Série Provas & Concursos - Matemática Financeira para Concursos, 4ª edição

Autor(es): MARIANO, Fabrício
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Fabrício Mariano é um desses talentos que se revela cedo, ainda jovem, e que o tempo apenas faz aperfeiçoar. Querido pelos alunos e admirado pelos colegas, consegue ensinar com desenvoltura ímpar diversas matérias, sempre demonstrando com uma lógica irrefutável todos os meandros e “pegadinhas” tão comuns em concursos públicos.

Esta publicação de matemática financeira apenas atesta a veracidade das minhas palavras, posto que tamanha é a clareza com que os temas são explicados e fixados. Aliás, um dos diferenciais desta obra está na divisão entre exercícios resolvidos e propostos, tudo conspirando para uma retenção mais eficaz do conteúdo explanado.

É um livro completo e definitivo para quem precisa estudar e aprender matemática financeira a fim de lograr êxito em um concurso público ou mesmo para fins profissionais.

Aproveitem mais este título do nosso “pequeno grande” Mestre Fabrício.
Bons estudos e sucesso!
Sylvio Motta

26 capítulos

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Capítulo 1 - Trabalhando com Decimais

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Capítulo 1

Trabalhando com Decimais

1.1. Introdução

Este capítulo tem como objetivo servir como base para cálculos numéricos aplicados em Matemática Financeira e Finanças. Utilizarei uma metodologia na qual os cálculos serão feitos de maneira prática e objetiva, facilitando assim a resolução dos exercícios.

1.2. Multiplicação com números decimais

Na multiplicação de números decimais, multiplicam-se normalmente os números naturais sem a vírgula, e depois conta-se a quantidade de casas da direita para a esquerda, obtendo assim o resultado desejado.

Exemplo: Determine o produto de 0,12  0,4.

I) Multiplicam-se os números naturais (sem a vírgula):

12

×4

48

II) Conta-se a quantidade de casas decimais (após a vírgula) dos números que estão sendo multiplicados:

0,12: temos duas casas decimais (após a vírgula)

0,4: temos uma casa decimal (após a vírgula)

Conclusão: Ao todo, temos três casas decimais. Então, devemos contar três casas da direita para esquerda e completar com zeros, se necessário:

 

Capítulo 2 - Porcentagem

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Capítulo 2

Porcentagem

2.1. Introdução

É uma referência em que um valor numérico é dividido por 100.

Podemos escrever:

(k/100) = k%

Do ponto de vista financeiro, subentende-se que a taxa relativa de 0,25 – ou seja, se você aplica R$ 1,00 o banco lhe remunera R$ 0,25 – é uma referência para uma unidade de capital. No caso de R$ 100,00 aplicados, o banco lhe remunera R$ 25,00 no período.

Regra: Toda fração representa um percentual que, dividindo a fração, obtém-se a taxa percentual.

Exemplo:

25% = 25 = 0,25

100

50% =

50

= 0,50

100

75% =

75

= 0,75

100

2.1.1. Problemas de aumentos de preços e descontos

Caso 1: Caso um produto aumente em 30%, deve ficar claro que é sempre em relação a um valor inicial (valor base).

Ex.: um produto cujo preço à vista é de $100,00 aumentou em 30%, qual o seu valor final.

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Capítulo 3 - Retorno Financeiro

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Capítulo 3

Retorno Financeiro

3.1. Introdução

Retorno financeiro é o valor em dinheiro ganho em uma operação financeira.

Onde:

C1 = capital de saída

C0 = capital de entrada

O retorno (R) de uma operação financeira pode ser calculado pela diferença do valor final (C1) e o valor inicial (C0) através da fórmula:

R = C1 – C0

Nota: deve ficar claro que o conceito de retorno financeiro nada mais é do que o conceito de juros simples, neste caso a fórmula trabalha com o conceito de retorno para 1 período apenas. A fórmula acima pode também ser escrita por:

R = VF - VP (Onde tem-se o valor futuro subtraído do valor presente).

3.2. Exercícios resolvidos

1.

Uma pessoa empresta a outra R$ 100,00 por um mês recebendo ao final do prazo R$ 130,00. Qual o retorno financeiro na operação?

