Estatística Geral e Aplicada, 6ª edição

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Este livro é o resultado de longa experiência profissional dos autores no campo da Estatística Básica, Geral e Aplicada, do Cálculo de Probabilidades e da Metodologia Científica, disciplinas lecionadas nos cursos de graduação e pós-graduação, nas áreas de Humanas e Exatas. O objetivo básico desta publicação é orientar alunos e profissionais na compreensão e aplicação, com segurança, dos conhecimentos técnicos da Estatística para a tomada de decisões e suporte às análises de resultados quantitativos e qualitativos de pesquisas empírico-analíticas de forma manual ou com a utilização do software SPSS® e da planilha Excel®. APLICAÇÃO: Livro-texto para as disciplinas Estatística Geral e Aplicada, Introdução à Probabilidade e à Estatística, Estatística Básica, Estatística Aplicada dos cursos de graduação e pós-graduação em Administração, Ciências Econômicas, Ciências Contábeis, Comércio Exterior, Ciência da Computação, Sistemas de Informação e Engenharias.

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16 capítulos

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1 - Que é Estatística?

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1

Que é Estatística?

 1.1  Introdução

Considere as seguintes notícias de jornais e revistas:

“Estrangeiros representam 18,4%:

A participação dos investidores estrangeiros via anexo 4 foi uma das razões para os fortes ganhos registrados pela

Bolsa de Valores de São Paulo em novembro.

Segundo dados da Bolsa paulista, os estrangeiros representaram 18,4% dos US$ 8 bilhões que foram movimentados pelo mercado acionário em novembro.

Somente no mês passado, o IBOVESPA, o principal índice da Bolsa paulista, teve uma valorização de 17,76%, saltando de 11.762 pontos para 13.778 pontos. Em dezembro, a

Bovespa já registrou uma alta acumulada de 6,3%” (Folha de S. Paulo, 15 dez. 1999).

“A Segunda Onda:

O Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais fez um levantamento com 429.775 jovens que terminaram o 2o Grau no ano passado e descobriu que apenas 31,5% deles pretendiam fazer curso superior. Hoje somente 11% dos brasileiros entre 18 e 24 anos fazem faculdade. Esse índice é de 35% na Argentina, 40% na França e 60% nos

 

2 - Séries Estatísticas

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2

Séries Estatísticas

 2.1  Introdução

Como explicado no Capítulo 1, os objetivos da estatística descritiva envolvem organização, sumarização e descrição de dados quantitativos ou qualitativos.

Neste capítulo, mostraremos como se podem construir tabelas e gráficos, particularmente, tabelas de distribuições de frequências e seus gráficos – histogramas de frequências para populações e amostras – provenientes de variáveis em que há interesse de estudar.

Séries estatísticas são tabelas construídas segundo determinados critérios que as diferenciam e as classificam, para sintetizar um conjunto de dados ou informações.

Além das tabelas, como será visto, também podem ser utilizados gráficos.

 2.2  Obtenção de dados

Existem várias fontes para obter dados e informações: jj

jj jj jj

Dados publicados pelo governo, indústria ou indivíduos.

Dados oriundos de experiências (experimentos).

Dados oriundos de pesquisa (survey).

 

3 - Medidas Descritivas

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3

Medidas Descritivas

São métodos numéricos que integram o ramo da estatística descritiva, que são utilizados para descrever e analisar fenômenos coletivos. Dividem-se em: jj jj jj jj jj

Medidas de Posição ou de Tendência Central.

Medidas de Ordenação ou Separatrizes.

Medidas de Dispersão.

Medidas de Assimetria.

Medidas de Curtose.

 3.1  Medidas de posição ou de

tendência central

Como o próprio título sugere, a pretensão aqui são a determinação e o cálculo de medidas que ofereçam o posicionamento da distribuição dos valores de uma variável que desejamos analisar. Dito de outra forma, são medidas utilizadas para representar fenômenos coletivos através de um único valor, fornecendo uma ideia geral a respeito do fato ou fenômeno analisado. Dividem-se em:

Matemáticas: jj Média Aritmética. jj Média Geométrica. jj Média Harmônica.

Não Matemáticas: jj Moda; e jj Mediana.

3.1.1  Média aritmética jj

jj

jj

 

4 - Probabilidades

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4

Probabilidades

 4.1  Introdução

Consciente ou inconscientemente, a probabilidade é usada por qualquer indivíduo que toma decisão em situações de incerteza. Conhecendo ou não regras para seu cálculo, muitas pessoas interessam-se por eventos ligados às probabilidades. Do contrário, como poderíamos explicar o grande número de indivíduos que jogam em loterias, bingos, corridas de cavalo etc.? Aliás, as aplicações iniciais do cálculo das probabilidades ocorreram em função de jogos de azar no século XVI. A utilização das probabilidades indica a existência de um elemento de acaso, ou de incerteza, quanto à ocorrência ou não de um evento. Por exemplo, se lançarmos uma moeda para o ar, de modo geral não podemos afirmar se vai dar cara ou coroa. A probabilidade nos indicará uma medida de quão provável é a ocorrência de determinado evento.

