Econometria e Séries Temporais com Aplicações à Dados da Economia Brasileira

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Econometria e Séries Temporais com Aplicações a Dados da Economia Brasileira toma como base dados relativos à economia brasileira e propõe a aplicação contextualizada dos modelos e equações apresentados de forma teórica em seus capítulos. Dividido em duas partes, econometria e análise e previsão de séries temporais, o livro tem como objetivo oferecer um curso completo a estudantes avançados da área.
Com exercícios ao final de cada capítulo e um banco de dados oferecido como material suplementar, Econometria e Séries Temporais com Aplicações a Dados da Economia Brasileira tem a abrangência, complexidade, especificidade e flexibilidade ideais para o leitor, tanto como apoio em cursos universitários quanto como ponto de partida para o estudo individual.

17 capítulos

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Introdução

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Introdução

Antes de iniciarmos o desenvolvimento propriamente dito dos diversos tópicos que compõem este texto, convém explicar a que se propõe a econometria e quais seus métodos de trabalho.

Primeiramente, a palavra é derivada de “economia” + “métrica”, significando a medida das relações econômicas. Em termos operacionais, quer-se chegar a uma relação funcional entre variáveis, das quais algumas serão consideradas dependentes e outras independentes. As dependentes, também chamadas de endógenas, serão determinadas a partir de valores estabelecidos para as independentes, também denominadas exógenas, o que significa que seus valores são determinados fora do sistema em análise. Caberá ao elaborador do modelo (ou modelador) selecionar as variáveis que pretende explicar e quais as que farão parte do modelo, seja na forma de variável dependente ou independente.

O processo da modelagem econométrica inicia-se com análise econômica teórica, micro e macroeconomia: análise de demanda, estruturas de mercado, formação da renda nacional, teoria monetária, teoria do bem-estar, finanças ou outras. Vale observar, todavia, que a análise econômica, em geral, apenas aponta as variáveis pertinentes a um determinado aspecto e indica o sentido das variações, isto é, o que deve ocorrer com uma variável endógena quando outra variá­ vel ou parâmetro se modifica. Raramente, porém, se especificam a forma funcional, os valores dos parâmetros e outros aspectos relativos às relações entre as variáveis. É exatamente aqui que reside o papel da econometria, ou seja, a partir de dados observados obter relações econômicas bem definidas e consistentes. Mas não se pode esquecer que é a análise econômica que fundamenta a especificação dos modelos. Na verdade, a análise econômica tende a ser muito generalista. Para esta não importa, por exemplo, se a relação entre a quantidade demandada e o preço da mercadoria é linear, logarítmica ou outra função qualquer. Ela apenas diz que, para bens normais, procura e preços interagem e que a variação da quantidade demandada tende a ter um sinal contrário ao da variação do preço do produto, tudo o mais sendo mantido constante (condição coeteris paribus). Além disso, a teoria econômica tende a ser pródiga em variáveis, dado que quase tudo em economia é relacionado. Por exemplo, em uma análise de equilíbrio, os preços de todos os produtos impactam a demanda por uma determinada mercadoria (equilíbrio geral).

 

Parte I - Capítulo 1 - O Modelo de Regressão e Suas Propriedades Geométricas

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Capítulo

1

O Modelo de Regressão e Suas

Propriedades Geométricas

1.1 Modelo de Regressão Linear............................................................. 10

1.2 Regressão Não Linear....................................................................... 12

1.3 Propriedades Geométricas da Regressão Linear................................ 14

1.4 Aplicação com Dados da Economia Brasileira.................................... 28

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Capítulo 1

10

1.1  Modelo de Regressão Linear

1.1.1  Introdução

Considere-se inicialmente o modelo de regressão linear simples; isto é, com apenas um regressor