Solução:

R = C1 – C0

R = 130 – 100 = 30

Resposta: O retorno financeiro da operação é de R$ 30,00.

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Capítulo 4 - Rentabilidade

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Capítulo 4

Rentabilidade

4.1. Introdução

Rentabilidade (r) é a relação entre o retorno financeiro sobre o valor base da operação (capital inicial). A rentabilidade corresponde à taxa relativa, e se essa taxa for multiplicada por 100, teremos a taxa percentual.

Para o cálculo da rentabilidade, utiliza-se a fórmula:

R r=

C0

Com base na fórmula acima, qual a taxa de rentabilidade da operação? r=

30

= 0,30 (taxa relativa) ou 30% (taxa percentual)

100

Fórmula geral para o cálculo da rentabilidade (r): r=

C1

–1

C0

Nota: A fórmula acima pode ser escrita da forma r = (VF/VP) - 1

4.1.1. Porcentagem e Rentabilidade

Muitos problemas de porcentagem podem ser feitos pelo conceito de rentabilidade, regra de três e equação do 1o grau. Veja os modelos abaixo.

Caso 1: vendas em períodos diferentes

“As vendas de uma empresa foram, em 2012, 60% superiores às de 2011.

Em relação a 2012, as vendas foram inferiores: a) 62,5%; b) 60%;

 

Capítulo 5 - Preço de Venda de uma Mercadoria

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Capítulo 5

Preço de Venda de uma Mercadoria

5.1. Introdução

Na venda de uma mercadoria em geral espera-se um ganho, que será chamado de lucro, logo o preço de venda de uma mercadoria será o preço de custo acrescido do lucro.

Fórmula para o cálculo do preço de venda:

PV = PC + L

Caso haja prejuízo, a fórmula é:

PV = PC – P

Onde:

PV = preço de venda

PC = preço de custo

L = lucro

P = prejuízo

Ex.: Qual o preço de venda de uma mercadoria cujo preço de compra vale

$ 500,00 e o lucro é de $ 150,00?

Solução: PV = PC + L = 500 + 150 = 650

5.2. Exercícios resolvidos

1.

O preço de custo de uma mercadoria foi de R$ 500,00 e será vendido com lucro de R$ 100,00. Então o preço de venda é: a) R$ 500; b) R$ 600; c) R$ 700;

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d) e)

R$ 800;

R$ 900.

 

Capítulo 6 - Juros Simples

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Capítulo 6

Juros Simples

6.1. Introdução

É o valor do retorno do dinheiro aplicado no tempo, ou o aluguel do dinheiro que tem um valor no tempo.

Nos juros simples os juros são constantes ao longo do tempo para um mesmo período, ou seja, os juros são iguais em períodos iguais.

Os juros simples são calculados através do produto do capital inicial (C0), taxa de juros (i) e prazo (n).

Fórmula para cálculo dos juros simples:

J = C0  i  n

6.2. Montante a juros simples

Montante (Cn) é o valor final acumulado no tempo, ou seja, é o valor inicial acrescido dos juros.

Fórmulas:

Cn = C0 + J

Cn = C0 (1 + in)

Nota: A fórmula pode ser escrita também por: VF = VP (1+ in), onde por analogia o valor futuro é o montante e o valor presente é o capital inicial.

6.2.1. Fluxo de Caixa a Juros Simples

No que se refere ao fluxo de caixa, deve ficar claro que o juro é constante, assim deve-se andar sempre da data “n” para a data zero. Veja o modelo abaixo.

 

Capítulo 7 - Juros Compostos

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Capítulo 7

Juros Compostos

7.1. Introdução

Quando os juros são variáveis no tempo (não são constantes) são denominados juros compostos. Na verdade, a taxa de juros é fixa, o que muda

é que o juro é calculado sempre sobre o valor original acrescido dos juros incidentes anteriormente.

Fórmula geral:

Cn = C0 (1 + i)n

Onde:

(1 + i)n = fator de acumulação de capital

Nota: A fórmula dos juros compostos pode ser também escrita por: VF = VP

(1+i)n.

Exemplo: Qual o montante obtido de uma aplicação de R$ 1.000,00 durante três meses a uma taxa de 20% ao mês?

