Ferramentas de Álgebra Computacional - Aplicações em Modelagem, Simulação e Controle para Engenharia

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Ferramentas de Álgebra Computacional: Aplicações em Modelagem, Simulação e Controle para Engenharia atende à demanda dos estudantes de Engenharia que buscam uma formação coerente com o panorama atual do setor, em que a presença do componente computacional é cada vez maior. Além disso, atinge o profissional já em atividade que precisa simplificar e aprimorar os processos nos quais trabalha.
Um dos importantes destaques deste livro é a união de sólidos fundamentos teóricos com a aplicação de soluções em distintas modalidades para explicar o processo sequencial de resolução de problemas, de maneira didática, clara e objetiva.

11 capítulos

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1 Introdução

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Vargas — Prova 3 — 7/5/2015 — Maluhy&Co. — página 1

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Introdução

Nas últimas décadas, muitas ferramentas de álgebra computacional vêm sendo desenvolvidas. A maioria destas ferramentas pode ser utilizada de maneira interativa, em que o usuário entra com algumas fórmulas ou comandos, o sistema avalia as mesmas e devolve uma resposta que, se necessário, pode ainda ser manipulada. Além de cálculos simbólicos exatos, estas ferramentas também obtêm soluções numéricas aproximadas, nas quais o usuário pode fixar o número de dígitos desejados. Sem dúvida, possuem recursos de programação poderosos, além de interfaces de visualização e animação de variáveis.

Entre as várias ferramentas computacionais, Mathematica TM e Matlab-Simulink são amplamente difundidas e empregadas pelo eficiente apoio que oferecem ao ensino da engenharia (Paláncz et al., ). Estas ferramentas permitem a visualização completa de todas as etapas de um processo, por exemplo: o processo ensino-aprendizagem permite ao estudante abordar problemas de elevado grau de dificuldade e aos engenheiros simplificar suas rotinas associadas a projetos reais ou teóricos. Pela sua versatilidade, estão sendo adotadas por várias indústrias de alta tecnologia.

 

Parte I - 2 Conceitos Básicos

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Vargas — Prova 3 — 13/5/2015 — Maluhy&Co. — página 7

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Conceitos Básicos

A mecânica clássica e sua descrição newtoniana está baseada na definição das forças envolvidas no movimento de um corpo (ou sistema de partículas) e na resolução de suas respectivas equações de movimento. De fato, quando todas as forças que agem sobre o sistema são conhecidas, as equações de movimento são obtidas por meio da segunda lei de Newton, esteja ela na sua versão linear ou angular (Kupferman, ).

Em sistemas relativamente simples, em que todas as forças são conhecidas antecipadamente, a abordagem newtoniana é favorável. No entanto, nem sempre é possível explicitar todas as forças, como no caso de um pêndulo duplo oscilando em um plano vertical fixo.

Nessas situações, a abordagem newtoniana é inadequada, visto que a composição das forças não é evidente.

Nesse sentido e de forma complementar, a mecânica analítica (Lewis et al., ) surgiu como uma nova formulação matemática para descrever os princípios físicos fundamentais da mecânica clássica. Se, por um lado, a mecânica newtoniana é baseada em aspectos geométricos e vetoriais, tais como a força, a mecânica analítica descreve o movimento por meio de grandezas escalares tais como ângulos, energia etc. Este último conhecido como formalismo lagrangiano, emprega uma grandeza escalar, que para muitos sistemas é definida como a diferença entre a energia cinética e a energia potencial, chamada de lagrangiano do sistema.

 

Parte I - 3 Modelagem de Sistemas Mecânicos

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Vargas — Prova 3 — 13/5/2015 — Maluhy&Co. — página 23

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Modelagem de

Sistemas Mecânicos

Sistemas mecânicos são aqueles compostos por massas, molas, amortecedores e/ou transmissões. A análise destes sistemas envolve dois tipos de movimentos: translacional e rotacional.

As equações destes sistemas, como apresentado no capítulo anterior, podem ser obtidas por meio das leis de Newton ou envolvendo a análise variacional. Por essas razões, este capítulo comprende a modelagem e simulação de sistemas mecânicos clássicos como o pêndulo atuado com redutor e o pêndulo invertido.

O grau de dificuldade apresentado por esses dois sistemas é razoável, já que ambos, estudados nos primeiros cursos de engenharia, fazem uso de conceitos básicos de cálculo e física até chegar às leis de Newton e aos princípios de Lagrange. Por essas características, estes exemplos foram selecionados.