São várias as situações em que é desejável ter uma medida

(avaliação numérica) de quão provável é a ocorrência de determinado evento futuro: lançamento de um produto, bons lucros em uma operação mercantil, chover amanhã à tarde, meu time ganhar o próximo jogo, malogro de uma safra, compra de ações etc. Embora o termo probabilidade tenha ampla significação, com a qual todos estamos familiarizados, sua definição e interpretação têm sido fonte de grandes dificuldades quando o termo deve ser tomado em sentido estrito. As asserções sobre probabilidade podem provir tanto de bases objetivas quanto subjetivas, podem derivar tanto da experimentação quanto de raciocínio a priori.

 

5 - Distribuições de Probabilidades de Variáveis Aleatórias Discretas

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Distribuições de

Probabilidades de Variáveis

Aleatórias Discretas

 5.1  Introdução

As distribuições de frequências de amostras foram tratadas no Capítulo 2. Neste capítulo, são apresentadas as distribuições de probabilidade de populações. A distribuição de frequência de uma amostra é uma estimativa da distribuição de probabilidade da população correspondente. Se o tamanho da amostra for grande, podemos esperar que a distribuição de frequência da amostra seja uma boa aproximação da distribuição de probabilidade da população.

Na condução de pesquisas empíricas, bem como na busca de soluções para um grande número de problemas práticos, estudos das características de amostras, distribuições de frequências, gráficos, medidas de posição, dispersão etc. são de fundamental importância. Todavia, quando pretendemos estudar, teórica e praticamente, variáveis de uma população, as distribuições de probabilidade são mais adequadas. As análises das distribuições de probabilidades possibilitam a construção de modelos que nos auxiliam no entendimento de fenômenos do mundo real.

 

6 - Distribuições de Probabilidades de Variáveis Aleatórias Contínuas

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Distribuições de

Probabilidades de Variáveis

Aleatórias Contínuas

6

 6.1  Introdução

Como visto nos Capítulos 3 e 5, uma variável aleatória pode ser discreta ou contínua. Quando a variável é contínua – assume valores em intervalos da reta dos números reais –, a distribuição de frequência de uma amostra de observações de uma variável contínua pode ser representada por um histograma. Os gráficos a seguir mostram as distribuições de frequências dos preços de uma amostra hipotética de

100 ações.

Examinando os histogramas, podemos estimar, por exemplo, a probabilidade de preço de uma ação ser superior a $ 12. Pelo histograma da Figura 6.1, temos que 14 + 10

+ 6 = 30 ações que têm preços superiores a $ 12; logo: P

(preço > 12) = 30/100 = 30%. Resultado igual pode ser obtido observando-se o histograma da Figura 6.2. Assim:

P (preço > 12) = 0,14 + 0,10 + 0,06 = 0,30 = 30%.

Vamos, agora, dirigir nossa atenção para a população de onde a amostra analisada foi extraída. Qual será a probabilidade de que o preço de uma ação seja superior a $ 12, considerando-se toda a população de ações? Infelizmente, não conhecemos o histograma de frequências relativas da população, e, portanto, não podemos determinar exatamente essa probabilidade. Se a amostra de 100 ações foi aleatoriamente retirada da população, poderemos afirmar

 

7 - Distribuições Amostrais

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7

Distribuições Amostrais

 7.1  Introdução

No Capítulo 6, foram apresentados os principais modelos de distribuição de probabilidade de uma variável contínua, enquanto no Capítulo 3 foram destacadas as medidas que caracterizam uma amostra.

Neste capítulo, juntamos os modelos de distribuição de probabilidade e as medidas características de uma amostra, obtendo as distribuições amostrais.

Recordando o exposto no Capítulo 1, o objetivo da estatística é usar informações da amostra para inferir sobre a população. Com base em uma amostra das vendas mensais de sua empresa, deduzir o valor das vendas para o próximo mês, estimar a probabilidade de sucesso em um jogo baseado em resultados passados; deduzir o total da renda familiar de uma comunidade por meio dos resultados obtidos pela consulta a uma amostra de famílias são exemplos de inferências estatísticas, e cada uma envolve um elemento de incerteza. Neste capítulo, discutiremos a técnica para medir a incerteza associada a cada inferência. O grau de incerteza é avaliado em termos de probabilidades, com base nas distribuições amostrais.

