Matemática Financeira - Didática, Objetiva e Prática

Autor(es): HOJI, Masakazu
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Este livro tem um claro e grande propósito: aprender a Matemática Financeira sem medo!

Para isso, o Prof. Masakazu Hoji estruturou esta obra de forma muito singular, apresentando, além dos conceitos e fundamentos de capitalização simples e composta, as aplicações práticas da Matemática Financeira por meio de exemplos claros e didáticos.

A obra oferece ainda uma série de exercícios propostos com respostas e, por meio de acesso on-line, as resoluções pelo método algébrico e por Excel.

Este é o ponto: a Matemática Financeira é instintiva. Anal, todo mundo usa essa ferramenta todos os dias, ainda que não perceba, ou investindo ou tomando recursos. A Matemática Financeira nos atinge de todos os lados a todo instante.

É natural o ser humano sentir medo do incompreensível, e a Matemática, de maneira geral, é um ambiente bastante evitado. E este é o grande propósito deste livro: aprender a Matemática Financeira sem medo!

Para isso, é estruturado com conceitos e fundamentos de capitalização simples e composta e com suas aplicações práticas por meio de exemplos e exercícios propostos. A resolução, pelo método algébrico e por Excel, também está disponível para consulta on-line.

Livro-texto para a disciplina Matemática Financeira dos cursos de Administração de Empresas, Ciências Contábeis, Economia e Gestão Financeira, bem como para cursos de pós-graduação. Leitura recomendável para profissionais de todas as áreas, financeiras ou não financeiras.

14 capítulos

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1. Função dos juros na economia

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Função dos juros na economia

1

Conteúdo do Capítulo

Consumo e poupança

■■ Necessidade natural de poupar

■■ Consumo antecipado paga juro

Formação da taxa de juro

■■ Juro e inflação

■■ Composição da taxa de juro real

■■ Distinção entre juro, lucro e spread

Índices de preços e atualização monetária

■■ Principais índices de preços

■■ Atualização monetária

Exercícios propostos

1.1  Consumo e poupança

As pessoas têm propensão ao consumo, e uma das medidas para controlar essa vontade inata é o juro. Se uma pessoa tem dinheiro aplicado numa caderneta de poupança, por exemplo, é porque, além da necessidade de poupar para o futuro, o rendimento que ela produz está compensando a sua vontade de gastar.

Se uma pessoa tem uma aplicação financeira no valor de R$ 1.000,00 com expectativa de receber 10% de juro daqui a um ano é porque essa taxa de juro está sendo

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2. Conceitos básicos

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Conceitos básicos

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Conteúdo do Capítulo

Terminologia e convenções

■■ Terminologia

■■ Porcentagem e taxa de juros

■■ Juro comercial e juro exato

■■ Taxa overnight, taxa Selic e taxa CDI

Conceitos fundamentais de matemática financeira

■■ Valor do dinheiro no tempo

■■ Fórmulas básicas de matemática financeira

■■ Fator de capitalização e fator de descapitalização

Regimes de capitalização

■■ Comportamento dos juros no regime de capitalização simples

■■ Comportamento dos juros no regime de capitalização composta

■■ Como os juros são calculados nos dois regimes de capitalização

Exercícios propostos

2.1 Terminologia e convenções

Quanto vale hoje um título que vence em dois anos? Quanto tempo preciso poupar para realizar o meu sonho? É melhor pagar a prazo ou à vista? São questões

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14  Capítulo 2 que aparecem no nosso dia a dia e as soluções são dadas com base em matemática financeira.