Solução:

Cálculo dos juros período a período:

J1 = 0,2  1.000 = 200

J2 = 0,2  1.200 = 240

J3 = 0,2  1.440 = 288

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Matemática Financeira para Concursos I Fabrício Mariano

Aplicando a fórmula dos juros compostos:

Cn = C0 (1 + i)n

Cn = 1.000  (1,2)³ = 1.728

 

Capítulo 8 - Regra de Sociedades

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Capítulo 8

Regra de Sociedades

8.1. Introdução

Em nosso estudo, uma sociedade será representada com vários sócios aplicando um capital, com o objetivo de obter no tempo um ganho (lucro).

No caso dos juros simples, o ganho será proporcional ao capital aplicado com suas respectivas taxas de juros. No caso de juros compostos, a análise é feita por meio do fator de acumulação do capital ou pela fórmula do montante (capital de saída).

8.2. Regra geral nos juros simples em uma sociedade

Em uma sociedade composta pelos indivíduos A e B, se o indivíduo A aplica

1/3 do capital e o indivíduo B aplica 2/3, os lucros serão proporcionais, ou seja, o indivíduo A terá 1/3 do lucro, e o indivíduo B terá 2/3, dada uma mesma taxa de aplicação.

O lucro equivale aos juros (ganho na operação financeira) e estes são proporcionais.

J1 = J2

C1  i  n1 = C2  i  n2

Se as taxas forem iguais, então:

C1  n1 = C2  n2

8.3. Regra geral nos juros compostos

 

Capítulo 9 - Taxas: Comparação entre Taxa de Juros Simples e Compostos

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Capítulo 9

Taxas: Comparação entre Taxa de Juros Simples e Compostos

9.1. Juros simples

As taxas são ditas proporcionais ou lineares.

Nesse sistema de capitalização simples, as taxas de juros se expressam proporcionalmente ao tempo da operação. Nos juros simples, a taxa é dita linear. A seguir são apresentados exemplos de como converter as taxas para vários períodos no tempo.

Exemplo: Uma taxa de 60% ao ano no sistema da capitalização simples seria equivalente a:

5% ao mês (60%: 12 meses)

10% ao bimestre (60%: 6 bimestres)

15% ao trimestre (60%: 4 trimestres)

20% ao quadrimestre (60%: 3 quadrimestres)

30% ao semestre (60%: 2 semestres)

9.2. Juros compostos

As taxas são ditas equivalentes.

Nesse sistema, as taxas de juros se expressam também em função do tempo da operação, porém não de forma proporcional, mas de forma exponencial, ou seja, as taxas são ditas equivalentes. A mesma taxa de 60% ao ano no sistema de capitalização composta seria equivalente a:

 

Capítulo 10 - Relação Financeira entre Taxa Real e Taxa Aparente

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Capítulo 10

Relação Financeira entre

Taxa Real e Taxa Aparente

10.1. Introdução

Em modelos mais simples, em que não é dada a visão contábil do financiamento, vamos correlacionar as taxas. A taxa aparente é também dita taxa nominal, e a taxa real corresponde à taxa efetivamente cobrada. No modelo a seguir, iremos considerar no período a taxa de inflação, e temos como objetivo calcular a taxa real.

10.2. Fórmula geral

Existe uma relação geral entre as taxas cobradas, pode-se demonstrar que:

(1 + IR) (1 + Ii) = (1 + Ia)

Onde:

Ia = taxa aparente

Ii = taxa de inflação

IR = taxa real

Obs.: As taxas de inflação, real e aparente podem ser calculadas também pelo conceito de rentabilidade, necessitando para isso que seja feito o fluxo de caixa e o ajuste da data focal. (Ver Seção 10.4, exercícios resolvidos 1 e 2.)

10.3. Taxa aparente x taxa real (truques do mercado)

Você conhece o dito popular “comprar gato por lebre”. Significa levar um produto diferente daquilo que você quer. Isso é muito comum em nosso mercado.

