenvolver a fórmula que permite relacionar uma série de prestações iguais (PMT) nos seus valores equivalentes (PV ) e (FV), no regime de juros compostos. O nome anuidades também é utilizado por certos autores, mesmo quando as prestações são mensais.

O cálculo da prestação constante é feito pela fórmula desenvolvida em 1771 por

Richard Price, para servir de base de cálculo para serviços como seguros e aposentadorias.

Dessa forma, essa modalidade de pagamentos é conhecida no Brasil como Tabela Price ou como Sistema Francês, pois foi muito utilizada na França a partir de 1850.

5.2

Fórmulas Relacionando PMT e FV

O problema consiste em determinar o valor futuro FV, a partir da capitalização das n prestações iguais, todas com o mesmo valor e igual a PMT, com uma taxa de juros i por período, no regime de juros compostos. O desenvolvimento dessa fórmula, relacionando

 

5.3 Fórmulas Relacionando PMT e PV

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Cap. 5 – Prestações Iguais – Tabela Price

FV = PMT [(1 + i)n – 1 + (1 + i)n – 2 + … + (1 + i)1 + 1]

(5.1)

Os termos entre colchetes correspondem à soma dos termos de uma progressão geométrica (PG), cuja fórmula pode ser alcançada multiplicando-se ambos os lados da

Expressão (5.1) por (1 + i), para obter a Expressão (5.2) a seguir.

FV (1 + i) = PMT [(1 + i)n + (1 + i)n – 1 + … + (1 + i)2 + (1+ i)1]

(5.2)

Subtraindo-se da Expressão (5.2) a Expressão (5.1), obtém-se: n

FV × i = PMT [(1 + i) – 1] e, portanto:

(1 + i)n – 1 i

FV = PMT

(5.3)

Consequentemente, o valor de PMT a partir de FV é obtido pela Expressão (5.4) a seguir. i

PMT = FV

(1 + i)n – 1

(5.4)

Não há necessidade de memorizar as Expressões (5.3) e (5.4). É importante entender e lembrar a forma da dedução das Expressões (5.1) e (5.2), pois a partir desse conhecimento é fácil inferir essas expressões, que precisarão ser utilizadas em determinadas questões de concursos.

 

5.4 Comentários sobre as Fórmulas Relacionando PV, PMT e FV

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Matemática Financeira para concursos

Inicialmente, vamos calcular o montante acumulado FV por essas n prestações PMT, no final de n períodos de capitalização da taxa de juros i, com o auxílio da Expressão (5.4), isto é: n

FV × i = PMT [(1 + i ) – 1]

Devemos, agora, substituir esse valor futuro FV pelo seu valor presente PV, usando a

Expressão (3.1), conforme indicado a seguir: n

[ PV (1 + i)n ] × i = PMT [(1 + i ) – 1] que fornece a Expressão (5.5) desejada.

PV = PMT

(1 + i )n – 1 i(1 + i )n

(5.5)

A obtenção do valor da prestação PMT a partir do valor presente PV é alcançada pela

Expressão (5.6) a seguir. i(1 + i )n

PMT = PV

(1 + i )n – 1

(5.6)

A Expressão (5.6) é a fórmula da Tabela Price para o cálculo da prestação constante igual a PMT (postecipada) de um financiamento com valor de principal igual a PV.

5.4

Comentários sobre as Fórmulas Relacionando PV, PMT e FV

A Expressão (3.1) é muito fácil de ser lembrada e deve ser memorizada, pois

 

5.5 Prestações Postecipadas – Exemplos Numéricos

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Cap. 5 – Prestações Iguais – Tabela Price

5.5

Prestações Postecipadas – Exemplos Numéricos

Nos exemplos numéricos deste item, vamos adotar a taxa de juros compostos de 5% ao mês e, assim, necessitaremos dos fatores abaixo indicados:

1,0500 × 1,0500 = 1,1025 (n = 2)

1,0500 × 1,0500 = 1,1576 (n = 3)

1. Calcule o valor do principal de um financiamento que foi contratado com uma taxa de 5% ao mês, a juros compostos, sabendo que o financiamento deve ser liquidado com três prestações mensais, iguais e consecutivas, de valor igual a $3.000,00, com a primeira prestação ocorrendo 30 dias após a liberação dos recursos.

Solução:

O fluxo de caixa dessa questão está representado na figura a seguir:

Figura 5.3 Prestações Postecipadas

PV = ?