 

3. Capitalização simples

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Capitalização simples

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Conteúdo do Capítulo

Fórmulas do regime de capitalização simples

Capital e montante

■■

Montante, capital acumulado ou valor futuro

■■

Capital, principal, valor atual ou valor presente

■■

Equivalência de capitais no regime de juros simples

Taxas de juros

■■

Taxas proporcionais

■■

Taxas equivalentes a juros simples

■■

Homogeneização entre a taxa de juro e o período de capitalização

■■

Juros diários, mensais, semestrais, anuais

Saldo médio e prazo médio

■■

Prazo médio

■■

Capital médio

■■

Exemplo prático de cálculo de saldo médio ponderado

Cálculo de juros pelo método hamburguês

■■

Cálculo de encargos financeiros

■■

Contagem do número de dias

Exercícios propostos

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26  Capítulo 3

3.1  Fórmulas do regime de capitalização simples

 

4. Capitalização composta

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Capitalização composta

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Conteúdo do Capítulo

Juros compostos

■■

O efeito dos juros sobre juros

■■

Diferenças entre os regimes de capitalização

■■

Fórmula básica de juros compostos

■■

Revisão de propriedades de potenciação e radiciação

Valor presente e valor futuro na capitalização composta

■■

Valor futuro ou montante a juros compostos

■■

Valor presente ou valor atual a juros compostos

Taxa de juros e prazo na capitalização composta

■■

Fórmulas da taxa de juros

■■

Fórmulas do prazo

■■

Taxas equivalentes a juros compostos

■■

Períodos não inteiros

Taxa nominal e taxa efetiva

■■

Conversão de taxa nominal em taxa efetiva

■■

Conversão de taxa efetiva em taxa nominal

Exercícios propostos

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46  Capítulo 4

4.1 Juros compostos

Antes de falarmos sobre as diferenças entre os regimes de capitalização composta e capitalização simples, vamos estudar um pouco sobre o efeito dos juros sobre juros, característica da capitalização composta.

 

5. Capitalização contínua

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Capitalização contínua

5

Conteúdo do Capítulo

Fundamentos da capitalização contínua ou juros contínuos

■■ Processo de capitalização contínua

■■ Taxa de juro instantânea

Fórmulas de capitalização contínua

■■ Valor futuro

■■ Valor presente

■■ Taxa de juro instantânea

■■ Prazo

Exercícios propostos

5.1 Fundamentos da capitalização contínua ou juros contínuos

Já estudamos juros simples e juros compostos. De acordo com os conceitos utilizados até aqui, as taxas de juros abrangem um período (dia, mês, bimestre, trimestre, semestre, ano etc.) e são devidas sempre ao final de cada período. Essa forma de cálculo de juros é uma simplificação, segundo os matemáticos.

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68  Capítulo 5

Início

Fim Início

Período 1

Juros: 10% a.p.

Fim

Início

Período 2

R$ 100,00

Fim

Período 3

R$ 110,00

R$ 121,00

 

6. Descontos

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Descontos

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Conteúdo do Capítulo

Valor nominal, taxa de juro e taxa de desconto

Desconto simples

■■

Desconto comercial simples

■■

Conversão de taxas de desconto comercial simples

■■

Desconto racional simples

■■

Desconto bancário simples

Desconto composto

■■

Desconto racional composto

■■

Desconto comercial composto

Exercícios propostos

6.1  Valor nominal, taxa de juro e taxa de desconto

Descontos são operações comuns no mercado financeiro. São antecipações de recebimento de valores do futuro, tais como duplicatas, notas promissórias e letras de câmbio.

Caso seja antecipado o recebimento de uma duplicata que vence em 45 dias, por exemplo, será utilizada uma taxa de desconto (d) para calcular o desconto (D) sobre o valor nominal (VN) que dele será deduzido para apurar o valor atual (VA).

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78  Capítulo 6

 

7. Fluxo de caixa

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Fluxo de caixa

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Conteúdo do Capítulo

Conceitos

■■

Diagrama de fluxo de caixa

■■

Juros sobre o saldo de caixa

■■

Fluxo de caixa com uma saída e uma entrada e vice-versa

Equivalência de capitais

■■

Data focal

■■

Valor presente de um conjunto de capitais

■■

Comparação de capitais de diferentes datas

Exercícios propostos

7.1 Conceitos

O fluxo de caixa representa a movimentação de recursos em dinheiro (caixa) de uma empresa, de um projeto de investimento ou de uma transação financeira, como financiamento, empréstimo ou compra de um ativo financeiro. É uma ferramenta que ajuda na tomada de decisões em Finanças e Engenharia Econômica, pois permite visualizar o movimento de recursos financeiros ao longo do tempo (passado ou futuro).