 

8 - Inferência Estatística: Estimativas por Ponto e Intervalos de Confiança

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Inferência Estatística:

Estimativas por Ponto e

Intervalos de Confiança

8

 8.1  Introdução

 8.2  Estimativa por ponto

Os capítulos precedentes estabeleceram as bases para o alcance do objetivo deste capítulo e do seguinte, de modo que permita a compreensão da inferência estatística (obter informações sobre a população com base nos elementos amostrais) para aplicá-la à resolução de problemas práticos.

Nos Capítulos 2 e 3, apresentamos um estudo descritivo de amostras – representação gráfica, tabelas de distribuições de frequências e medidas características: posição, dispersão, assimetria e curtose. A importância desse conteúdo é justificada, uma vez que, na maioria das situações práticas, estaremos trabalhando com amostras.

No Capítulo 6, estudamos os modelos de distribuições contínuas de probabilidade, e no Capítulo 7 apresentamos as distribuições amostrais das principais medidas estatísticas. Embora tenhamos tocado em algumas noções envolvidas pela inferência estatística, será útil reunir os conceitos vistos até aqui para o entendimento e uso das técnicas para o cálculo de estimativas dos principais parâmetros populacionais.

 

9 - Amostragem

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9

Amostragem

 9.1  Introdução

Geralmente, as pesquisas são realizadas por meio de estudo dos elementos que compõem uma amostra extraída da população que se pretende analisar. O conceito de população

é intuitivo. Trata-se do conjunto de indivíduos ou objetos que apresentam em comum determinadas características definidas para o estudo. Amostra é um subconjunto da população. Tais conceitos foram vistos no Capítulo 1.

É compreensível que o estudo de todos os elementos da população possibilite preciso conhecimento das variáveis que estão sendo pesquisadas; todavia, nem sempre é possível obter as informações de todos os elementos da população. Limitações de tempo, custo e as vantagens do uso das técnicas estatísticas de inferências justificam o uso de planos amostrais. Torna-se claro que a representatividade da amostra dependerá de seu tamanho (quanto maior, melhor) e de outras considerações de ordem metodológica.

Isto é, o investigador procurará acercar-se de cuidados, visando à obtenção de uma amostra significativa, ou seja, que de fato represente o melhor possível toda a população.

 

10 - Inferência Estatística: Testes de Hipóteses

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10

Inferência Estatística:

Testes de Hipóteses

 10.1  Introdução

Neste capítulo, apresentaremos outro método para fazer inferências sobre parâmetros populacionais. Em vez de calcular uma estimativa do parâmetro pontual ou por intervalo, conforme exposto no Capítulo 8, iremos admitir um valor hipotético para um parâmetro populacional, e com base nas informações da amostra realizaremos um teste estatístico, para aceitar ou rejeitar o valor hipotético. Como a decisão para aceitar ou rejeitar a hipótese será tomada de acordo com elementos de uma amostra, fica evidente que a decisão estará sujeita a erros. Estaremos tomando decisões em condições de incerteza e, portanto, sujeitas a erro. Com base nos resultados obtidos em uma amostra, não é possível tomar decisões que sejam definitivamente corretas. Entretanto, como veremos adiante, podemos dimensionar a probabilidade (risco) da decisão de aceitar, ou rejeitar uma hipótese estatística.

 10.2  Principais conceitos

 

11 - Análise da Variância: Anova

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Análise da Variância:

Anova

 11.1  Introdução

No capítulo anterior, foram apresentados os testes paramétricos para verificar a igualdade entre duas médias: teste t.

No Capítulo 12, o teste Kruskal-Wallis será aplicado para a igualdade de K médias, K > 2. Uma alternativa ao teste

Krurskal-Wallis, quando a variável é intervalar, é o teste paramétrico da Análise da Variância.

Trata-se de um método estatístico, desenvolvido por

Fisher, que, por meio de teste de igualdade de médias, verifica se fatores (variáveis independentes) produzem mudanças sistemáticas em alguma variável de interesse

(variável dependente). Os fatores propostos podem ser variáveis quantitativas ou qualitativas, enquanto a variável dependente deve ser quantitativa e observada dentro das classes dos fatores – os tratamentos.

Por exemplo, pode-se estar interessado em descobrir variáveis que causam consumo de combustível dos automóveis.

A marca do veículo, idade etc. são potenciais fatores. Por meio da análise da variância, é possível verificar se a marca, idade – ou uma combinação desses fatores – produzem efeitos apreciáveis sobre o consumo, ou concluir que tais fatores não têm influência sobre o consumo.