3.1 O Pêndulo Atuado com Redutor

O pêndulo atuado com redutor é ilustrado na Figura ., em que θ l e θ m são os deslocamentos angulares do pêndulo e do motor, respectivamente, tal que a relação de transmissão do

 

Parte I - 4 Modelagem de Sistemas Robóticos

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Vargas — Prova 3 — 12/5/2015 — Maluhy&Co. — página 39

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Modelagem de Sistemas

Robóticos

Um número cada vez maior de indústrias tem aumentado a implantação de robôs no chão de fábrica devido à redução de custos, ao incremento da produtividade, à rapidez e à precisão oferecida pelos mesmos.

Um robô industrial é definido como um manipulador multipropósito controlado automaticamente, programável em três ou mais eixos (Sciavicco; Siciliano, ). Esses manipuladores industriais são compostos de elos (corpos rígidos) ligados por juntas ou articulações em uma cadeia cinemática. As juntas podem ser tipicamente rotativas (revolução) ou lineares (prismático). Uma junta de revolução permite a rotação relativa entre dois elos, já a prismática permite o movimento linear relativo entre elos. A Figura . ilustra as juntas e elos de um robô articular.

A maioria dos manipuladores industriais atualmente tem seis ou menos graus de liberdade. Esses manipuladores são geralmente classificados cinematicamente com base nas primeiras três articulações do braço, com o punho sendo descrito separadamente. A maioria desses manipuladores está classificada em um dos seguintes cinco tipos geométricos: articular, esférico, SCARA, cilíndrico ou cartesiano (Renteria; Rivas, ).

 

Parte I - 5 Modelagem de Satélites

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Vargas — Prova 3 — 13/5/2015 — Maluhy&Co. — página 51

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Modelagem de Satélites

Muitas atividades do dia a dia estão diretamente relacionadas com a indústria aeroespacial. Desde assistir acontecimentos em tempo real pela televisão até viajar em avião de um continente a outro em algumas horas. Estas e outras atividades foram facilitadas devido ao desenvolvimento desta indústria.

Um satélite artificial é uma espaçonave (construída pelo homem), enviada ao espaço e que orbita ao redor de um corpo celeste (por exemplo, a Lua ao redor da Terra, a Terra ao redor do Sol etc.). Equipados com câmeras, sensores e atuadores, os satélites permitem coletar dados e transmití-los à Terra, onde posteriormente serão classificados e analisados.

Esta informação é útil para aplicações do tipo civil e militar. Alguns exemplos destas aplicações são o setor das telecomunicações, meteorologia, mísseis guiados, entre outros.

Pelas razões expostas e devido a suas diversas funcionalidades, os satélites artificiais são de significativa importância.

 

Parte I - 6 Modelagem de Aeronaves

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Vargas — Prova 3 — 13/5/2015 — Maluhy&Co. — página 69

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Modelagem de Aeronaves

O F- Fighting é uma aeronave desenvolvida pela General Dynamics e a Lockheed Martin para a Força Aérea dos Estados Unidos. Inicialmente, foi projetado como um caça de combate leve, e durante o processo de desenvolvimento ganhou versatilidade e bom desempenho em multitarefas. Como consequência, foi um êxito de exportação, já que hoje esta aeronave encontra-se servindo em aproximadamente  países. Foi testado em combate ar-ar e ataque ar-terra. Na Figura ., são ilustradas três vistas desta aeronave.

Figura . Três vistas do caça F- (Wikipédia, ).

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Vargas — Prova 3 — 13/5/2015 — Maluhy&Co. — página 70

70 Capítulo 

Neste capítulo, é apresentada a derivação das equações de movimento do caça F-, são apresentadas as superfícies de controle, as variáveis a serem controladas, as equações do motor e os dados aerodinâmicos. Ressalta-se que esta aeronave foi selecionada devido à disponibilidade de dados, já que eles podem ser obtidos em Huo ().

 

Parte II - 7 Controle de Sistemas Mecânicos

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Vargas — Prova 3 — 13/5/2015 — Maluhy&Co. — página 93

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Controle de

Sistemas Mecânicos

O controle automático tem desempenhado um papel muito importante no avanço da ciência e da engenharia. Como é sabido, ele tem grande importância em veículos espaciais, mísseis guiados, robótica e outros (alguns destes sistemas abordados nesta obra). O controle automático também tem se tornado integrante dos modernos processos industriais e de produção.

Com os avanços na teoria e na prática, vêm-se desenvolvendo técnicas para aperfeiçoar o desempenho de diferentes sistemas e assim melhorar a produtividade e qualidade de vida.