Existem dois tipos de fluxo de caixa: a) entradas de caixa, que representam ingressos de recursos; e

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8. Séries de pagamentos

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Séries de pagamentos

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Conteúdo do Capítulo

Séries uniformes e não uniformes de pagamentos

■■

Representação gráfica de séries uniformes de pagamentos

■■

Representação gráfica de séries não uniformes de pagamentos

Série uniforme “postecipada” de pagamentos

Série uniforme antecipada de pagamentos

Série uniforme diferida de pagamentos

■■

O mecanismo da série uniforme diferida

Valor futuro de séries uniformes de pagamentos

Séries não uniformes ou variáveis de pagamentos

■■

Transformando a série não uniforme em série uniforme de pagamentos

Coeficientes de financiamento

Exercícios propostos

8.1 Séries uniformes e não uniformes de pagamentos

Estudamos nos capítulos anteriores, basicamente, os fluxos de caixa com um valor presente e um valor futuro, ou seja, um pagamento inicial e um recebimento posterior ou um recebimento inicial e um pagamento posterior. Entretanto, existem fluxos

 

9. Sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos

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Sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos

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Conteúdo do Capítulo

Características comuns a todos os sistemas de amortização

Sistema Francês de Amortização (SFA)

■■

Tabela Price

Sistema de Amortização Constante (SAC)

Sistema de Amortização Americano (SAA)

Sistema de Amortização Crescente (Sacre)

Exercícios propostos

9.1  Características comuns a todos os sistemas de amortização

O sistema de amortização é um fluxo de caixa em que o valor do empréstimo ou financiamento é concedido no início do prazo da operação financeira, e esse valor, acrescido de juros (e “atualização monetária”, em algumas modalidades), é amortizado até o (ou no) vencimento da operação.

Quando se fala em empréstimo e em financiamento, a diferença entre eles é que no financiamento, o valor liberado tem uma finalidade específica, por exemplo, para a compra de imóvel, automóvel ou importação. Já o empréstimo é um recurso

 

10. Soluções com a calculadora financeira HP 12C

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Soluções com a calculadora financeira

HP 12C

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Conteúdo do Capítulo

Funções financeiras básicas da HP 12C

■■ Funções C, End e Begin

■■ Cálculos de VF, VP, i e n

■■ Operações com número de dias e datas

■■ Período da taxa de juros diferente do período de capitalização

Tecla PMT da HP 12C

■■ Série uniforme de pagamentos “postecipados”

■■ Série uniforme de pagamentos antecipados

Função Fluxo de Caixa da HP 12C

■■ Soluções da série uniforme “postecipada” de pagamentos

■■ Soluções da série uniforme antecipada de pagamentos

■■ Soluções da série uniforme diferida de pagamentos

■■ Soluções da série não uniforme de pagamentos

Cálculos de VFL por meio de VPL

Exercícios propostos

10.1  Funções financeiras básicas da HP 12C

Para a análise do fluxo de caixa, o raciocínio deve ser feito sempre no ambiente de juros compostos, pois, de qualquer forma que se calcule, o resultado sempre será o mesmo.

 

11. Avaliação de ativos financeiros

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Avaliação de ativos financeiros

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Conteúdo do Capítulo

Valor presente líquido e taxa interna de retorno

■■

Valor presente líquido

■■

Taxa interna de retorno

■■

Comprovação da TIR calculada

Cálculo de VPL e TIR com a HP 12C

Avaliação de títulos

■■

Diferença entre a taxa de rendimento e a taxa de desconto do título

■■

Marcação na curva de juros e marcação a mercado

■■

Mecanismo da evolução do capital sob o ponto de vista de um investidor

Reciprocidade bancária

■■

Saldo médio remunerado

■■

Floating

Exercícios propostos

11.1  Valor presente líquido e taxa interna de retorno

O valor presente líquido e a taxa interna de retorno são duas ferramentas avançadas de avaliação de ativos.

