Álgebra e trigonometria - volume 1

Autor(es): Cynthia Y. Young
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Durante as aulas, estudantes de Álgebra e de Trigonometria podem vivenciar muitos momentos de insights ou compreensões repentinas de assuntos anteriormente ininteligíveis. Mas esse mesmo sentimento pode se transformar em confusão quando enfrentam o desafio de sintetizar informações e aplicar conceitos sem a orientação de um docente. Foi a experiência direta desses desafios e barreiras de aprendizado que motivou a professora Cynthia Young a conceber este livro, desenvolvido especialmente para estimular a confiança dos estudantes.A obra apresenta exercícios variados e recursos visuais que instigam a curiosidade, consolidam o conhecimento e desvendam uma matemática acessível, separando, por exemplo, objetivos de habilidade dos conceituais, complementando-os com exercícios adequados a cada tipo. O processo de aprendizagem torna-se, assim, simples e fácil, oferecendo, ao mesmo tempo, os recursos para um aprofundamento dos conceitos principais.Álgebra e Trigonometria traz, ainda, como destaque, o acesso GRATUITO a videoaulas exclusivas, com tópicos essenciais de Matemática. Basta acessar www.grupogen.com.br, realizar o cadastro e inserir o código de acesso (PIN) — fornecido na orelha interna do livro — no GEN-IO, ambiente virtual de aprendizagem do GEN | Grupo Editorial Nacional.

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0 - Pré-requisitos e Revisão

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0

Pré-requisitos e

Revisão

Garry Wade/Taxi/Getty Images

Getty Images/Blend Images/Getty Images

V

ocê conseguiria caminhar como um equilibrista em cima de uma corda bamba? A maioria das pessoas provavelmente diria não, pois a base de apoio é instável. Você conseguiria caminhar como um equilibrista ao longo de uma viga (com

10 cm de largura)? A maioria das pessoas provavelmente diria sim — embora para alguns de nós isso ainda seja um desafio. Pense neste capítulo como uma base para sua caminhada. Quanto mais sólida for sua base agora, mais exitosa será sua caminhada pela Álgebra na Universidade.

A finalidade deste capítulo é rever conceitos e habilidades que você já aprendeu em um curso anterior. A matemática é um assunto cumulativo que requer uma fundação sólida para prosseguir no próximo nível. Use este capítulo para reafirmar sua base de conhecimento atual antes de mergulhar no curso.

Pré-requisitos e Revisão  3

NESTE CAPÍTULO serão discutidos números reais, expoentes inteiros e notação científica, seguidos por expoentes racionais e radicais.

 

1 - Equações e Inequações

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1

Equações e

Inequações

Radius Images/©Corbis

C

ampos de golfe costumam cobrar tanto tarifas pelo campo (custo para jogar no campo) quanto tarifas de carro de golfe (custo de aluguel do carro de golfe). Duas amigas que gostam de jogar golfe decidem estudar a possibilidade de se tornarem sócias de um clube de golfe.

O campo em que elas mais gostam de jogar cobra US$ 40 pelo uso do campo e US$ 15 pelo aluguel do carro (por pessoa); portanto, atualmente cada uma delas tem que pagar US$ 55 cada vez que joga. Para sócios, o clube cobra US$ 160 por mês isentando de tarifas pelo uso do campo, mas ainda cobrando a taxa de aluguel do carro por pessoa.

Quantas vezes por mês elas teriam que jogar golfe a fim de que a mensalidade de sócio fosse um bom negócio?* Esse é apenas um exemplo de como o mundo real pode ser modelado com equações e inequações.

*Ver Seção 1.5, Exercícios 109 e 110.

Equações e Inequações  91

NESTE CAPÍTULO você vai resolver equações lineares e quadráticas. Depois vai resolver equações mais complicadas (polinomiais, racionais, radicais e envolvendo valor absoluto) primeiro transformando-as em equações lineares ou quadráticas. Depois, vai resolver inequações lineares, quadráticas, polinomiais, racionais e envolvendo valor absoluto. Ao longo de todo este capítulo, você vai resolver aplicações de equações e inequações.

 

2 - Gráficos

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2

Gráficos

Prevalência clínica pré-natal (%)

COCA-COLA 5 minutos

4:53 PM

25

55,25

55,00

20

África do Sul

54,75

15

10

10

11

12

1

2

3

54,50

Preços das ações flutuando ao longo do dia

5

Tailândia

ºF

1992 1994 1996 1998 2000

Ano

200

Taxas de infecção por HIV

100

Vetta/Getty Images

ºC

50

100

A conversão entre graus Fahrenheit e graus Celsius é uma relação linear.

Observe que 0 °C corresponde a 32 °F.

Pinguins imperadores caminhando em fila indiana, Mar de Weddell, Antártica

G

ráficos são empregados de várias maneiras. Existe apenas uma temperatura que produz o mesmo valor numérico em graus Celsius e graus Fahrenheit. Você sabe qual é essa temperatura? Os pinguins são uma pista.*

*Ver a Seção 2.3, Exercício 107.

Gráficos  181

NESTE CAPÍTULO você vai rever o conceito de plano cartesiano. Vai calcular a distância entre dois pontos e determinar o ponto médio de um segmento de reta que une dois pontos. Depois, vai aplicar técnicas de plotagem de pontos para traçar gráficos de equações. É dada atenção especial a dois tipos de equações: linhas retas e círculos.

 

3 - Funções e Seus Gráficos

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3

Funções e Seus

Gráficos

John Giustina/Superstock

E

m uma arara de roupas de uma loja de departamentos, você vê uma camisa que lhe agrada. O preço original da camisa era de US$ 100, mas ela estava com um desconto de 30%. Como um cliente preferencial, você obtém um desconto adicional de 20% sobre o preço de venda no ato da compra. Quanto você vai pagar pela camisa?