 

Capítulo 11 - Entendendo o Fluxo de Caixa

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Capítulo 11

Entendendo o Fluxo de Caixa

11.1. Introdução

No fluxo de caixa podemos nos deslocar e analisar o capital em uma data focal específica e podemos comparar o dinheiro no tempo. Temos como objetivo carregar os capitais para uma mesma data focal e calcular o valor atual de cada capital. Esse conteúdo será generalizado mais adiante com o conceito de equivalência financeira.

Exemplo: Determine o valor de uma dívida de acordo com o seguinte fluxo de caixa, sendo cobrada uma taxa mensal de 10% ao período.

Determinando o valor da dívida na data 0:

Levando o capital que está na data focal 1 para a data focal 0:

1.430

= 1.300

1,1

Levando o capital que está na data focal 2 para a data focal 0:

1.512,50

= 1.250

1,12

Levando o capital que está na data focal 3 para a data focal 0:

1.663,50

= 1.250

1,13

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Capítulo 12 - Rendas

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Capítulo 12

Rendas

12.1. Introdução

Rendas são pagamentos ou recebimentos feitos ao longo do tempo. No caso da amortização, temos o pagamento de uma dívida, e na capitalização temos a constituição de um capital.

12.2. Amortização

É o pagamento de uma dívida ao longo do tempo. A amortização pode ser antecipada, postecipada e diferida. Como exemplo típico, temos a compra de um bem que será pago em “n” prestações, e a loja cobrará juros na negociação.

Estaremos interessados em mostrar como calcular essa taxa através de uma tabela financeira que evita fazermos conta na hora da compra.

12.2.1. Tipos de pagamento

A amortização é o pagamento de uma dívida ao longo do tempo. Podemos definir a amortização como antecipada, postecipada e diferida.

Antecipada: caso um indivíduo compre um bem hoje em três parcelas, o primeiro cheque entra hoje. Na prática do mercado tal fato não ocorre, pois as lojas deixariam de ganhar mais juros, pois teríamos apenas dois meses de juros em três parcelas.

 

Capítulo 13 - Sistema de Amortização

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Capítulo 13

Sistema de Amortização

Os conceitos de amortização e empréstimos em tese são muito próximos. O empréstimo de um modo geral se assemelha ao financiamento pois em ambos os casos existe o pagamento de prestações.

Em termos financeiros a dívida surge quando uma dada importância é emprestada a certo prazo. Quem assume a dívida obriga-se a restituir o principal mais os juros devidos no prazo estipulado.

13.1. Introdução

A amortização, por definição, é o pagamento de uma dívida ao longo do tempo, em particular estamos interessados em separar o pagamento da dívida e os juros cobrados. Faremos um quadro de amortização, e lembre-se de que quando pagamos uma dívida, parte será amortizada do total e a outra é o serviço da dívida.

Cálculo da prestação:

P=J+A

Onde:

P = prestação (é o pagamento da parcela)

J = juros (é o serviço da dívida)

A = amortização (parte da dívida paga quando se paga uma prestação)

13.2. Sistema de amortização

 

Capítulo 14 - Perpetuidades e Resíduo

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Capítulo 14

Perpetuidades e Resíduo

14.1. Perpetuidades

É um pagamento de uma dívida em infinitas prestações. Temos como objetivo calcular o valor de um bem na data zero, ou seja, o valor hoje.

Fórmula:

P

C0 = i

Onde:

P = prestação perpétua i = taxa de juros

Obs. 1: Para chegarmos à fórmula, basta calcular a soma da PG infinita do fator de amortização a n i.

Obs. 2: O fator de amortização pode ser escrito por: an ,i =

1 − (1 + i ) i

−n

Como n tende para infinito, verifica-se que: an ,i =

1 − (1 + i ) i

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−n

=

1 i

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14.2. Exercícios resolvidos

1.

Um imóvel foi pago perpetuamente com prestações mensais de R$ 1.500,00 a uma taxa de 2% ao mês. Qual o valor do imóvel? a) 55.000,00. b) 60.000,00. c) 65.000,00. d) 70.000,00. e) 75.000,00.

 

Capítulo 15 - Taxa Interna de Retorno

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Capítulo 15

Taxa Interna de Retorno

15.1. Introdução

Taxa Interna de Retorno (TIR) é a taxa que torna nulo o valor do investimento (VPL = 0).

