Álgebra Linear com Aplicações

Autor(es): HOLT, Jeffrey
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Criado a partir da iniciativa do Linear Algebra Curriculum Study Group, Álgebra Linear com Aplicações é uma obra cujo propósito é transmitir os conceitos da disciplina de forma bastante didática, prática e objetiva.
O autor, Jeffrey Holt, desenvolve pesquisas relacionadas com a metodologia e a pedagogia voltadas ao ensino dessa disciplina com amplitude multifacetada e que pode ser adaptada a diferentes cursos de graduação que façam uso dela em seus ciclos básicos de formação.
Os 11 capítulos concentram os temas principais de estudo - espaços euclidianos, matrizes, subespaços, determinantes, autovalores e autovetores, espaços vetoriais, ortogonalidade, transformações lineares, espaços com produto interno - e muitas aplicações, exercícios e demonstrações. Todos esses recursos e exemplos recolhidos de várias áreas nas quais esses conteúdos se aplicam tornam este livro uma excelente ferramenta para professores que desejam ampliar conhecimentos e alcance dos cursos ministrados.
O texto é ainda enriquecido com materiais suplementares online, que podem ser acessados, mediante cadastro, por estudantes e docentes pela página da LTC Editora - GEN | Grupo Editorial Nacional.

13 capítulos

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Sistemas de Equações Lineares

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Sistemas de

Equações Lineares

|CAPÍTULO|

1

A ponte New River Gorge

(Desfiladeiro do Rio Novo), perto de Fayetteville, West

Virginia, nos Estados

Unidos, é a terceira ponte mais longa de aço com arco de vão único do mundo e uma das pontes para veículos mais altas do mundo, a algo em torno de

267 m da base da ravina.

Como todas as pontes em arco, a ponte New River

Gorge transfere seu peso e cargas sobre uma viga horizontal segura pelos encontros dos dois lados.

Antes de sua inauguração, os viajantes tinham que dirigir 45 minutos ao longo de uma estrada tortuosa para atravessar o rio. Agora leva menos de um minuto.

No estado de West Virginia, a ponte é considerada uma realização monumental de engenharia.

Ponte sugerida por Matt Clay,

Allegheny College (Pat & Chuck

Blackley/Alamy)

E

xiste uma quantidade infinita de aplicações de álgebra linear em ciências, ciências sociais e administração, muitas das quais inseridas ao longo deste livro. O Capítulo 1 começa nossa excursão pela álgebra linear em um território que pode ser familiar: sistemas de equações lineares. Nas duas primeiras seções, desenvolvemos um método sistemático para encontrar o conjunto de soluções de um sistema linear. Esse método pode ficar impraticável para sistemas lineares grandes, de modo que consideramos métodos numéricos, que podem ser aplicados para sistemas grandes, para aproximar soluções na Seção 1.3. A Seção 1.4 trata de aplicações.

 

Espaços Euclidianos

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Espaços Euclidianos

|CAPÍTULO|

2

A ponte Willis Family fornece um caminho para ser percorrido a pé do campus principal da Indiana University —

Purdue University em Fort

Wayne até o dormitório de estudantes no campus de Waterfield. A ponte foi projetada por Kurt

Heidenreich e inaugurada em 2003. O projeto triangular se ajusta à necessidade de cruzar tanto a avenida Crescent quanto a área de um terreno desnivelado. As duas torres inclinadas e os quatro cabos de suporte sugerem um diagrama para a soma de vetores representando forças; a elipse no topo do triângulo é formada pela interseção de dois cilindros circulares.

Ponte sugerida por Adam Coffman,

Indiana University — Purdue

University em Fort Wayne

(James E. Whitcraft)

P

odemos pensar na álgebra como sendo o estudo de propriedades da aritmética dos números reais. Em álgebra linear, estudamos as propriedades da aritmética efetuada em objetos chamados de vetores. Como veremos em breve, um dos usos de vetores é descrever, de modo compacto, o conjunto de soluções de um sistema linear, mas vetores também têm muitas outras aplicações. A Seção 2.1 fornece uma introdução aos vetores, à aritmética de vetores e à geometria de vetores. As Seções 2.2 e 2.3 descrevem propriedades importantes de conjuntos de vetores.