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166  Capítulo 11

11.1.1  Valor presente líquido

Valor Presente Líquido (VPL) é um método de avaliação de investimentos em que os valores dos fluxos de caixa (FC) representados por entradas e saídas de caixa futuros são descontados para o instante inicial e somados com o investimento inicial.

 

12. Títulos públicos

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Títulos públicos

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Conteúdo do Capítulo

Títulos da dívida interna

■■ Características dos títulos públicos

■■ Tesouro Direto

Metodologias de cálculo de preços de títulos públicos

■■ Fórmulas para precificação de títulos prefixados

■■ Fórmulas para precificação de títulos pós-fixados

■■ Regras de arredondamento e truncamento

Precificação de títulos públicos

■■ LTN

■■ NTN-F

■■ LFT

■■ NTN-B

Exercícios propostos

12.1 Títulos da dívida interna

Os principais títulos emitidos pelo Tesouro Nacional para financiamento da dívida interna são: a) Letras do Tesouro Nacional (LTN);

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190  Capítulo 12 b) Letras Financeiras do Tesouro (LFT); e c) Notas do Tesouro Nacional (NTN).

12.1.1  Características dos títulos públicos

Todos os títulos têm valor nominal de R$ 1.000,00 e são prefixados ou pós-fixados, além de serem escriturais, nominativos e negociáveis.

 

13. Análises de investimentos

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Análises de investimentos

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Conteúdo do Capítulo

Inflação

■■

Comportamento exponencial da taxa de inflação

■■

O efeito do juro real em relação à inflação

Avaliação de empresas (valuation)

■■

Perpetuidade sem crescimento

■■

Perpetuidade com crescimento

■■

Cálculo de valor da empresa

Exercícios propostos

13.1 Inflação

Pedro fez uma aplicação financeira no valor de R$ 1.000,00 e, nessa época, um aparelho de TV custava R$ 1.000,00. Um ano depois, Pedro resgatou o valor de R$ 1.100,00 e verificou-se que a inflação desse período foi de 10%. Enquanto isso, o preço do aparelho de TV foi reajustado de acordo com a inflação do período, passando a custar R$ 1.100,00.

Reajuste do aparelho de TV: 1.000,00,00 × (1 + 0,10) = R$ 1.100,00

Aplicação de Pedro: 1.000,00 × (1 + 0,10) = R$ 1.100,00

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204  Capítulo 13

De imediato, percebe-se que o valor da aplicação aumentou R$ 100,00, mas Pedro nada ganhou, pois o valor original da aplicação foi simplesmente atualizado pela inflação. Também nada perdeu, porque, em termos reais, possui o dinheiro com o mesmo poder aquisitivo. Com R$ 1.000,00 de um ano antes, ele conseguiria comprar o aparelho de TV. Agora, com o seu capital aumentado para R$ 1.100,00, ele continua podendo comprar o aparelho de TV. Nem mais nem menos.

 

Soluções dos exercícios propostos

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Soluções dos exercícios propostos

AVISO IMPORTANTE!

As soluções a seguir apresentadas podem ser obtidas com base em fundamentos e fórmulas apresentadas no livro. Apresentamos também as formas de resolução por meio de planilha Excel para os mesmos exercícios propostos, que estão disponibilizadas no site do Grupo GEN e no Portal ProfessorNews, na seção Biblioteca/Livros e

Manuais/Autor: Hoji.

Capítulo 1

Capítulo 3

1. b, d.

1.

2. Título A.

2. R$ 10.700,00.

3. 18% ou R$ 18.000,00.

3. R$ 3.853,56.

4. 4,95%.

5. R$ 38.066,25.

R$ 5.040,00.

4. R$ 22.301,35.

5. a. 60% a.a.;   b. 7,6% a.a.;  c. 8,8% a.a.

6. 1,25% a.m.

Capítulo 2

7. R$ 150,00.

1. R$ 11.500,00.

9. 1,8 mês.

2. R$ 1.750,00.

10. R$ 45,00.

3. 0,25 ou 25%.

8. 0,014 a.m. ou 1,4% a.m.

4. Taxa de juro exato.

Capítulo 4

5. R$ 280,00.

1. R$ 141.059,88.

 

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