Matemática Financeira - Edição Universitária

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Este livro foi elaborado para atender plenamente ao programa de ensino de cursos superiores em que a disciplina de Matemática Financeira é oferecida.

A principal contribuição do livro é oferecer conteúdo de qualidade e atualizado, que permita um estudo mais direcionado de acordo com as necessidades e objetivos definidos pelas escolas brasileiras. Por fim, o livro é rico em exercícios propostos e resolvidos.

Livro-texto para a disciplina Matemática Financeira dos cursos de Administração de Empresas, Ciências Contábeis, Economia e Engenharia de Produção. Livro complementar para as disciplinas Engenharia Econômica, Elaboração e Análise de Projetos, Administração Financeira e Mercado de Capitais dos cursos de Administração, Economia, Ciências Contábeis e Engenharia. É indicado também para cursos intensivos de treinamento e cursos de MBA.

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1 - Conceitos Gerais de Matemática Financeira

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Conceitos Gerais de

Matemática Financeira

A Matemática Financeira trata, em essência, da avaliação do valor do dinheiro no tempo através da aplicação de uma série de técnicas e conceitos de matemática. O objetivo é o de efetuar comparações e análises dos vários fluxos de entradas e saídas de dinheiro de caixa verificados em diferentes momentos.

Receber uma quantia hoje ou no futuro não são evidentemente a mesma coisa. Em princípio, uma unidade monetária hoje é preferível à mesma unidade monetária disponível amanhã. Postergar uma entrada de caixa (recebimento) por certo tempo envolve um sacrifício, o qual deve ser pago mediante uma recompensa, definida pelos juros. Dessa forma, são os juros que efetivamente induzem o adiamento do consumo, permitindo a formação de poupanças e de novos investimentos na economia.

A Matemática Financeira é extremamente útil na análise de diversas operações financeiras de investimentos e financiamentos, e em diversos outros ambientes econômicos que demandam comparações do dinheiro no tempo. As diversas situações do dia a dia também requerem o conhecimento de Matemática Financeira, exigindo uma melhor educação financeira das pessoas.

 

2 - Juros Simples

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Juros Simples

Conforme observado no capítulo anterior, no regime de juros simples a taxa de juro incide somente sobre o principal, não ocorrendo “juros sobre juros”, mesmo considerando que os juros não tenham sido pagos. A taxa é aplicada somente sobre o principal (valor inicial).

Este critério de capitalização dos juros é utilizado geralmente em operações de curto prazo.

2.1 Fórmulas de juros simples

O valor dos juros é calculado a partir da seguinte expressão:

J=C×i×n onde: J = �valor dos juros expresso em unidades monetárias;

C = �capital. É o valor (em $) representativo de determinado momento; i = �taxa de juros, expressa em sua forma unitária; n = prazo.

Esta fórmula é básica tanto para o cálculo dos juros como dos outros valores financeiros mediante simples dedução algébrica:

C =

J

J

J i= n= i × n    

C × n    

C ×i

Exemplos:

1. Um capital de $ 80.000,00 é aplicado à taxa de 2,5% ao mês durante um trimestre. Pede-se determinar o valor dos juros acumulados neste período.

 

3 - Juros Compostos

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Juros Compostos

O regime de juros compostos considera que os juros formados em cada período são acrescidos ao capital formando o montante (capital mais juros) do período. Este montante, por sua vez, passará a render juros no período seguinte, formando um novo montante (constituído do capital inicial, dos juros acumulados e dos juros sobre os juros formados em períodos anteriores), e assim por diante.

Este processo de formação dos juros é diferente daquele descrito para os juros simples, onde unicamente o capital rende juros, não ocorrendo remuneração sobre os juros formados em períodos anteriores.

Tecnicamente, o regime de juros compostos é superior ao de juros simples, principalmente pela possibilidade de fracionamento dos prazos, conforme foi introduzido no capítulo anterior. No critério composto, a equivalência entre capitais pode ser apurada em qualquer data, retratando melhor a realidade das operações que o regime linear.