 

Matrizes

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Matrizes

|CAPÍTULO|

3

A ponte do Brooklin, completada em 1883, foi a primeira ponte importante suspensa por cabos de aço no mundo. Projetada por

John Roebling, o plano finalmente foi levado a cabo pelo filho Washington

Roebling e pela nora Emily em consequência da morte de John em 1869. A ponte usa um equilíbrio de forças de tração nos cabos de suporte, que assumem uma forma parabólica, e forças de compressão nas torres por onde passam os cabos.

Ponte sugerida por Mark Hunacek,

Iowa State University (Reflexstock)

V

amos expandir nosso desenvolvimento de matrizes neste capítulo. Até agora usamos matrizes para resolver sistemas de equações e definimos a multiplicação de uma matriz por um vetor. Na Seção 3.1 usamos essa multiplicação para definir um tipo importante de função, chamada de transformação linear, e investigar suas propriedades e aplicações. As

Seções 3.2 e 3.3 tratam da álgebra de matrizes. Desenvolvemos um método de fatoração na

 

Subespaços

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Subespaços

|CAPÍTULO|

4

A ponte Oresund liga a Dinamarca à Suécia, combinando uma ponte estaiada com um túnel. A ponte permite que veículos cheguem ao outro país em menos de 10 minutos.

Com 1611 pés (Ϸ 491 m), seu vão principal estaiado

é o mais longo do mundo.

A ponte se liga ao túnel

Drogden na ilha artificial de

Peberholm, feita de terra e rochas escavadas durante a construção. O túnel sob o mar, feito de segmentos de concreto interligados e pré-fabricados, contém trilhos de ferrovia além da estrada.

Ponte sugerida por Alain

D’Amour, Southern Connecticut

State University (Pierre Mens/

Øresundsbro)

x3

S

ubespaços são tipos especiais de subconjuntos do espaço euclidiano Rn. Eles aparecem naturalmente em conexão com conjuntos geradores, transformações lineares e sistemas de equações lineares. A Seção 4.1 fornece uma introdução, inclui exemplos de subespaços e contém um procedimento geral para determinar se um subconjunto é um subespaço. A Seção 4.2 apresenta um tipo importante de conjunto de vetores e fornece um modo de medir (grosso modo) o tamanho de um subespaço. A Seção 4.3 faz a ligação entre o conceito de subespaço e matrizes.

 

Determinantes

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Determinantes

|CAPÍTULO|

5

Talvez a ponte mais famosa do mundo, certamente a mais fotografada, a

Golden Gate Bridge em São

Francisco foi declarada uma das Maravilhas do Mundo moderno pela American

Society of Civil Engineers.

Em 1987, para comemorar seu 50o aniversário, a ponte foi fechada ao tráfego de veículos para permitir que pedestres caminhassem sobre ela. Antes da comemoração, estimava-se em 75 mil o número de pessoas que andariam na ponte, mas mais de 300 mil pessoas estiveram sobre a ponte ao mesmo tempo. Em consequência, a ponte suspensa perdeu seu arco característico (foto à esquerda) até que o tráfego de pedestres terminasse. O

O

determinante é uma função que recebe uma matriz como entrada e produz um número real como saída. Determinantes têm uma história rica e diversas interpretações úteis. Na

Seção 5.1, definiremos o determinante e encontraremos fórmulas para o determinante de alguns tipos especiais de matrizes. As propriedades dos determinantes serão mais desenvolvidas na Seção 5.2, incluindo como as operações elementares e a aritmética matricial podem influenciar o determinante. Na Seção 5.3, veremos como usar o determinante para encontrar a solução de um sistema linear e uma matriz inversa; veremos, também, como os determinantes podem nos dar informações sobre o comportamento de transformações lineares.

 

Autovalores e Autovetores

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Autovalores e

Autovetores

|CAPÍTULO|

6

A ponte Mackinac cruza o estreito de Mackinac e liga a Península Superior de

Michigan com a Inferior.

Com 5 milhas (cerca de 8 quilômetros) de comprimento, a ponte, também conhecida como

“Big Mac”, é atualmente a terceira ponte suspensa mais longa dos Estados Unidos.

O comprimento total dos fios metálicos usados nos cabos é 42 mil milhas (mais de 60 mil quilômetros).