VPL = VP – I

Onde:

VPL: valor presente líquido

VP: valor presente

I: investimento

Podemos também definir a taxa interna de retorno como a taxa de juros que iguala, em determinado momento de tempo, o valor presente das entradas com o das saídas previstas de caixa. Podemos dizer que quando VPL = 0 recupera-se o capital investido.

Nota 1: A TIR é a taxa de desconto que torna nulo o VPL. Toda taxa é uma taxa de desconto, mas a TIR possui tem esta propriedade e é somente dela sendo batizada de um nome especial (TIR).

Nota 2: Do ponto de vista financeiro, a TIR é uma taxa de financiamento, ou seja, se a TIR é 10%, isso significa, do ponto de vista financeiro, que uma empresa capta recursos de uma instituição financeira à taxa de 10%.

Nota 3: O cálculo da TIR pode ser obtido por interpolação linear ou pelo fluxo de caixa.

 

Capítulo 16 - Taxa Mínima de Atratividade e Custo de Oportunidade

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Capítulo 16

Taxa Mínima de Atratividade e

Custo de Oportunidade

16.1. Introdução

A Taxa Mínima de Atratividade (TMA) é uma taxa de juros comparativa, e podemos defini-la como sendo o mínimo que o investidor se propõe a ganhar quando faz um investimento ou o máximo que um tomador de dinheiro se propõe a pagar quando faz um financiamento.

Um investimento diz-se interessante ou viável quando o investimento proposto oferece dividendos maiores que a taxa mínima de atratividade.

Exemplo: Um investimento de R$ 50.000,00 gera ganhos uniformes de

R$ 15.000,00 durante 10 anos. Verifique se para uma TMA de 20% é viável o investimento.

Solução:

Se TMA = 20% verificar o VPL, nesse caso, a parcela ganha a cada período, no fundo, é amortização:

50.000 = P a10 20

P = 50.000/4,18

P = R$ 11.950,00

Como o ganho é de R$ 15.000 por período, então a uma TMA 20% o projeto

é viável.

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Capítulo 17 - Equivalência Financeira

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Capítulo 17

Equivalência Financeira

17.1. Introdução

Este capítulo tem como objetivo fazer o cálculo do capital na data zero ou em uma data qualquer. As prestações poderão ser variáveis ou constantes. Caso sejam constantes, recairemos no processo de amortização a prestações constantes, que pode ser antecipado, postecipado ou diferido.

Exemplo: Calcular o valor atual de um capital de acordo com os fluxos de caixa a seguir e o respectivo período sendo a taxa de juros no período de 10% ao mês, sendo os prazos mensais.

A – 1.430

B – 1.512,50

C – 1.663,75

D – 1.756,92

Solução:

Fazendo o fluxo de caixa, em que deslocaremos todo capital para data zero, temos:

C0 =

1.430 1.512,50 1.663,75 1.756,91

+

+

+

1,1

1,12

1,13

1,14

C0 = 1.300 + 1.250 + 1.250 + 1.200

C0 = R$ 5.000,00

O valor da dívida na data zero vale R$ 5.000,00.

Matematica_Financeira_4ed.indb 225

 

Capítulo 18 - Pay Back

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Capítulo 18

Pay Back

18.1. Introdução

Por definição, pay back é o período em que você recupera o capital de seu investimento. Na verdade, é o prazo em que você espera recuperar o capital investido, mas do ponto de vista real, nada é dito relativo a venda, preço de custo etc. Esse modelo tem suas limitações, sendo mais prudente, do ponto de vista financeiro, fazer uma análise contábil.

18.1.1. Limitações do Pay Back

Não se considera o valor do dinheiro no tempo.

Após se recuperar o capital investido despreza-se os fluxos futuros. o modelo só vale para pequenas e médias empresas.

Nota: No caso do Pay Back descontado se considera o valor do dinheiro no tempo.

18.2. Exercícios resolvidos

1.

Ao fundar uma pizzaria, João investiu inicialmente R$ 20.000,00 na compra de bens e serviços para alavancar o seu negócio. No decorrer do tempo, verificamos a planilha da empresa da data zero à data 5 (meses).

Data (tempo)

 

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