3.1 Fórmulas de juros compostos

 

4 - Descontos e Operações de Curto Prazo

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Descontos e Operações de Curto Prazo

Entende-se por valor nominal o valor de resgate, ou seja, o valor definido para um título em sua data de vencimento. Representa, em outras palavras, o próprio montante da operação.

A operação de se liquidar um título antes de seu vencimento envolve geralmente uma recompensa, ou um desconto pelo pagamento antecipado. Desta maneira, desconto pode ser entendido como a diferença entre o valor nominal de um título e o seu valor atualizado apurado n períodos antes de seu vencimento.

Por outro lado, valor descontado de um título é o seu valor atual na data do desconto, sendo determinado pela diferença entre o valor nominal e o desconto, ou seja:

Valor Descontado = Valor Nominal – Desconto

As operações de desconto podem ser realizadas tanto sob o regime de juros simples como no de juros compostos. O uso do desconto simples é amplamente adotado em operações de curto prazo, restringindo-se o desconto composto para as operações de longo prazo.

 

5 - Matemática Financeira, Inflação e Taxa Over de Juros

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Matemática Financeira,

Inflação e Taxa Over de Juros

Em ambientes inflacionários é indispensável, para o correto uso das técnicas da Matemática

Financeira, ressaltar, nas várias taxas de juros nominais praticadas na economia, o componente devido à inflação e aquele declarado como real. A parte real é aquela obtida livre das influências da taxa de depreciação monetária verificada, isto é, adicionalmente à inflação.

De maneira simplista, o processo inflacionário de uma economia pode ser entendido pela elevação generalizada dos preços dos vários bens e serviços.

Em sentido contrário, diante de uma baixa predominante dos preços de mercado dos bens e serviços, tem-se o fenômeno definido por deflação.

Tradicionalmente, o desenvolvimento da economia brasileira tem-se caracterizado pela presença marcante da inflação, apresentando taxas, na maior parte do tempo, em níveis relevantes.

É importante acrescentar, ainda, que mesmo diante de cenários econômicos de reduzida taxa de inflação, o conhecimento do juro real permanece bastante importante para a Matemática Financeira. Nestas condições, mesmo pequenas oscilações nos índices de preços produzem impacto relevante sobre as taxas de juros ao longo do tempo, alterando a competitividade dos ativos negociados no mercado.

 

6 - Fluxos de Caixa

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Fluxos de Caixa

Um fluxo de caixa representa uma série de pagamentos ou de recebimentos que se estima ocorrer em determinado intervalo de tempo.

É bastante comum, na prática, defrontar-se com operações financeiras que se representam por um fluxo de caixa. Por exemplo, empréstimos e financiamentos de diferentes tipos costumam envolver uma sequência de desembolsos periódicos de caixa. De maneira idêntica, têm-se os fluxos de pagamentos/recebimentos de aluguéis, de prestações oriundas de compras a prazo, de investimentos empresariais, de dividendos etc.

Os fluxos de caixa podem ser verificados das mais variadas formas e tipos em termos de períodos de ocorrência (postecipados, antecipados ou diferidos), de periodicidade (períodos iguais entre si ou diferentes), de duração (limitados ou indeferidos) e de valores (constantes ou variáveis).

Com o intuito de melhor estudar as formulações e aplicações práticas do fluxo de caixa, como um dos mais importantes temas da Matemática Financeira, o assunto será tratado separadamente. A primeira parte do capítulo dedica-se ao estudo do fluxo de caixa uniforme, o qual apresenta uma característica de formação-padrão. É entendido como o modelo-padrão de uma sucessão de pagamentos ou de recebimentos. A sequência do capítulo dedica-se às demais classificações dos fluxos de caixa, definidas como não convencionais.

 

7 - Coeficientes de Financiamento

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Coeficientes de

Financiamento

O coeficiente de financiamento pode ser entendido como um fator financeiro constante que, ao multiplicar-se pelo valor presente de um financiamento, apura o valor das prestações.

Esses coeficientes são amplamente utilizados na prática, sendo importante o seu manuseio.

As operações de financiamento pelo Crédito Direto ao Consumidor – CDC, e as operações de arrendamento mercantil, constituem-se em aplicações práticas importantes desses fatores.