Pelos pontos enunciados acima, a análise e síntese de controle apresentadas neste capítulo são realizadas aplicando a teoria de controle ótimo por meio do regulador linear quadrático (LQR), ¹ metodologia baseada na linearização de sistemas dinâmicos, representados no domínio do tempo por meio de equações de estado e no domínio da frequência a partir de funções de transferência. O problema de controle ótimo consiste em minimizar uma função custo quadrática e gerar uma matriz de ganhos de realimentação (Ogata, ). Esta técnica permite balançar simultaneamente a estabilidade em malha fechada e o desempenho da resposta.

 

Parte II - 8 Controle de Sistemas Robóticos

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Vargas — Prova 3 — 13/5/2015 — Maluhy&Co. — página 107

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Controle de Sistemas Robóticos

A robustez da técnica de controle perante as incertezas, perturbações e ruído é importante para garantir boas características de resposta e deve ser preocupação no projeto de controladores.

Com este objetivo e para tentar diminuir o erro, são empregados controladores de ganhos elevados. No entanto, essa técnica não apresenta resultados satisfatórios no caso dos robôs, em que facilmente pode causar ressonância (Umeno et al., ). Buscando reduzir estes ganhos elevados, diferentes projetos de controladores foram propostos na literatura e implementados na prática.

Dessas considerações e do ponto de vista da teoria de controle, a estrutura de dois graus de liberdade (TDOF)¹ permite, na síntese de seu projeto, a integração de vários requisitos de robustez (Wolovich, ). Os trabalhos desenvolvidos em Vargas et al. () e Vargas et al.

() são exemplos de aplicações desta técnica no controle de robôs e aeronaves.

 

Parte II - 9 Controle de Satélites

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Vargas — Prova 3 — 13/5/2015 — Maluhy&Co. — página 119

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Controle de Satélites

Atualmente, a maioria dos satélites utiliza bocais (propulsores) como sistema principal de propulsão, todavia o tipo de combustível pode ser sólido ou líquido, como o oxigênio líquido.

Sem dúvida, estes combustíveis ainda são os mais eficientes para satélites em baixas órbitas

(Bryson, ). A estação espacial internacional ISS utiliza bocais no seu controle de atitude.

Da mesma forma, outros satélites utilizam este sistema (Santana et al., a).

Métodos alternativos de controle correspondem às rodas de momento, às rodas de reação e aos giroscópios. Cada um trabalha de forma a modificar o momento angular nas pequenas massas no interior do satélite.

As rodas de momento correspondem à forma mais simples de controle, já que são fixadas em apenas um eixo de rotação. As rodas de reação são similares às rodas de momento; a diferença é que são colocadas nos três eixos a ○ um do outro.

 

Parte II - 10 Controle de Aeronaves

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Vargas — Prova 3 — 12/5/2015 — Maluhy&Co. — página 135

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Controle de Aeronaves

O modelo dinâmico de uma aeronave está sujeito a uma ampla variação de seus parâmetros, tais como o centro de gravidade x c g , a velocidade V , a altura h, a configuração das asas, o trem de pouso e outros. Estas variações mudam a dinâmica da aeronave, de modo que de uma condição de operação adequadamente amortecida passe à outra ligeiramente amortecida. Na aviação comercial, uma aeronave ligeiramente amortecida ou de comportamento oscilatório pode trazer desconforto para os passageiros ou aumentar a dificuldade para o piloto controlar a aeronave. Em aeronaves de combate, esta característica é mais crítica porque a aeronave é naturalmente instável, devido às manobras que desenvolve e à missão que tem que cumprir, seja em posição de ataque ou não (Lewis; Stevens, ).

Esses problemas são solucionados empregando sistemas de controle realimentados, que permitem modificar a dinâmica das aeronaves. Tais sistemas são conhecidos como SAS

 

Apêndices

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Vargas — Prova 3 — 14/5/2015 — Maluhy&Co. — página 149

Apêndices

Vargas — Prova 3 — 14/5/2015 — Maluhy&Co. — página 150

Vargas — Prova 3 — 14/5/2015 — Maluhy&Co. — página 151

A

Introdução ao Matlab®

®

Matlab é o nome simplificado de “MATrix LABoratory”. É um programa para fazer cálculos numéricos com vetores e matrizes. Também trabalha com escalares reais e complexos. Uma das capacidades mais atrativas é a de executar uma grande quantidade de simulações que emulam sistemas reais.

A.1 Características Básicas

A.1.1 Interface Gráfica do Matlab®

®

A estrutura de MatLab está composta por um ambiente de execução e um ambiente de edição. O ambiente de execução é chamado de workspace ou espaço de trabalho (Figura A.)

A, que pode ser personalizada pelo usuário. O espaço de trabalho é utilizado para executar as diversas instruções e funções próprias da ferramenta, assim como fazer chamadas ou execuções de funções criadas pelo usuário.

 

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