Embora discussões sobre uma ponte para cruzar o estreito tenham começado na década de 1880, a ponte só foi completada, de fato, em 1957. David B. Steinman, que a projetou, estudou a queda em 1940 da ponte

Tacoma Narrows. Em seu projeto, Steinman preveniu uma falha como a que ocorreu na ponte Tacoma

Narrows enrijecendo a armação e incorporando

O

foco deste capítulo está sobre autovalores e autovetores, que são característicos de matrizes e transformações lineares. Autovalores e autovetores aparecem em uma grande variedade de campos, incluindo finanças, mecânica quântica, processamento de imagens e engenharia mecânica.

 

Espaços Vetoriais

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Espaços Vetoriais

A ponte-túnel Chesapeake

Bay Bridge-Tunnel (CBBT) permite a passagem direta de veículos entre a costa leste do estado de Virgínia e a parte sul de Hampton Roads, na

Virgínia, onde antes havia apenas um serviço de balsas.

Embora inicialmente fosse considerada a construção de pontes elevadas, a Marinha dos Estados Unidos não concordou, argumentando que um colapso acidental ou proposital impediria o acesso da Base Naval em Norfolk ao Oceano Atlântico. A

CBBT inclui 12 milhas (Ϸ

19 km) de pontes baixas sobre cavaletes, dois túneis com uma milha (Ϸ 1,6 km) de comprimento e quatro ilhas artificiais. Pouco depois da inauguração em 1964, a ponte-túnel foi designada

“Uma das Sete Maravilhas de Engenharia do Mundo

Moderno” pela American

Society of Civil Engineers.

Ponte sugerida por Eddie Boyd, Jr.,

University of Maryland — Eastern

Shore (Hyunsoo Leo Kim)

᭤ A ordem dos Capítulos 7 e 8 pode ser trocada, se necessário.

 

Ortogonalidade

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Ortogonalidade

|CAPÍTULO|

8

A ponte Smithfield Street em

Petersburgo na Pensilvânia, a ponte mais antiga dos

Estados Unidos, é uma ponte com uma armação em forma de lente com pouco vão livre entre o ponto mais baixo e o rio Monongahela.

Quando os funcionários de transporte da Pensilvânia tentaram demolir a ponte, a History and Landmarks

Foundation de Petersburgo agiu para preservar a ponte.

Em vez de ser demolida, ela foi reformada para incluir um tabuleiro largo e um esquema novo de cores e luzes para iluminar suas características arquitetônicas. Uma pista com trilhos abandonados foi transformada em uma pista extra para o tráfego e foi instalada uma pista para ônibus, controlada por semáforos, para as horas de tráfego mais intenso.

Ponte sugerida por Tim Flaherty,

Carnegie Mellon University (Johnny

Stockshooter/Alamy)

᭤ A ordem dos Capítulos 7 e 8 pode ser invertida se necessário.

D E F I N I Ç Ã O 8.1

 

Transformações Lineares

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Transformações

Lineares

|CAPÍTULO|

9

Aberta em 1930, a Ponte

Velha Vicksburg cruza o poderoso rio Mississippi.

Embora a ponte esteja atualmente fechada para o tráfego de veículos, tendo sido substituída por uma ponte nova, ainda é usada por trens. A Ponte Velha

Vicksburg foi projetada com treliça cantiléver. As treliças, em geral, aplicam tensão no cabo inferior e compressão no cabo superior para manter a integridade estrutural da ponte, mas uma treliça cantiléver é invertida em uma parte da ponte. A maioria das pontes com treliça cantiléver usa uma cantiléver balanceada, que permite o movimento a partir de uma viga central vertical na direção de cada pilar da ponte.

Ponte sugerida por Seth

Oppenheimer, Mississippi State

University (Jeff Greenberg/age fotostock)

N

o Capítulo 3, definimos e estudamos propriedades de transformações lineares no espaço euclidiano Rn. No Capítulo 7, desenvolvemos o conceito de espaço vetorial. Neste capítulo, combinamos os dois para estender a definição de transformação linear a espaços vetoriais.

 

Espaços com Produtos Internos

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Espaços com

Produtos Internos

|CAPÍTULO|

10

A ponte estaiada Penobscot

Narrows, sobre o rio

Penobscot, liga a ilha de

Verona à cidade Prospect, no Maine. Foi planejada, projetada e construída em apenas 42 meses para substituir a ponte WaldoHancock que estava deteriorando (já demolida).

A ponte se destaca pelas suas inovações do ponto de vista da engenharia, como o uso de composto de carbono nos cabos e um sistema de armação que facilita a substituição individual deles sempre que necessário. Além disso, a ponte serve de suporte ao Penobscot Narrows

Observatory, a primeira torre de observação em uma ponte nos Estados Unidos, no topo da torre mais ao norte.