O capítulo desenvolve os coeficientes de financiamento para séries uniformes, inseridas no modelo-padrão apresentado anteriormente, para séries não periódicas, as quais apresentam intervalos de tempo entre uma e outra prestação desigual, e para fluxos de caixa com carência. A partir das formulações estudadas nessas situações, é possível desenvolver fatores para outras formas de amortização.

7.1 Coeficientes de financiamento para fluxos de caixa uniformes

Nesse caso, o coeficiente é desenvolvido a partir do modelo-padrão dos fluxos de caixa adotado pela Matemática Financeira, e estudado no capítulo anterior.

 

8 - Análise de Investimentos e Reposição de Ativos

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Análise de Investimentos e

Reposição de Ativos

Basicamente, toda operação financeira é representada em termos de fluxos de caixa, ou seja, em fluxos futuros esperados de recebimentos e pagamentos de caixa. A avaliação desses fluxos consiste, em essência, na comparação dos valores presentes, calculados segundo o regime de juros compostos a partir de uma dada taxa de juros, das saídas e entradas de caixa.

Em consideração ao conceito do valor do dinheiro no tempo, raciocínio básico da Matemática Financeira adotado neste livro, coloca-se como fundamental estudar-se somente os métodos que levem em conta o critério do fluxo de caixa descontado.

Dessa maneira, o capítulo desenvolve os métodos da taxa interna de retorno e do valor presente líquido, admitidos como os de maior utilização e rigor conceitual nas análises das operações financeiras (aplicações e captações) e de projetos de investimento.

O capítulo dedica-se, também, como uma das mais interessantes aplicações dos métodos de avaliação de caixa, às decisões básicas de reposição de ativos. O intuito principal é o de estabelecer uma linha de raciocínio financeiro nas decisões de substituição de ativos, incorporando preocupações associadas ao custo do investimento, vida econômica, valor de revenda etc.

 

9 - Sistemas de Amortização de Empréstimos e Financiamentos

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Sistemas de Amortização de Empréstimos e

Financiamentos1

Os sistemas de amortização são desenvolvidos basicamente para operações de empréstimos e financiamentos de longo prazo, envolvendo desembolsos periódicos do principal e encargos financeiros.

Existem diversas maneiras de se amortizar uma dívida, devendo as condições de cada operação estarem estabelecidas em contrato firmado entre o credor (mutuante) e o devedor

(mutuário).

Uma característica fundamental dos sistemas de amortização a serem estudados neste capítulo é a utilização exclusiva do critério de juros compostos, incidindo os juros exclusivamente sobre o saldo devedor (montante) apurado em período imediatamente anterior.

Para cada sistema de amortização é construída uma planilha financeira, a qual relaciona, dentro de certa padronização, os diversos fluxos de pagamentos e recebimentos.

São consideradas também modalidades de pagamento com e sem carência, conforme estudadas em capítulos anteriores. Na carência, não há pagamento do principal, sendo pagos somente os juros. Eventualmente, os juros podem ser capitalizados durante o prazo de carência.

 

Apêndices A, B e C

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Apêndice A

Operações Básicas de Matemática

A.1 REGRAS DE SINAIS NAS OPERAÇÕES MATEMÁTICAS a) Na soma de dois números com o mesmo sinal, efetua-se a operação e atribui-se ao resultado da soma o mesmo sinal.

Exemplos:

18 + (+35) = 18 + 35 = 53

–60 + (–30) = – 60 – 30 = –(60 + 30) = –90 b) Na soma de dois números com sinais desiguais, subtrai-se do maior o de menor valor absoluto e atribui-se à diferença encontrada o sinal presente no de maior valor absoluto.

Exemplos:

120 + (–70) = 120 – 70 = 50

40 + (–100) = 40 – 100 = –60

–80 + (+50) = –80 + 50 = –30 c) Na subtração de um número negativo, o sinal é alterado e os valores somados.

Exemplos:

120 – (–90) = 120 + 90 = 210

–150 – (–100) = –150 + 100 = –50

–200 – (–500) = –200 + 500 = 300 d) Na multiplicação ou divisão de dois números valem as seguintes regras:

• se os dois números tiverem o mesmo sinal, atribui-se ao resultado da operação sinal positivo;

 

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