(aqui dado pela variável xt) também chamado variável independente, ou variável explicativa da regressão. Assim, seja o modelo yt 5 b1 1 b2xt 1 ut, com as observações t indo de 1 a n, sendo yt a variável dependente e ut o erro da regressão. Em forma matricial: y 5 Xb 1 u, em que

 

Parte I - Capítulo 2 - Propriedades Estatísticas dos Estimadores de Mínimos Quadrados Ordinários, Teste de Hipótese e Erro de Especificação do Modelo

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Capítulo

2

Propriedades Estatísticas dos Estimadores de Mínimos

Quadrados Ordinários, Teste de

Hipótese e Erro de Especificação do Modelo

2.1 Algumas Propriedades Estatísticas dos Estimadores de MQO ........... 35

2.2 Teste de Hipótese em Regressão ...................................................... 42

2.3 Critérios para a Escolha entre Modelos de Regressão ....................... 48

2.4 Erros de Especificação no Modelo de Regressão .............................. 52

2.5 Aplicação com Dados da Economia Brasileira ................................... 56

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35

2.1.1  Introdução

Como foi visto no Capítulo 1, se o modelo é dado por Y 5 Xb 1 u, então o estimador de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO) é dado por

Substituindo nessa fórmula o valor de Y dado pela equação anterior, vem e aplicando esperança matemática obtém-se

Assim, só será um estimador de b sem viés se o

 

Parte I - Capítulo 3 - Heterocedasticidade, Autocorrelação e Modelos Arch

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Capítulo

3

Heterocedasticidade,

Autocorrelação e Modelos ARCH

3.1 Heterocedasticidade ......................................................................... 61

3.2 Autocorrelação nos Erros da Regressão ............................................ 69

3.3 Aplicação com Dados da Economia Brasileira ................................... 73

3.4 Modelos ARCH .................................................................................. 74

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61

3.1.1  �Estimadores de mínimos quadrados ordinários e matriz de covariância consistente para heterocedasticidade

Suponha-se o modelo de regressão Y 5 Xb 1 u, no qual E(u) 5 0 e E(uuT) 5 V. Independentemente da forma da matriz V tem-se aqui que a matriz das variâncias e covariâncias dos estimadores de MQO seria dada por que é às vezes conhecida como a matriz sanduíche, já que a matriz

T

X  VX se situa entre duas matrizes idênticas dadas por (X TX)21. Naturalmente, com os erros da regressão tendo variância constante e sendo adicionalmente não autocorrelacionados, isto é, com E(uuT ) 5 s2I, então a equação acima fica reduzida à

 

Parte I - Capítulo 4 - Uso de Variáveis Instrumentais em Regressão e Modelos com Defasagem Distribuída

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Capítulo

4

Uso de Variáveis Instrumentais em Regressão e Modelos com

Defasagem Distribuída

4.1 Variáveis Instrumentais .................................................................... 86

4.2 Modelos com Defasagem Distribuída ................................................ 92

4.3 Aplicação com Dados da Economia Brasileira ................................... 96

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Capítulo 4

86

4.1  Variáveis Instrumentais

4.1.1  Introdução

Sempre que se estima um modelo de regressão por MQO, no qual o regressor é correlacionado com o erro da regressão, se obtém um estimador com viés, e tal estimador será também inconsistente. Quanto à sua inconsistência, ela pode ser assim demonstrada: seja o modelo Y 5 b1 1 b2X 1 u, com E(u) 5 0, do qual se obtém E(Y) 5 b1 1 b2E(X). Segue que Y 2 E(Y) 5 b2(X 2 E(X)) 1 u.