 

12 - Teste Qui-Quadrado e Outras Provas Não Paramétricas

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12

Teste Qui-Quadrado e Outras Provas Não

Paramétricas

 12.1  Introdução

Os testes não paramétricos são particularmente úteis para decisões sobre dados oriundos de pesquisas da área de ciências humanas. Para aplicá-los, não é necessário admitir hipóteses sobre distribuições de probabilidade da população da qual tenham sido extraídas amostras para análise. As provas não paramétricas são prioritariamente adaptáveis aos estudos que envolvem variáveis com níveis de mensuração nominal e ordinal, bem como à investigação de pequenas amostras. As provas não paramétricas são também denominadas provas livres de distribuição, pois ao aplicá-las não é necessário fazer suposições quanto ao modelo de distribuição de probabilidade da população. Esses testes são recomendados para análises de resultados de experimentos com dados emparelhados – do tipo antes-depois –, para verificar se variáveis são independentes ou relacionadas, e também para o tratamento estatístico de dados oriundos de tabelas com dupla entrada.

 

13 - Correlação Entre Variáveis

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13

Correlação Entre Variáveis

 13.1  Introdução

A busca de associação entre variáveis é frequentemente um dos propósitos das pesquisas empíricas. A possível existência de relação entre variáveis orienta análises, conclusões e evidenciação de achados da investigação. Nos Capítulos 10,

11 e 12, apresentamos alguns testes estatísticos que podem indicar possíveis relações entre variáveis. Neste capítulo, mostramos algumas medidas de associação entre variáveis.

 13.2  Coeficiente de correlação

de Pearson – correlação

linear entre variáveis com

níveis de mensuração intervalares

Um indicador da força de uma relação linear entre duas variáveis intervalares é o Coeficiente de Correlação do Produto de Momentos de Pearson, ou simplesmente Coeficiente de Pearson. Trata-se de uma medida de associação que independe das unidades de medidas das variáveis. Varia entre – 1 ou + 1 ou, expresso em porcentagens, entre

–100% e + 100%. Quanto maior a qualidade do ajuste

 

14 - Regressão Linear Simples

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Regressão Linear Simples

 14.1  Introdução

Nos capítulos anteriores, a descrição e a inferência estatística foram tratadas em termos de uma variável somente.

Assim, quando tínhamos uma amostra de empresas, considerávamos uma variável por vez, como, por exemplo, o faturamento. Entretanto, quando temos uma amostra de empresas, há várias variáveis que podem ser observadas em cada unidade amostrada: número de empregados, salários,

área etc. No primeiro caso, cada unidade observada está associada com a medida de uma variável X; no segundo, cada unidade é associada com as medidas de várias variáveis, X, Y, W etc. No momento, vamos considerar o caso de duas variáveis (análise bivariada). Prioritariamente, a análise de regressão é usada com o propósito de previsão.

Nosso objetivo é o de desenvolver um modelo estatístico que pode ser usado para prever valores de uma variável dependente (Y) em função de valores de uma variável (X), ou mais variáveis independentes (X1, X2, ..., Xp ).

 

15 - Regressão Linear Múltipla

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15

Regressão Linear Múltipla

 15.1  Introdução

Muitas aplicações práticas da análise de regressão exigem modelos mais complexos do que o modelo de regressão linear simples. Por exemplo, um modelo mais realístico para explicar o preço de venda de imóveis poderia incluir mais variáveis do que o valor contábil X do imóvel (discutido no

Capítulo 14). Outras variáveis tais como a idade do imóvel,

área construída, tamanho do terreno etc. poderiam melhor explicar o preço de venda de imóveis Y. Assim, desejamos incorporar outras variáveis independentes no modelo com objetivo de melhor explicar e prever o comportamento da variável dependente Y.

O modelo de regressão linear múltipla pode ser representado da seguinte maneira:

Retirada uma amostra de n observações das variáveis

Y, X1 e X2, deveremos, com base nesses dados, determinar as estimativas a, b1 e b2 dos parâmetros a, b1 e b2 e, dessa forma, obter a estimativa do modelo adotado, compondo o estimador Ŷ = a + b1X1 + b2 X2.

 

Anexos

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Anexos

  ANEXO A    Cadastro da População de Empregados da Cia. XPTO

Códigos:

0 = número de ordem

I = idade em anos

E = anos de escolaridade

G = gênero:

1 – masculino

2 – feminino

R = renda anual do empregado, em $ 1.000

RF = renda familiar anual, em $ 1.000

T = anos de trabalho

TE = anos de trabalho na Cia. XPTO

GR = grau de relacionamento entre o empregado e seu chefe:

1 – muito bom

2 – bom

3 – regular

4 – ruim

5 – muito ruim

O

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

Estatistica geral e aplicada.indb 323

I

35

64

33

23

33

60

37

25

39

35

35

49

34

50

49

39

61

59

25

E

20

14

15

14

12

14

 

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