PMT = $3.000,00 i = 5%

0

i = 5%

1

i = 5%

2

3

O valor do principal do financiamento pode ser obtido por meio da Expressão (5.5), como segue:

PV = PMT[ (1 + i)n – 1] / [i × (1 + i)n ] = 3.000,00 [(1,05)3 – 1] / [0,05 × (1,05)3] =

 

5.6 Prestações Antecipadas – Exemplos Numéricos

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Cap. 5 – Prestações Iguais – Tabela Price

5.6

Prestações Antecipadas – Exemplos Numéricos

1. Calcule o valor do principal de um financiamento que foi contratado com uma taxa de 5% ao mês, a juros compostos, sabendo que o financiamento deve ser liquidado com três prestações mensais, consecutivas e iguais a $3.000,00, com o vencimento da primeira prestação ocorrendo no ato da liberação dos recursos, a título de entrada.

Solução:

O fluxo de caixa dessa questão está representado na figura a seguir:

Figura 5.9 Prestações Antecipadas

PV = ?

PMT = $3.000,00 i = 5%

0

i = 5%

1

i = 5%

2

3

As prestações desse fluxo de caixa são antecipadas e, assim, a Expressão (5.5) não pode ser utilizada, pois foi desenvolvida na convenção de final de período.

Entretanto, podemos inicialmente achar o valor presente PV1 do fluxo de caixa representado na figura a seguir, que obedece à convenção de final de período, adotada na

 

5.7 Prestações com Carência – Exemplos Numéricos

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Cap. 5 – Prestações Iguais – Tabela Price

O valor da prestação antecipada não pode ser obtido por meio da Expressão (5.6), pois ela foi desenvolvida para a prestação postecipada, que obedece à convenção de final de período.

Entretanto, podemos inicialmente deslocar o valor de $10.000,00 um mês para trás, dividindo esse valor por (1 + 5%), obtendo FV1 = 10.000,00 / 1,05 = $9.523,81. Agora, as prestações PMT passam a ser postecipadas em relação a esse novo valor de FV1 =

$9.523,81, conforme mostrado no fluxo de caixa a seguir:

Figura 5.16 Prestações Antecipadas – Enquadramento

FV = $10.000,00

FV1 = $9.523,81

PMT = ? i = 5%

0

i = 5%

1

i = 5%

2

i = 5%

3

4

Assim, o valor da prestação PMT pode ser obtido por meio da Expressão (5.4), como segue:

PMT = FV [i ] / [(1 + i)n – 1] = 9.523,81 × [0,05] / [(1,05)3 – 1] =

= 9.523,81 × [0,05] / [0,1576] = $3.021,51

5.7

Prestações com Carência – Exemplos Numéricos

 

5.8 Uso de Tabelas Financeiras

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Cap. 5 – Prestações Iguais – Tabela Price

Dessa forma, o valor da prestação mensal é calculado por meio da Expressão (5.6), como indicado a seguir:

PMT = PV [i × (1 + i )n ] / [(1 + i)n – 1] = 10.000,00 × [0,05 × (1,05)3] / [(1,05)3 – 1] =

= 10.000,00 × [0,0579] / [0,1576] = $3.673,86

5.8

Uso de Tabelas Financeiras

Nos concursos públicos não é permitida a utilização de calculadoras eletrônicas e os cálculos das expressões relacionando PV, FV e PMT costumam, eventualmente, ser efetuados com o uso de tabelas financeiras, como eram desenvolvidos os livros de Matemática

Financeira antes da chegada das calculadoras financeiras e planilhas eletrônicas.

Observe que, nas Expressões (3.1), (3.2), (5.3), (5.4), (5.5) e (5.6), as parcelas compreendidas entre os colchetes envolvem fórmulas exponenciais apenas com a taxa de juros (i ) e com o número de períodos (n).

Essas fórmulas exponenciais eram calculadas pelos autores de livros de Matemática

 

6. Valor Presente, Taxa Internae Equivalência

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6.

6.1

V a l or Pr e s e nt e , T a x a In t e r n a e E qu i v a l ê ncia

Introdução

Valor Presente (PV), Taxa de desconto (i) e Equivalência de Fluxos de Caixa são conceitos absolutamente interligados, e estão apresentados ao longo deste capítulo, que também mostra a diferença entre o Valor Presente (PV) e o Valor Presente Líquido (VPL).

Todos os conceitos serão desenvolvidos no regime de juros compostos, a partir do diagrama da Figura 6.1, a seguir, que representa genericamente um fluxo de caixa heterogêneo, isto é, com parcelas variáveis que não apresentam nenhuma lei de formação.

Foram adotadas a simbologia e a nomenclatura da calculadora HP 12C.