Multiplicando os dois lados dessa equação por (X 2 E(X)) e aplicando esperança matemática, vem

 

Parte I - Capítulo 5 - Teste de Raiz Unitária e Regressão com Variáveis Não Estacionárias

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Capítulo

5

Teste de Raiz Unitária e Regressão com Variáveis Não Estacionárias

5.1 Analisando as Séries de Tempo ...................................................... 104

5.2 Regressão com Variáveis Não Estacionárias ................................... 114

5.3 Estimação e Teste da Equação de Cointegração .............................. 118

5.4 Aplicação com Dados da Economia Brasileira ................................. 120

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Capítulo 5

104

5.1  Analisando as Séries de Tempo

5.1.1  Comportamento das séries estacionárias versus séries não estacionárias

Um bom tratamento das questões discutidas nesta e nas próximas seções pode ser encontrado em

Johnston e DiNardo (1997), a quem se segue aqui. Seja o modelo autorregressivo AR(1) dado por yt 5 ryt21 1 ut, em que os erros têm média zero, variância constante e são não autocorrelacionados. Com ZrZ,1, o modelo descreve o comportamento de uma variável estacionária, e se r 5 1 a variável é não estacionária. Com r . 1 a variável teria, evidentemente, trajetória explosiva.

 

Parte I - Capítulo 6 - Modelos Var e de Equações Simultâneas

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Capítulo

6

Autorregressão Vetorial (VAR) e

Modelos de Equações Simultâneas

6.1 Modelos VAR .................................................................................. 125

6.2 Modelos de Equações Estruturais Simultâneas ............................... 136

6.3 Aplicação com Dados da Economia Brasileira ................................. 141

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125

6.1.1  Introdução

O modelo VAR é de fato uma simples adaptação do modelo autorregressivo univariado (tratado no Capítulo 5) para o caso de um vetor de variáveis. Recorde-se que o modelo autorregressivo univariado de ordem p, ou AR(p), é dado por yt 5 m 1 a1yt21 1 a2yt22 1 ... 1 apyt2p 1 ut . Já o modelo de vetor autorregressivo de ordem p, ou VAR(p), é dado por Yt 5 M 1 A1Yt21 1 A2Yt22 1

... 1 ApYt2p 1 Ut , no qual se está usando aqui letra maiúscula para indicar que os escalares e vetores do modelo univariado são agora, no modelo multivariado, vetores e matrizes.

 

Parte I - Capítulo 7 - Modelos para Variável Dependente Discreta e Variável Dependente Limitada

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Capítulo

7

Modelos para Variável

Dependente Discreta e

Variável Dependente Limitada

7.1 Modelos para Variável Dependente Discreta ................................... 153

7.2 Modelo Logit Multinomial ............................................................... 156

7.3 Modelo Logit Condicional Multinomial ............................................. 158

7.4 Modelo Probit para Escolhas Ordenadas ......................................... 160

7.5 Modelo para Dados de Contagem (Count Data) ............................... 161

7.6 Modelos para Variável Dependente Limitada ................................... 162

7.7 Modelos de Duração ....................................................................... 167

7.8 Aplicação com Dados da Economia Brasileira ................................. 168

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153

7.1.1  Modelo de probabilidade linear

 

Parte I - Capítulo 8 - Modelos para Dados em Painel

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Capítulo

8

Modelos para Dados em Painel

8.1 Introdução........................................................................................173

8.2 C

� aso de Agrupamento Independente de Cortes Transversais

(Cross-section) ao Longo do Tempo ................................................ 175

8.3 Modelo para Dados em Painel ........................................................ 179

8.4 M

� odelo de Efeito Fixo com Dados em Painel para Dois

Períodos ......................................................................................... 182

8.5 C

� onsistência do Estimador do Modelo de Efeito Fixo com

Dados em Painel para Dois Períodos ............................................... 186

8.6 M

� odelo de Efeito Fixo para mais de Dois Períodos:

Modelo com Variáveis “Dummy” versus Modelo com

Variáveis Centradas ........................................................................ 187

 

Parte II - Capítulo 9 - Definições e Métodos em Séries Temporais – Método da Decomposição