Compradores ingênuos poderiam se iludir ao pensar que essa camisa vai custar US$ 50, pois eles somam 20% e 30% para obter um desconto de 50%, mas acabarão pagando mais do que isso. Compradores experientes sabem que primeiro precisam calcular o desconto de 30% de US$ 100, que resulta em um preço de US$ 70, e depois aplicar um desconto adicional de 20% sobre o preço de venda de US$ 70, resultando em um preço final (com desconto) de US$ 56. Compradores experientes já aprenderam a composição de funções.

Uma composição de funções pode ser pensada como uma função de uma função. Uma função recebe uma entrada (preço original, US$ 100) e a mapeia em uma saída (preço de venda, US$ 70), e depois outra função pega essa saída como sua entrada (preço de venda, US$ 70) e a mapeia em uma saída (preço de caixa, US$ 56).

 

4 - Funções Polinomiais e Funções Racionais

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4

Funções Polinomiais e Funções Racionais

Focus on Sport/Getty Images

E

stádios cobertos de futebol americano são projetados de modo que os chutadores não consigam atingir o teto com a bola. Um dos maiores chutadores da NFL1 de todos os tempos foi Ray

Guy, que jogou 14 temporadas, de 1973

Ray Guy a 1986. “Na partida Pro Bowl de 1976, um de seus chutes atingiu a tela de TV gigante suspensa na estrutura de sustentação do Superdome de Louisiana. Guy não só chutou alto e longe — o termo ‘hang time’2 entrou para o jargão da NFL durante a sua época de jogador — como um jogador do time adversário uma vez pegou uma bola que ele chutou e fez um teste para verificar se ela continha gás hélio!”

(www.prokicker.com; Ficha Informativa sobre Ray Guy).

Tipicamente a trajetória seguida pela bola após os chutes3 é chamada de parábola e ela é classificada como uma função quadrática.

A distância alcançada por um chute (ou alcance) é medida na direção horizontal. A linha de jarda de onde é dado o chute e a linha de jarda onde esse chute atinge o campo ou é agarrado são os zeros da função quadrática. Os zeros são os pontos nos quais o valor da função

 

5 - Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas

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5

Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas

Richard T. Nowitz/Photo Researchers, Inc.

C

omo os arqueólogos e antropólogos datam os fósseis? Um método é o teste do carbono. A proporção de carbono 12 (o tipo de carbono mais estável) para o carbono 14 no momento da morte é a mesma em todos os seres vivos enquanto ainda estão vivos, mas o carbono 14 decai com o tempo e não é substituído. Examinando a proporção do carbono 12 para o carbono 14 na amostra e comparando-a com a proporção em um organismo vivo, é possível determinar com razoável precisão a idade de um organismo outrora vivo.

A quantidade de carbono em um fóssil é função de há quantos anos o organismo está morto. A quantidade é modelada por uma função exponencial e a inversa da função exponencial, uma função logarítmica, é utilizada para determinar a idade do fóssil.

Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas  479

NESTE CAPÍTULO discutiremos as funções exponenciais e suas funções inversas, as funções logarítmicas. Vamos representar graficamente essas funções e usar suas propriedades para resolver equações exponenciais e logarítmicas. Por fim, discutiremos certos modelos exponenciais e logarítmicos que representam fenômenos como juros compostos, populações mundiais, modelos de biologia conservacionista, datação por carbono, valores do pH em química e a curva em forma de sino que é fundamental em estatística para descrever como muitas grandezas variam no mundo real.

 

6 - Funções Trigonométricas

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6

Funções

Trigonométricas

© Kathy Yturralde/Alamy

y

1

(cos , sen )

1 x

–1

1

–1

P

18:00

21:00

15:00

9:00

12:00

6:00

3:00

21:00

24:00

18:00

15:00

9:00

12:00

3:00

6:00

Pés acima do MLLW

Metros acima da Média dos Menores

Níveis de Maré Baixa (MLLW)

ara os gregos antigos, a trigonometria era o estudo dos triângulos retângulos. As funções trigonométricas (seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante) podem ser definidas como quocientes no triângulo retângulo (quocientes entre os comprimentos dos lados de um triângulo retângulo). Hoje, milhares de anos mais tarde, ainda encontramos aplicações da trigonometria do triângulo retângulo em esportes,

25/9/2007

24/9/2007

Dia levantamentos topográficos, navegação e engenharia.

2,0

No século XVIII foi formulado o enfoque do círculo

 

Respostas dos Exercícios com Numeração Ímpar

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57. 6y3

5y2

2

3

61. ab

63. 2x2

65. P

3

2b

9a

3y2

xy

11x

69. V

59. x4

4y

2

3xz

5z2

8yz

5)(x - 5x + 25)

93. 2(3x

2

67. P

2x) (8

2

89. x(x

18a b

100

(15

85. (x2 + 2)(x2 + 3)

1

3

2x)x

4x

200x

x

2

46x

7500

97.

1)(t

10) pés

101. falsa

b. A

(px2

4x2

10x) (pés)2

105. (a n - b n)(a n + b n)

3k

100

107. 8x3

75. O negativo não foi distribuído no segundo e terceiro termos do segundo polinômio.

83. 2401x4

87. (2x

1568x2y4

3)(x

256y8

4) e 2x2

5x

n

85. x3

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12

5. 2x(x

5)(x

9. x(x

13. (x

3. 2(2t2 - 1)

5)

8)(x

3)(x

17. 2(x

7)(x

7. 3x(x2 - 3x + 4)

5)

11. 2xy(2xy2 + 3)

 

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