Figura 6.1 Fluxo de Caixa Heterogêneo

CF0

CF1

i

0

CF2

i

1

CFn i

2

i

3

i

...

períodos n

em que:

CF0 – parcela do fluxo de caixa no ponto 0 (Cash Flow no ponto 0)

CF1 – parcela do fluxo de caixa no ponto 1 (Cash Flow no ponto 1)

 

7. Sistemas de Amortizaçãode Financiamentos

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7.

7.1

Si ste m a s de A m o r t i z a ç ã o de Fi na n ci a m e n t o s

Introdução

Neste capítulo, apresentaremos diversos sistemas de amortização de financiamentos, entre eles o Sistema de Amortização Constante (SAC) e o Sistema Francês (Tabela Price) de Prestações Iguais. Esses sistemas são muito utilizados nas operações de financiamento imobiliário e de crédito ao consumidor, assim como nas operações de financiamento de longo prazo, de modo geral.

Os parâmetros utilizados nos exemplos numéricos são os seguintes:

Principal (PV) = $1.000,00

Taxa de juros (i) = 8,00% ao ano

Prazo (n) = 4 anos

Os juros de cada período serão representados por J1, J2, J3 e J4. As amortizações de principal de cada período serão representadas por A1, A2, A3 e A4.

7.2

Sistema de Pagamento Único

Nesse plano, o financiamento é liquidado mediante o pagamento de uma única parcela no fim do prazo do financiamento, havendo capitalização de juros ao término de cada ano.

 

8. Payback Simples e Descontado

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8.

8.1

Payback Si m p le s e D e s c o n t a d o

Introdução

Neste capítulo, vamos apresentar os conceitos de Payback Simples (PB) e Payback Descontado (PBD), que são índices utilizados para verificar o tempo de recuperação do capital investido. A diferença entre esses dois índices é que o primeiro não leva em consideração o valor do dinheiro no tempo, ao passo que o segundo utiliza o regime de juros compostos para descontar os valores futuros do fluxo de caixa em análise.

8.2

Payback Simples ou Tempo de Recuperação de Capital

O PB é o tempo necessário para a recuperação do investimento inicial, sem levar em consideração o valor do dinheiro no tempo, ou seja, é o tempo necessário para que o investimento inicial seja superado pelos retornos do projeto, indicando, portanto, a velocidade de recuperação do capital aplicado.

A Tabela 8.1 mostra o fluxo de um investimento de quatro anos e o valor do seu PB, ou tempo de recuperação do capital investido.

 

9. Prazo médio e duration

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9.

9.1

Pra zo m é d i o e duration

Introdução

Neste capítulo, vamos apresentar os conceitos de prazo médio e de duration de fluxos de caixa. Esses dois índices são interligados, sendo que na avaliação do prazo médio não é levado em consideração o valor do dinheiro no tempo, ao passo que no cálculo do duration

é utilizado o Regime de Juros Compostos para descontar os valores futuros do fluxo de caixa em análise.

9.2

Prazo Médio

Conceitualmente, o prazo médio representa o momento em que se concentram os valores do fluxo de caixa que ocorrem em diversas datas. É calculado por uma ponderação simples, levando-se em consideração os prazos e os respectivos valores de cada parcela do fluxo de caixa.

Para exemplificar o cálculo do prazo médio, vamos considerar o fluxo de caixa de pagamentos da Tabela 7.2 do Sistema Americano de Amortização, conforme indicado na

Tabela 9.1:

Tabela 9.1 Cálculo do prazo médio

Prazo

(Anos)

 

10. Métodos de avaliação de projetos

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10.

10.1

M é todos de a v a l i a ç ã o d e p r o j e t o s

Introdução

Apresentamos, neste capítulo, o Método do Valor Presente Líquido (VPL) e o

Método da Taxa Interna de Retorno (TIR), que são os principais métodos utilizados nas comparações de fluxos de caixa de projetos de investimento.

A comparação de investimentos exige a fixação de um referencial para que possa ser realizada. Esse referencial é a taxa mínima de atratividade do investidor, que denominamos imin, cujo conceito será apresentado no próximo item.

O Payback Descontado (PBD), cujo conceito foi desenvolvido no capítulo 8, não deve ser utilizado isoladamente como um método para análise de investimentos, pois as parcelas do fluxo de caixa que ocorrem após o PBD não são consideradas. Assim, o PBD deve ser usado apenas como uma medida parcial de desempenho financeiro, pois é um indicador de liquidez, na medida em que informa o tempo em que o investimento inicial é recuperado.

10.2

 

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