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Capítulo

9

Definições e Métodos em

Séries Temporais – Método da Decomposição

9.1 Definições e Métodos em Séries Temporais .................................... 212

9.2 Método da Decomposição .............................................................. 213

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Capítulo 9

212

9.1  Definições e Métodos em Séries Temporais

Entende-se por série temporal, ou histórica, uma sequência de observações arranjadas cronologicamente, tais como vendas anuais de um produto, dados mensais de desemprego, preços diários de ações em bolsa de valores etc. Em geral, o período entre observações é constante, mas, a rigor, esse não é um aspecto necessário para se ter uma série histórica. Mais ainda, os conceitos relativos a séries históricas podem ser também aplicados quando a variável tempo é substituída por outra qualquer, por exemplo, distância, como no caso das frequências de vibrações de uma ponte ao longo de seu comprimento, ou ainda o teor de um minério de uma jazida em certa direção. De maneira geral, uma série histórica é a realização de um processo estocástico.

 

Parte II - Capítulo 10 - Médias Móveis, Ajustamento Polinomial Direto e Extrapolação de Tendência

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Capítulo

10

Médias Móveis, Ajustamento

Polinomial Direto e Extrapolação de Tendência

10.1 Método das Médias Móveis .......................................................... 229

10.2 Ajustamento Polinomial Direto ...................................................... 234

10.3 Extrapolação de Tendência ........................................................... 240

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229

10.1.1  Descrição do método

Este não é propriamente um método de previsão, e sim uma técnica de tratamento de dados.

Vimos, no método da decomposição, o uso do conceito de médias móveis para eliminar a sazonalidade da série observada. Aqui será mostrado como o método pode ser usado para eliminar flutuações de uma maneira geral. Isso pode ser útil quando se quer observar movimentos no tempo de uma variável de uma forma menos errática. Esse método é abordado em detalhes em

Kendall (1973).

O método consiste na estimativa da tendência polinomial a um conjunto de observações no tempo. Isto é, por definição, tem-se:

 

Parte II - Capítulo 11 - Método do Amortecimento Exponencial Simples e Duplo

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Capítulo

11

Método do Amortecimento

Exponencial Simples e Duplo

11.1 Amortecimento Exponencial Simples ............................................ 252

11.2 Método do Amortecimento Exponencial Duplo .............................. 262

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Capítulo 11

252

11.1  Amortecimento Exponencial Simples

11.1.1  Princípios básicos do método

Vimos que o método da decomposição é bastante exigente em termos da quantidade de observações. Quando o número de observações for pequeno, a saída é fazer uso de modelos adaptativos, isto é, que se autoajustam em função de erros observados. Entre estes, um modelo simples é o do amortecimento exponencial simples, voltado para análise e previsão de séries históricas com média estável. De fato, esse método visa a uma estimativa da média (tendência) a partir das observações passadas. Esse método pode ser encontrado em Montgomery (1976), Coutie et al. (1964) e em vários outros textos. É um método tradicional, conhecido de longa data.

 

Parte II - Capítulo 12 - Modelos de Holt e de Holt-Winters

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Capítulo

12

Modelos de Holt e de Holt-Winters

12.1 Modelo de Holt ............................................................................. 273

12.2 Modelo de Holt-Winters ................................................................ 278

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273

12.1.1  Analogias com o modelo do amortecimento exponencial

Os modelos de Holt e de Holt-Winters são derivados diretamente dos anteriores, utilizando procedimentos ad hoc, mas que seguem uma lógica bem estruturada. Como já visto, o modelo de amortecimento exponencial simples (EWMA) não capta tendência nem sazonalidades. O amortecimento duplo permite considerar a tendência, porém, o ajustamento desta é realizado por meio do mesmo parâmetro de ajuste do nível, isto é, o coeficiente b. O modelo de Holt apresenta uma solução alternativa para esse ajustamento e é abordado em vários textos, como, por exemplo, em Morettin (1981), sendo considerado uma abordagem clássica em séries temporais.