Ponte sugerida por Lawrence

Thomas, University of Virginia

(Randy Duchaine/Alamy)

N

o Capítulo 8 introduzimos o produto escalar, que forneceu um modo algébrico para determinar quando vetores no espaço euclidiano Rn são ortogonais. Lá foram desenvolvidas aplicações do produto escalar, incluindo projeções de vetores, o método de

 

Tópicos Adicionais e Aplicações*

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Tópicos Adicionais e Aplicações

|CAPÍTULO|

11

A ponte Quebec, inaugurada em 1919, cruza o rio São

Lourenço em Levis a oeste da cidade de Quebec. Com

Ϸ 987 m de comprimento, mantém sua posição como a maior ponte cantiléver do mundo. A ponte tem um papel muito importante na engenharia de pontes, visto que caiu duas vezes durante a construção. Em 1907, a queda resultou na morte de

75 trabalhadores; a queda em 1916 causou 13 mortes.

Os desastres levantaram questionamentos sobre o controle de um único engenheiro em tais projetos.

Os engenheiros, preocupados com uma intervenção governamental possivelmente rigorosa, organizaram-se para criar sociedades profissionais de engenharia que serviam tanto para educar seus afiliados quanto

11.1 Formas Quadráticas

para administrar pedidos de licença e exames.

Ponte sugerida por Pont de Quebec

(Martin St-Amant-Wikipedia-CCBY-AS-3.0)

No Capítulo 3, mostramos que toda transformação linear T: Rm → Rn é da forma T(x) = Ax para alguma matriz A n × m. Nesta seção vamos estudar uma função Q: Rn → R, chamada de forma quadrática, que também pode ser definida em termos de matriz e multiplicação vetorial. Tais funções aparecem naturalmente em diversos campos, incluindo engenharia (teoria de controle), física, economia e matemática.

 

Glossário

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GLOSSÁRIO

Este é um glossário de definições e outros termos apresentados neste livro. Em alguns casos, em razão da natureza complicada de uma definição ou termo, só está descrito aqui em termos gerais.

Visite a seção referenciada para mais detalhes.

Aproximação de Fourier A aproximação de Fourier de ordem n para uma função f em C[−π, π] é dada por

em que os coeficientes são dados por

Autovetor Seja A uma matriz n × n. Suponha que λ é um escalar e u ≠ 0 é um vetor que satisfaz

O vetor u é chamado de autovetor de A. (Seção 6.1)

Base Uma base para um subespaço S é um conjunto B = {u1,

…, um} linearmente independente que gera S. (Seção 4.2; veja também a Seção 7.3)

Base canônica (Rn)

Formada pelos vetores

(Seção 4.2)

Os ak e bk são chamados de coeficientes de Fourier de f.

(Seção 10.3)

Argumento O argumento de um número complexo não nulo z, denotado por arg(z), é o ângulo θ (em radianos) na direção trigonométrica (anti-horária) a partir do semieixo dos x até o raio da origem até z. Note que o argumento não

 

Respostas dos Exercícios Selecionados

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|RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS SELECIONADOS|

Capítulo 1

63. 298 adultos e 87 crianças.

Seção 1.1

1. Só o ponto (−3, −3) pertence à reta.

3. Só o ponto (−2, 5) pertence às duas retas.

5. Nenhum dos pontos satisfaz o sistema linear.

7. Só (b), (c) e (d) são soluções do sistema linear.

69. A altura pode ser coberta com 11 moedas de R$ 1,00 e a largura pode ser coberta com 6 moedas de R$ 1,00 e 2 moedas de R$ 0,25.

Segundo essas medidas, o diâmetro da moeda de R$ 1,00 é de 2,7 cm e o da moeda de R$ 0,25 é de 2,4 cm.

9. x1 = 3, x2 = −1.

15. Em forma escalonada; variáveis líderes: x1 e x2; não tem variáveis livres.

Seção 1.2

17. Em forma escalonada; variáveis líderes: x1 e x3; variável livre: x2.

19. Não está em forma escalonada.

21. Em forma escalonada; variáveis líderes: x1 e x3; variáveis livres: x2 e x4.

5. Está em forma escalonada.

7. Não está em forma escalonada.

9. Está em forma escalonada.

 

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