 

Parte II - Capítulo 13 - Análise Estatística de Séries Históricas

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Capítulo

13

Análise Estatística de Séries Históricas

13.1 Série Histórica como Realização de um Processo Estocástico ....... 286

13.2 Transformações de Séries Históricas ............................................ 292

13.3 Função de Autocorrelação e de Autocorrelação Parcial ................. 300

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Capítulo 13

286

13.1  Série Histórica como Realização de um Processo Estocástico

13.1.1  Introdução a processos estocásticos

A abordagem clássica de séries históricas parte de uma estrutura predefinida, e o esforço da modelagem fica concentrado na obtenção de parâmetros adequados aos dados observados. Esses métodos foram apresentados anteriormente e abrangem: o método da decomposição, do amortecimento exponencial simples e duplo e os modelos de Holt e de Holt-Winters.

A abordagem que será apresentada no próximo capítulo, a de Box-Jenkins, é mais flexível, e parte do esforço dessa modelagem concentra-se na análise estatística da série de dados e na obtenção de uma estrutura representativa desta, dentro de uma determinada classe, denominada modelos ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average Models).

 

Parte II - Capítulo 14 - Modelos de Box-Jenkins – Formulação Geral

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Capítulo

14

Modelos de Box-Jenkins –

Formulação Geral

14.1 Modelos ARMA - Autorregressivo e de Médias Móveis .................. 307

14.2 Estrutura Geral do Modelo de Box-Jenkins ................................... 318

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307

Os modelos de Box-Jenkins foram, inicialmente, apresentados no Seminário de Séries Temporais, na Universidade de Wisconsin, em outubro de 1966, por Box, Jenkins e Bacon, e logo após apresentados por estes mesmos autores em Box, Jenkins e Bacon (1967). Na época, o enfoque em voga era a análise de séries históricas no domínio da frequência (análise espectral). Estes autores, mostrando que o domínio do tempo não estava esgotado, muito pelo contrário, que permitia análises e modelagens com muito maior poder preditivo, deram novo alento à pesquisa nesta área. Apesar disso, somente após Box e Jenkins publicarem o livro Time Series Analysis,

Forecasting and Control, em 1970, é que verdadeiramente se difundiu a utilização deste processo de modelagem, que tem por base a análise da estrutura do processo estocástico gerador das observações.

 

Parte II - Capítulo 15 - Processo de Modelagem de Box e Jenkins

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Capítulo

15

Processo de Modelagem de Box e Jenkins

15.1 Etapas do Processo ...................................................................... 337

15.2 Identificação ................................................................................. 339

15.3 Estimação Preliminar .................................................................... 349

15.4 Estimação .................................................................................... 350

15.5 Diagnóstico .................................................................................. 353

15.6 Previsão ....................................................................................... 353

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337

A formulação mais geral do modelo de Box-Jenkins é a do modelo multiplicativo, expressão que engloba os modelos ARMA, ARIMA e a possibilidade de transformação de variáveis. Portanto, a estrutura de forma mais geral possível que se quer ajustar aos dados é:

 

Parte II - Capítulo 16 - Análise de Previsões

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Capítulo

16

Análise de Previsões

16.1 Dificuldades na Análise de Previsões ............................................ 357

16.2 Formas de Avaliar Previsões ......................................................... 366

16.3 Diferentes Métodos de Previsão ................................................... 371

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Neste livro, muito se falou sobre previsões, um dos objetivos decorrentes do processo da modelagem econométrica ou de séries temporais. Aqui cabe olhar, em mais detalhes, a questão de como se analisar previsões. As perguntas pertinentes a considerar são: (i) Como comparar diferentes métodos de previsão? (ii) Como medir a precisão das previsões? (iii) Quais os cuidados a tomar quando se comparam os desempenhos preditivos de diferentes modelos? (iv) Pode-se, pelo bom desempenho preditivo de um modelo, validá-lo? Estas e outras questões relacionadas parecem simples, mas não o são.

 

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